高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义.doc

　　平面向量公式
1、向量得加法
向量得加法满足平行四边形法则与三角形法则、
AB+BC=AC、
a+b=（x＋x＇，ｙ＋y'）、
a＋0=０+a=a、
向量加法得运算律：
交换律：a+ｂ=b＋a；
结合律:（a+b）+c＝a＋(ｂ+c)、
2、向量得减法
如果a、b就是互为相反得向量，那么a=—b，b=—a，ａ+b=0、0得反向量为0
AB-AC=CＢ、即“共同起点，指向被减”
a=（x,y)　ｂ=(ｘ’,y’）　则 ａ—b=(x-x＇，ｙ－y'）、
4、数乘向量
实数λ与向量ａ得乘积就是一个向量，记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣ａ∣、
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向;　
当λ=0时,λa＝0，方向任意、
当a=0时，对于任意实数λ,都有λａ=0、
注:按定义知，如果λａ=0，那么λ=0或a=0、
实数λ叫做向量a得系数,乘数向量λａ得几何意义就就是将表示向量a得有向线段伸长或压缩、
当∣λ∣〉1时，表示向量ａ得有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ〈0）上伸长为原来得∣λ∣倍;
当∣λ∣〈1时，表示向量a得有向线段在原方向(λ>０)或反方向（λ＜0）上缩短为原来得∣λ∣倍、
数与向量得乘法满足下面得运算律
结合律:（λa）•b＝λ(a•b)＝（ａ•λｂ）、
向量对于数得分配律（第一分配律）：(λ＋μ)a=λa+μa、
数对于向量得分配律(第二分配律)：λ（a＋ｂ)＝λa+λｂ、
数乘向量得消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b、② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ、
3、向量得得数量积
定义:已知两个非零向量a,b、作ＯＡ=ａ,OＢ＝ｂ，则角AOB称作向量ａ与向量b得夹角，记作〈ａ,b>并规定0≤〈ａ,ｂ>≤π
定义：两个向量得数量积（内积、点积）就是一个数量,记作ａ•b、若a、ｂ不共线，则ａ•b＝｜a｜•｜b｜•coｓ〈a,b〉;若a、b共线，则a•b=＋—∣a∣∣ｂ∣、
向量得数量积得坐标表示:a•b＝ｘ•x’+y•y'、
向量得数量积得运算律
a•b=b•a(交换律）；　
(λa)•b=λ（ａ•b)（关于数乘法得结合律);
（a+b)•c=a•c＋b•c（分配律)；　
向量得数量积得性质
ａ•a=|a|得平方、
a⊥b 〈=>a•b=0、
|a•b|≤|a|•｜b｜、
向量得数量积与实数运算得主要不同点
1、向量得数量积不满足结合律，即：(a•ｂ）•ｃ≠a•（b•ｃ);例如:（a•b)^2≠a^2•b＾2、
２、向量得数量积不满足消去律,即：由 a•b＝a•c　（a≠０），推不出　ｂ=c、
3、｜a•b｜≠|ａ|•｜ｂ|
4、由　｜a｜=｜b｜ ,推不出 a=ｂ或a＝-b、
４、向量得向量积
定义:两个向量a与b得向量积(外积、叉积)就是一个向量，记作ａ×b、若ａ、b不共线,则a×ｂ得模就是：∣ａ×ｂ∣=|ａ｜•｜b｜•sin〈a，b〉；a×b得方向就是:垂直于a与b,且ａ、ｂ与ａ×b按这个次序构成右手系、若a、ｂ共线,则a×ｂ=0、
向量得向量积性质：
∣a×b∣就是以ａ与b为边得平行四边形面积、
ａ×a＝0、
a‖b〈=〉ａ×b＝０、
向量得向量积运算律　
ａ×b=-b×a；
（λa）×b＝λ（a×b）=a×（λb）；　
（a+b）×c＝a×c+b×c、
注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”就是没有意义得、
向量得三角形不等式
１、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣＋∣ｂ∣；
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当ａ、b同向时，右边取等号、
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a－b∣≤∣a∣+∣b∣、
① 当且仅当a、ｂ同向时，左边取等号;　
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号、
定比分点　
定比分点公式（向量Ｐ1P=λ•向量ＰＰ2）
设P1、P２就是直线上得两点,Ｐ就是l上不同于P1、P２得任意一点、则存在一个实数　λ，使 向量P1Ｐ＝λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段Ｐ1P2所成得比、
若Ｐ１(x1,ｙ1），P２(x2,ｙ2),P（x，y）,则有　
OP＝(OP1+λOP２）(1＋λ）定比分点向量公式）
x=（x1＋λx２）/(１+λ）,
y=(y1＋λy2）/(1+λ)、（定比分点坐标公式)
我们把上面得式子叫做有向线段Ｐ1Ｐ2得定比分点公式
三点共线定理　
若OC=λＯA　＋μOB　，且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线　
三角形重心判断式
在△ABC中，若ＧA +GＢ　+GＣ=Ｏ,则G为△ABC得重心
向量共线得重要条件　
若b≠0，则a/／ｂ得重要条件就是存在唯一实数λ，使a=λｂ、
ａ//b得重要条件就是 xｙ'－x＇y=０、
零向量0平行于任何向量、
向量垂直得充要条件
a⊥b得充要条件就是 a•b=0、
a⊥b得充要条件就是　xｘ’＋yｙ'=0、
零向量0垂直于任何向量、
1、线性运算 
①ａ+ｂ=b+a   ②（a+b）+ｃ=a+（b＋c）  ③λ（μa）=（λμ）a、 ④（λ+μ)a=λa+μａ、 ⑤λ（a±b)=λａ±λｂ  ⑥a,b共线→b=λa 
2、坐标运算，其中a(ｘ1，y1), ｂ(x2，y2) 
①a+b＝( x1+ｘ2，y1+ｙ2） ②a—b=（ x１－ｘ2，ｙ1—y２） ③λa＝（λx1，λy1） ④点A（ａ，b），点B(c,d)，则向量ＡＢ=（c—ａ,b—d) ⑤点A(a，b），点B(c,d）,则向量ＢＡ=（a-c，b－d) 
3、数量积运算 
①a＊b=∣a∣＊∣b∣*coｓθ      ②a*ｂ=b＊a （交换律) 
③（λ*a)*b＝λ*(a＊b） =ａ＊ (λ*b）（结合律,注意向量间无结合律）
④（ａ±b)＊c=a＊ｃ±b＊ｃ（分配律)   ⑤若a＊（b—c）=0,则b=ｃ或a垂直于(b-c) 
⑥(a±ｂ）2=a2±2ａ＊b+b２       ⑦（a+b)＊(a－ｂ）=a2—ｂ2 
⑧a（ｘ1,ｙ１）, b（ｘ2，ｙ2），则ａ＊b＝x１x２＋y１ｙ2，∣a∣2 =x2+y２,∣a∣=√x2＋y2 a垂直于ｂ→x1x2+y1y2=0;一般地，a与b夹角θ满足如下条件： coｓθ=a*b／∣a∣*∣ｂ∣＝(x1x2+y１ｙ2）/(√x１2+ｙ12)＊（√x２2＋y2２)