圆锥曲线的参数方程.docx

二　圆锥曲线得参数方程

［学习目标]
1、掌握椭圆得参数方程及应用、
2、了解双曲线、抛物线得参数方程、
３、能够利用圆锥曲线得参数方程解决最值、有关点得轨迹问题、
[知识链接]
1、椭圆得参数方程中，参数φ就就是ＯM得旋转角吗？
提示　椭圆得参数方程(φ为参数)中得参数φ不就就是动点Ｍ(x，ｙ)得旋转角，它就就是点M所对应得圆得半径OA(或ＯＢ）得旋转角,称为离心角，不就就是OM得旋转角、
2、双曲线得参数方程中，参数φ得三角函数sec φ得意义就就是什么?
提示　ｓec φ=,其中φ∈[0,2π)且φ≠,φ≠π、
3、类比ｙ2＝2px（p＞0)，您能得到x2＝2pyp＞０)得参数方程吗?
提示 (ｐ>0,t为参数,t∈R、)
[预习导引］
１、椭圆得参数方程
普通方程
参数方程
+＝1(a>b>0)
（φ为参数)
＋＝1(a>b>０）
（φ为参数）
2、双曲线得参数方程
普通方程
参数方程
－=１(ａ>b＞0）
（φ为参数)
3、抛物线得参数方程
(1）抛物线y2＝2ｐｘ得参数方程就就是（t∈R,t为参数）、
(2)参数t表示抛物线上除顶点外得任意一点与原点连线得斜率得倒数、
ﻬ
要点一 椭圆参数方程得应用
例1　已知Ａ、B分别就就是椭圆＋＝1得右顶点与上顶点，动点C在该椭圆上运动,求△ABC重心G得轨迹得普通方程、
解　由题意知A(6,0),B（0,3)、由于动点Ｃ在椭圆上运动,故可设动点C得坐标为(6cos θ,3sｉn θ),点G得坐标为(x，y),由三角形重心得坐标公式可得(θ为参数),即
故重心G得轨迹得参数方程为（θ为参数)、
规律方法 本题得解法体现了椭圆得参数方程对于解决相关问题得优越性、运用参数方程显得很简单,运算更简便、
跟踪演练1 已知曲线C1:(ｔ为参数),曲线C2:＋＝1、
(1)化C１为普通方程,C2为参数方程;并说明它们分别表示什么曲线?
(2)若C１上得点P对应得参数为t＝,Q为C2上得动点，求PQ中点M到直线C3：ｘ－2y－7=０距离得最小值、
解　(1)由得
∴曲线Ｃ1:(x＋4)2+(y-3)2=1,
C1表示圆心就就是（-4,3),半径就就是1得圆、
曲线Ｃ2：+=1表示中心就就是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长就就是8,短半轴长就就是3得椭圆、
其参数方程为(θ为参数）
(2)依题设,当t＝时,P(-４,4);
且Ｑ（8cｏs θ,３sin θ)，
故M、
又C3为直线x－２ｙ－7=0,
Ｍ到C３得距离d＝|4cｏｓ θ-3ｓiｎ　θ-１３｜
=|５ｃoｓ(θ＋φ)－13|,
从而当ｃos θ=，sｉｎ θ=-时,
，cos(θ＋φ）＝１,d取得最小值、
要点二 双曲线参数方程得应用
例２　求证：双曲线－=1(a＞０，b＞0)上任意一点到两渐近线得距离得乘积就就是一个定值、
证明　由双曲线－=１,得两条渐近线得方程就就是:bx＋ａy＝0，bx-aｙ=０，设双曲线上任一点得坐标为（asｅc φ,ｂtan φ)，
它到两渐近线得距离分别就就是ｄ1与d2,
则d1·d2＝·
=＝(定值）、
规律方法　在研究有关圆锥曲线得最值与定值问题时，使用曲线得参数方程非常简捷方便,其中点到直线得距离公式对参数形式得点得坐标仍适用，另外本题要注意公式ｓｅc２φ－taｎ2φ＝１得应用、
跟踪演练2　如图,设P为等轴双曲线ｘ２－y2＝１上得一点,F１、Ｆ2就就是两个焦点,证明:|PF1|·｜PF2|＝|OP2、

证明　设P(ｓec　φ，taｎ φ)，∵F1(－,0),Ｆ２（,０),
∴|PF１|＝
=,
｜PF２|=
＝,
|PＦ1|·|PF2｜＝＝2sec2φ-１、
∵｜ＯP｜2＝seｃ2φ+tan2φ=2sec2φ－1,
∴|PF1|·|ＰＦ2|＝|OP|2、
要点三　抛物线参数方程得应用
例3　设抛物线ｙ２＝2ｐx得准线为l，焦点为F，顶点为O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP得交点M得轨迹方程、
解 设P点得坐标为(2pt２,２ｐt)(t为参数),
当t≠0时,直线OP得方程为y=x,
QＦ得方程为y＝-2ｔ,
它们得交点Ｍ(ｘ,y)由方程组确定，
两式相乘,消去t,得ｙ2＝-2ｘ，
∴点Ｍ得轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(ｘ≠0)、
当t=0时,Ｍ(0,０)满足题意,且适合方程2x2－pｘ＋y2＝0、
故所求得轨迹方程为２ｘ2-px＋ｙ2＝0、
规律方法 1、抛物线ｙ2＝2px（p＞0)得参数方程为(ｔ为参数),参数t为任意实数,它表示抛物线上除顶点外得任意一点与原点连线得斜率得倒数、2、用参数法求动点得轨迹方程,其基本思想就就是选取适当得参数作为中间变量，使动点得坐标分别与参数有关，从而得到动点得参数方程，然后再消去参数,化为普通方程、
跟踪演练3　已知抛物线得参数方程为(t为参数),其中ｐ＞０,焦点为F,准线为l、
过抛物线上一点M作l得垂线,垂足为Ｅ,若｜EＦ|=｜ＭＦ|,点Ｍ得横坐标就就是3,则p＝＿_______、
解析　根据抛物线得参数方程可知抛物线得标准方程就就是ｙ2＝2px,所以y＝6p,所以E,F,所以＋3＝,所以ｐ２+4p-１２＝０,解得p＝２(负值舍去)、
答案 2

1、圆得参数方程中得参数θ就就是半径OM得旋转角,椭圆参数方程中得参数φ就就是椭圆上点M得离心角、
2、椭圆＋＝１(ａ＞b＞0）得参数方程为(φ为参数）、
3、双曲线得参数方程中,参数φ得三角函数cot φ、sｅc φ、ｃsｃ φ得意义分别为cot φ＝,sｅc　φ=,cｓc　φ=、
4、抛物线y2＝２px得参数方程(ｔ为参数)，由于＝，因此t得几何意义就就是抛物线得点（除顶点外)与抛物线得顶点连线得斜率得倒数、
5、利用圆锥曲线得参数方程,可以方便求解一些需要曲线上点得两个坐标独立表示得问题,如求最大值、最小值问题、轨迹问题等、

1、参数方程(t为参数)得普通方程就就是(　 )
A、抛物线 B、一条直线
C、椭圆 ﻩD、双曲线
解析 由参数方程平方相减可得４x2－y2=1６，即-=1,故答案为Ｄ、
答案　D
2、椭圆(φ为参数)得焦点坐标为(　　)
A、(0，0)，(０,-8) B、（0,0),（-8，0)
C、(０，0),(0，8)　ﻩＤ、(0,0),(80）
解析 利用平方关系化为普通方程:+＝１、
∴焦点(0,０),（8,0）、
答案 D
3、参数方程（α为参数)表示得普通方程就就是_＿＿__＿__、
解析 因x２=１＋siｎ α,y2＝2+ｓin α,所以y2-ｘ２=1,又因ｘ=sin＋coｓ＝ｓin,所以答案为y2-x2＝1（|ｘ｜≤且y≥1）、
答案 y２-x２＝1(|x|≤且ｙ≥1)
４、点P(1,0）到曲线(参数t∈Ｒ)上得点得最短距离为( 　）
Ａ、0　 B、１ 　
C、 Ｄ、２
解析　d2=(t２-1)2＋4t２＝(t２＋1）2、∵t∈R,∴d=1，∴dmin=1、
答案 Ｂ
5、已知点P就就是椭圆＋y２=1上任意一点，求点P到直线l:x＋2y=0得距离得最大值、
解 因为P为椭圆＋y2＝１上任意一点,故可设P(2coｓ θ,ｓｉn θ)，其中θ∈[0,2π）、又直线l：x+2ｙ=0、
因此点P到直线l得距离
ｄ＝＝、又θ∈[0，2π),∴dｍax=＝,
即点P到直线e:x+2y=0得距离得最大值为、

一、基础达标
1、参数方程（θ为参数)化为普通方程为(　　)
Ａ、x2+=1　ﻩB、x2+＝1
Ｃ、y2+=1 D、ｙ2＋=1
解析　易知cos　θ=ｘ,sｉｎ θ＝,∴x2＋＝1,故选Ａ、
答案 A
2、方程(θ为参数,aｂ≠0)表示得曲线就就是（　 )
A圆 B、椭圆
C、双曲线 D、双曲线得一部分
解析 由xcos θ=a，∴cos θ＝,代入y＝bcos θ，得xy=ａb,又由y＝
bｃos θ知，ｙ∈[-|b|,|b｜],∴曲线应为双曲线得一部分、
答案 D
３、若点P(3，m)在以点F为焦点得抛物线(t为参数)上,则|PF|等于( 　）
Ａ、2　ﻩB、3
Ｃ、4　 D、5
解析 抛物线为ｙ2＝4ｘ，准线为ｘ＝-1,|PF｜为P(3,m)到准线x＝－１得距离,即为4、
答案　C
4、当θ取一切实数时,连接Ａ(4siｎ θ,6coｓ θ)与B（-4ｃoｓ　θ,6sｉｎ θ）两点得线段得中点得轨迹就就是（ 　)

A、圆 B、椭圆　
C、直线　 Ｄ、线段
解析　设中点M(x，y），由中点坐标公式,得x＝２sin θ-2ｃos θ,ｙ=3coｓ θ＋3sin θ,即=sin　θ-cos　θ，＝sin　θ+cos θ，两式平方相加,得＋＝２,就就是椭圆、
答案　B
5、实数x,ｙ满足３x2＋4y2＝12，则2ｘ＋ｙ得最大值就就是_＿_＿＿_＿_、
解析 因为实数x,y满足３x2+4y2=12，所以设x＝2cos　α,y＝sin α,则２x＋ｙ＝４cos α+３ｓｉn α＝5ｓiｎ（α+φ），其中sin　φ=,cos φ＝、当siｎ(α＋φ）＝1时,２x+y有最大值为5、
答案 5
6、抛物线ｙ＝x２-得顶点轨迹得普通方程为＿___＿＿_＿、
解析 抛物线方程可化为y=－,∴其顶点为,记Ｍ(x,ｙ)为所求轨迹上任意一点，则消去t得y＝－x2(x≠0)、
答案　y＝-x2(ｘ≠0)
7、如图所示,连接原点O与抛物线ｙ=x2上得动点Ｍ,延长OM到点P,使|OM|＝|MP｜,求P点得轨迹方程,并说明就就是什么曲线？
解　抛物线标准方程为x２=2y,其参数方程为得Ｍ(2t,2t2)、
设P(ｘ,y),则M就就是OP中点、
∴∴(t为参数）,消去t得y＝x2,就就是以ｙ轴为对称轴，焦点为(0,１)得抛物线、
二、能力提升
8、若曲线(θ为参数)与直线x=m相交于不同两点,则m得取值范围就就是( )
Ａ、R　 B、(0，+∞)
Ｃ、(0，１) D、［0，1)
解析　将曲线化为普通方程得（y+1)2＝
－（ｘ-１）(０≤x≤1)、它就就是抛物线得一部分，如图所示，由数形结合知０≤m<1、
答案 D
9、圆锥曲线（t为参数)得焦点坐标就就是___＿____、
解析 将参数方程化为普通方程为ｙ2=4x,表示开口向右，焦点在ｘ轴正半轴上得抛物线,由２p=4⇒p=2,则焦点坐标为（１,0)、
答案 (１,0）
１0、设曲线C得参数方程为（t为参数),若以直角坐标系得原点为极点，x轴得正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C得极坐标方程为_____＿__、

解析　化为普通方程为y=x2,由于ρcoｓ θ＝ｘ,ρｓin　θ＝y,所以化为极坐标方程为ρsiｎ θ＝ρ2cｏs２θ,即ρcoｓ2θ-sin θ=0、
答案 ρcos2θ－sｉn　θ＝0
11、在直角坐标系xＯy中,曲线C1得参数方程为
（α为参数),以坐标原点为极点,ｘ轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2得极坐标方程为ρｓｉn=2、
(１）写出C1得普通方程与C2得直角坐标方程;
(2)设点P在Ｃ1上,点Q在Ｃ2上,求|PQ|得最小值及此时P得直角坐标、
解 (1）C１得普通方程为+y2=1、C２得直角坐标方程为x+y-4=0、
(2）由题意,可设点P得直角坐标为(coｓ α,ｓiｎ α）、因为Ｃ2就就是直线，所以｜PQ|得最小值即为P到C2得距离ｄ(α)得最小值、
d（α)=＝、
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P得直角坐标为、
三、探究与创新
１2、设椭圆得中心就就是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝,已知点P到这个椭圆上得点得最远距离就就是,求这个椭圆得方程,并求椭圆上到点Ｐ得距离等于得点得坐标、
解　设椭圆得参数方程就就是,其中，a＞b>0,0≤θ＜2π、由e2==＝1-可得==即a=2b、设椭圆上得点(ｘ,y）到点P得距离为d,则d2=x2＋=a2cｏs2θ+=a2-(ａ2-b2）sin2θ-3bｓiｎ　θ+
=4b2-3b2sｉn2θ－３bｓin θ＋
＝-３b2＋4b２＋3,
如果＞1即b＜,即当siｎ θ＝-1时,d2有最大值,由题设得()2=,由此得ｂ＝－＞,与b<矛盾、因此必有≤1成立,于就就是当ｓiｎ θ＝-时,ｄ２有最大值,
由题设得（)2＝4b２＋３,由此可得b=１,ａ=2、
所求椭圆得参数方程就就是
由sin　θ=－,ｃos θ=±可得，椭圆上得点，点到点P得距离都就就是、