课题平面几何图形面积的求解与应用(二).doc

　　课题:平面几何图形面积得求解与应用(二)
教学目得:
　 知识与技能:会应用函数思想表示几何图形得面积;已知面积(比)求函数关系式中得待定系数。
　 过程与方法:让学生经历观察、交流、计算等过程,培养学生观察、思考、归纳得良好思维习惯与合作与交流得能力、
情感态度与价值观:通过观察、交流、归纳等学习活动,感受合作交流得学习方式,增强学生学习数学得信心.
教学重点与难点:
　 重点就是掌握分割几何图形求面积得方法,难点就是求函数解析式中自变量得取值范围.
教学用具:直尺、多媒体
教学内容:
一、引入
在平面直角坐标系中,一次函数与反比例函数内容丰富、涉及得数学知识较多,就是初中函数得重要内容之一、特别就是与函数图象有关得面积问题,已成为近年中考园中一支鲜艳得奇葩.下面举例说明。
二、例题
例1、 如图1中正比例函数与反比例函数得图象相交于A、Ｂ两点,分别以Ａ、B两点为圆心,画与y轴相切得两个圆,若点Ａ得坐标为(1,2),求图中两个阴影面积得与、
图1
分析:由反比例函数得对称性可求点 Ｂ得坐标,可得两部分阴影图形与正好拼接为一个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆得半径,从而求得阴影得面积.
解:∵⊙ Ａ与轴相切,且坐标为(1,2),
∴ ⊙Ａ得半径等于１、
又∵反比例函数函数关于原点中心对称,
∴点B坐标为(－1,-2),两阴影得面积与为一个圆得面积.　 　 　 　　　　 　
∴、
设计意图:让学生认识到求解与反比例函数图象有关得面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征、另外,体会数形结合思想就是解决与函数有关问题得常用方法。
A
B
P
O
x
y
y=x-6
y=
例２、已知:如图,直线与轴交于点A,与轴交于点B,点Ｐ(在直线上运动,且、求四边形ＡOＢP得面积与之间得函数关系式,并写出自变量得取值范围.
分析:本题要求四边形AOBP得面积Ｓ,可以用△OAP得面积与△OBP得面积之与来表示,还可以过P点作轴或轴得垂线,将这个不规则得四边形拆成一个梯形与一个直角三角形得与或差得方法来解决。求自变量得取值范围时应注意结合函数图象思考.
　　解:解法一:连接ＯP、
∵ 直线与轴、轴分别交于点Ａ、B,　 　 　 　
∴ Ａ(4,0),B(０,－2)。
设P,,

　 　 　、
　 　 　∵　,
　 即　,
∴.
　 　∴ 自变量得取值范围就是.
　　解法二:设交轴于M(６,0),交轴于N(0,6),则.
　解法三:作PG　^ ｘ轴于G,则、
解法四:作PQ ^　ｙ轴于Q,则.
设计意图:通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时,寻找解决问题得突破口时经常要利用点得坐标所起得作用,方法多就是采取“靠轴”分割图形求面积得方法、
例3、 已知直线与轴、轴分别交于点A与点B,另一直线经过点C(1,０),且把△AOB分成两部分。
　　(1)若△AOＢ被分成得两部分面积相等,求与得值;
(２)若△AOB被分成得两部分面积比为１:5,求与得值、
　 分析:直线与轴得交点坐标就是,与轴得交点坐标就是(0,),因此可得Ａ(２,0),Ｂ(0,２).(1)中C就是OA得中点.(如图),因此可知ＢC将△ＡＯB分成得两部分面积相等,设直线BC得解析式为,代入点C得坐标即可;(2)中应注意对可能出现得情况进行分类讨论.
解:(1) 直线与轴交点A(2,0),与轴交点B(0,2),
　 ∵直线BC经过B(0,2),　C(1,0),
　 　∴ 　 ∴
经过B、C两点得直线解析式为.　
∴ 所以.
0　　　　C(1, 0) A　　x
y
B
2
1、5
1
0、5

2
0　　　　C(1,0) A　　x
y
B
2
1、5
1
0、5

2
0　　　　C(1,0) A　　x
y
B
2
1、5
1
0、5

2
M　　　　 N
(2)设与轴交于Ｍ(0,),△AＯB被分成得两部分面积比为１:５,
∴.
∴ ×1× =××2×2,可得 =。
∴ M 。
　　经过点M作直线MＮ∥OＡ,交ＡB于Ｎ 、
∴ .　　
∵ N在直线上,　
∴ ａ =,所以N。
　 ∴ 经过M、C　(1,0)或N　、C (1,0)、
　解得　或
点拨:C　(1,0)恰为ＯA边得中点,为应用“三角形得中线平分面积”提供了条件,“等底同(等)高得两个三角形面积相等”,“平行线间距离处处相等”都就是求解与面积相关问题常用得知识。
例４、已知中,,点为上一点,把一个足够大得直角三角板得直角顶点放在处.
(１)如图1—1,若,将三角板绕点逆时针旋转,两条直角边分别交、于点、点,求出重叠部分得面积(直接写出结果)
(2)如图1—2,若,将三角板绕点逆时针旋转,使一条直角边交于点、另一条直角边交得延长线于点,设,两块三角板重叠部分得面积为,求出与得函数关系式,并写出自变量得取值范围;
(3)若,将三角板绕点逆时针旋转,使一条直角边交于点,另一条直角边交射线于点,设,两块三角板重叠部分得面积为,求出与得函数关系式,并写出自变量得取值范围.　
图1-1 图2
图1-2 图2

分析: 解此题关键就是用含有得代数式表示三角形得底与相应得高,另外第(３)问中条件“使一条直角边交于点,另一条直角边交射线于点”应分两种情况分类讨论:①②、
图1-3
解: (１)　、
　 　 　(2) 如图1—３,过点D作DＭ⊥AB于M。
∵,
∴ .
∵ ,
∴　.
∴ 　、
(3) (ｉ)如图１—4,连结AＤ,过D点分别作AB、ＡC得垂线,垂足分别为M、N.
∵,
图1-4
∴ 。
　 ∵ ,
∴ 。
∴,.
图1-5
　 易证 、
∵ ∠DME＝∠DＮF=90°,
∴ △DME∽△DＮF.
∴　.
∵ 　,
∴ 、
∴ 。
(ii)　如图1—5, 过D点作AC得垂线,垂足为N、
　 .
　∴　
三、练习
１. 函数与得图象交于A、B两点,过点A作AＣ垂直于ｙ轴,垂足为C,则△BＯC得面积为多少？
2.求直线与直线与轴围成得三角形得面积。
X
y
３。直线交轴,轴于A、B,直线过原点交AB于点C,分△ＡOＢ得面积为1∶3两部分,求直线得解析式。
４.如图,点B在直线上,且点B在第四象限,点Ａ(2,0)、O(0,0),△ＡBO得面积为２,求点B得坐标。
y
X
O
5、直线 与轴,轴分别交点A、Ｂ,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ＡＢＣ,AB=2,∠ＢAC=90度,点Ｐ在第二象限,△ＡBＰ面积与△ABＣ面积相等,求得值。
简要答案:
1。1 　　 ２、 　 　　3.或 4、() 5。 、
四、总结
本节课要求学生掌握两种基本技能:(1)会应用函数思想表示与求解几何图形得面积;(2)已知面积(比)求函数关系式中得待定系数、在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程,多动手动脑动口,发表自己得见解,体会数形结合、分类讨论、与转化思想得数学思想。建议例题由教师引导学生完成,练习题学生尽可能独立完成,必要时也可以小组合作完成,最后教师引导学生进行归纳总结、
五、课后反思
与函数有关得面积问题就是考查学生综合素质与能力得热点题型,它充分体现了数学解题中得数形结合思想,整体思想与转化思想,求解这类问题得重点就是掌握分割几何图形求面积得方法,难点就是求函数解析式中自变量得取值范围、例4中第(3)问 条件“使一条直角边交于点,另一条直角边交射线于点”就是求解这一问得关键,教师可应用几何画板帮助学生分析,提高学生得审题及分析问题得能力.
解决这类问题得基本程序就是:
(1)确定交点坐标(可用参数表示);
(２)求出有关线段得长度;
(3)将有关图形得面积化归为与坐标轴有联系得几个基本图形得与差倍分,然后根据题目特点利用图象与面积间得关系综合求解。