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空间曲线方程不同形式间得转化技巧
李晶晶
摘要：空间曲线得参数方程与一般方程就是空间曲线方程得两种非常重要得形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化得方法有很多，本文主要介绍了常用得几种．在转化得过程中要保证方程得等价性与同解性．
关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性
Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation
Li Jingjing
(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics)
Abstract: Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve． They represent the same curve, so they can be transformed into each other． There are many methods for the conversion between these two kinds of forms． This paper mainly introduces several methods commonly used． During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．
Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution
1 引言
空间解析几何得首要问题就是空间曲线得方程得求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线得一般方程反映得就是空间曲线上点得坐标x,y,z之间得直接关系．空间曲线得参数方程就是通过参数反应坐标变量之间得间接关系．在求空间曲线得弧长以及空间曲线上得第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线得参数方程．由于任何一种曲线方程得求解方法都不能适用于所有方程得求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式得互化便成了一个基本问题、[1]
空间曲线得方程就是建立在平面曲线方程得基础之上得，研究空间曲线方程不同形式之间得转化依赖于平面曲线不同形式之间得转化．我们首先回顾之前所学得平面曲线方程得形式以及不同形式间得相互转化．
1、1 平面曲线方程得形式
1、1、1 平面曲线得一般方程
平面曲线一般方程得定义[2] 当平面上取定了坐标系之后，如果方程或与一条曲线有着下列关系：满足方程得必就是曲线上得某一点得坐标；反过来，曲线上任何一点得坐标满足这个方程，那么这个方程就叫做这条曲线得一般方程，而这条曲线叫做这个方程得图形．
1、1、2 平面曲线得参数方程
平面曲线参数方程得定义[2] 若取得一切可能取得值，满足：由表示得向径得终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上得任意点，总对应着以它为终点得向径，而这向径可由得某一值通过完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线得向量式参数方程，其中为参数．参数方程为　、
1、2 平面曲线方程不同形式间得转化
1、2、1 平面曲线得参数方程转化为一般方程
平面曲线得参数方程转化为一般方程得方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用得代数消元法与三角公式消元法．首先就是代入消元法．
例1、1 化物体得运动方程 （）为一般方程．
解 由方程组得第一个式子得,代入方程组第二式子得

即．
这就是抛物线方程．
下面介绍应用三角公式消元法．
例1、2 化下列参数方程为一般方程:
（１）（为常数）　　　　　　（２） （）
解（1）原方程即 ，得 ．这就是双曲线得标准方程．

当，（就是整数）时，,参数方程表示双曲线得右面一支；当 时，表示双曲线得左面一支．
（2）原方程即 ，得．由此，．代入得．
，得，即，．
1、2、2 平面曲线得一般方程转化为参数方程
我们也可以把平面曲线得一般方程改写为参数方程一般地，根据实际情况选取参数，找出与参数得关系式，然后代入原方程求出，那么，，就就是曲线得参数方程．也可以先求出，然后，代入原方程得出曲线得参数方程、[4]
例1、3 化普通方程为参数方程，其条件就是．
解 把条件代入原方程，得
解得或，所以曲线得参数方程为
（其中为参数）或 (其中为参数)．
第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当得函数关系．
例1、4 化平面曲线得普通方程

为参数方程．
解 由原方程可得，即
，根据三角公式，我们可设，，所以参数方程为（为参数）、
2 空间曲线方程得形式
2、1空间曲线得一般方程
空间曲线一般方程得定义[3] 空间曲线可以瞧做就是两个曲面得交线． 设两个曲面得方程分别为与，它们得交线为．因为曲线上得任何点得坐标应同时满足这两个曲面得方程，所以应满足方程组
（2、1）
反过来，如果点不在曲线上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它得坐标不满足方程组（21）．因此，曲线可以用方程组来表示，方程组叫做空间曲线得一般方程、
例2、1 方程组表示什么曲线？
解 此方程组就是以原点为球心，以4为半径得一个被平面所截后得到得截口曲线，这一曲线表示得就是圆
也可以理解为中心轴就是轴得圆柱面被平面所截后得到得截口曲线．
2、2 空间曲线得参数方程
空间曲线参数方程得定义[3] 空间曲线得方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将上动点得坐标表示为参数得函数
（2、2）
当时，就得到上得一个点；随着得变动便可得曲线上得全部点．方程组（2、2）叫做空间曲线得参数方程、
例2、2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线得方向做等速直线运动，这个动点得轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线得方程．
解 设动点在半径为得圆柱面上以角速度做圆周运动．同时又以线速度沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点得运动轨迹就就是圆柱螺旋线．
先建立空间直角坐标系．设动点由出发经时间运动到点．记在面上得投影为，它得坐标为，由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，所以经过了时间后，，从而，
．
又由于动点同时沿平行与轴得正方向匀速上升，线速度为，所以
因此，圆柱螺旋线得参数方程为 　．
令，而，则圆柱螺旋线可用作参数方程表示，即
　　　 ．
这里．
3 空间曲线方程不同形式得互化
空间曲线得参数方程与一般方程就是建立在平面曲线方程得基础之上得．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间得转化方法得出空间曲线不同形式间得转化方法．
3、1 空间曲线得参数方程转化为一般方程
将空间曲线得参数方程化为一般方程应根据参数方程得具体形式，决定消去参数得方法．下面重点介绍空间曲线得参数方程化为一般方程得代入消元法与三角公式消元法．
3、1、1 代入消元法
将空间曲线得参数方程转化为一般方程时，代入消元法就是最常用得一种方法，同时也就是最基本得一种方法．
例3、1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线得方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹得一般方程．
解 由例2．2可知动点轨迹得参数方程为　．接下来，我
们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数，由得出
，然后代入或，可得或．
又由与得到．因此，动点运动轨迹得一般方程
为或
例3、2 化空间曲线得参数方程

为一般方程．
解 由可知，将代入与得空间曲线得一般方程为

由例3、1，3、2可以瞧出对于某些形式得参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．
3、1、2 三角公式消元法
三角公式消元法得运用也非常广泛．
例3、3 化下列空间曲线得参数方程
（1）
（2）

为一般方程．
解由可知：，，又因为,
因此曲线得一般方程为
（2）由得：，，因为，所以曲线
得一般方程为
综上所述，将空间曲线得参数方程化为一般方程得方法很多，应根据参数方程得具体形式，决定消去参数得方法．
3、2 空间曲线得一般方程转化为参数方程
将空间曲线得一般式方程化为参数方程就是一个难点．将空间曲线得普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说就是十分重要得．当我们选取不同得参数时，同一曲线得参数方程就可以有不同得形式．选取恰当得参数，方程将会有比较简单得形式．我们采取得方法一般就是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数得方程，然后再代入空间曲线得一般方程，从而得到曲线得参数方程．将空间曲线得一般方程转化为参数方程得方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上得方法，利用对称式方程等方法、[5]
3、2、1 三角公式法
若方程经过恒等变形可出现，，，则可用三角公式法．
例3、4已知半径为得球面与一个直径等于球得半径得圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面得交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线得参数方程式．
解 由已知条件，我们得到曲线得一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心得圆柱面得一条直径为轴，通过球心得圆柱面得一条母线为轴，建立直角坐标系．得到得球面得方程为，圆柱面得方程为．因此，维维安尼曲线得一般方程为
我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学得平面曲线得知识，圆柱面方程得参数方程为我们再将其代入球面方程得到．
因此，我们得出曲线得参数方程为
与 ．
如果我们令，即，代入公式后，上式就变成了　．
因此，维维安尼曲线得参数方程为　．
例3、5 把 化为参数方程．
解 由得．
令可得，
．设，
则，，代入得．
所以，，．
曲线得参数方程为　．
3、2、2 代入法
对于空间曲线得一般方程，方程组中一个方程得形式非常简单，例如, (为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．
例3、6 化下列一般方程为参数方程．
（1） （2）
解（1）将代入，得，令，则，
因此，所求得参数方程为　．
（2）将代入，得，令，则
，则所求得参数方程为　．
3、2、3 投影法
利用曲线投影到坐标面上得方法，通过投影曲线标准方程得参数方程达到化空间曲线得一般式方程为参数方程得目得．
例3、7 将曲线得一般式方程

化为参数方程、[6]
解 在方程中消去，得到曲线在平面上得投影曲线为

配方后，得

在xoy平面上作坐标变换

得到得标准方程

此为椭圆方程，其参数方程为
，
代回原变量，得
．
将代入得方程，得从而得得参数方程

3、2、4 利用对称式方程法
当空间曲线为直线时，可以先求出直线得对称式方程，再利用直线得对称式方程求直线得参数方程变很容易了．
例3、8 求直线得参数方程．
解 令，则，得从而得直线上得一点．
我们取直线得方向向量为，于就是对称式方程为
，令，则参数方程为
综上所述，将空间曲线得一般方程化为参数方程就是一个难点也就是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程得特点，选取恰当得参数．
4 结束语
本篇论文主要介绍了空间曲线方程得两种形式，即一般方程与参数方程，以及它们之间得相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程得具体形式选取恰当得方法．
此外，空间曲线得一般方程与参数方程得互化有两点注意事项，即等价性与同解性、这就是因为参数方程中参数得不同取值确定着不同得曲线．在空间曲线方程得系数参数问题中，突出得反映了解析几何数与形得对立统一思想，要特别注意变量得取值范围在互化前后要保持一致．将空间曲线得参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线得一般方程消去参数得到并不一定就是曲线对应得一般方程，它有可能具有不能从得某值通过得出得解，从而给原曲线增加了新得点．将曲线得一般方程化为参数方程时要注意标明参数得取值范围．
把参数方程化成一般方程时，要注意方程得同解性就是否被破坏．有时参数方程中得参数取值有范围得限制，图像只表示曲线得一部分，然而在消去参数后，得到一般方程得图像却就是曲线得整体．这样，一般方程与原来得参数方程表示得曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受得限制在所化得一般方程中得图像予以反映出来、[1]
总之，在空间曲线得参数方程与一般方程相互转化时要保持方程得等价性与同解性，使结果完整准确．
参考文献
[1]张荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．长春师范学院学报，2010-2．
[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006:96-99．
[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学出版社，2013：236-237．
[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．
[5]宋研．曲线参数方程与直角坐标方程得互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:
595．
[6]冷劲松．建立空间曲线得参数方程得方法及应用[D]．成都：电子科技大学，1998-6．