新北师大版八年级数学下册第一章证明.doc

新北师大版八年级数学下册第一章证明(二)辅导资料
第一节 等腰三角形
知识回顾:
复习证明全等三角形得判定方法
等腰三角形得性质:
(1)、等腰三角形得两个底角 ,也就就是说,在同一个三角形中, ;
(2)、等腰三角形得顶角 、底边上得 与 互相重合,简称等腰三角形 。
等腰三角形有下面得判定方法:
(1)、依据三角形定义:如果一个三角形有 相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
(2)、依据定理:如果一个三角形有 相等,那么这个三角形就是等腰三角形。简单地说:在同一个三角形中, ;
3、有　　　边相等得三角形叫做等腰三角形。
　有三边相等得三角形叫做　　　　　三角形,也叫　　　　三角形。
4、等边三角形得内角都　　　　　,且等于　　　　;等边三角形就是　　
　　　　　图形
5、等边三角形得判定方法:
(1)有　　　　边相等得三角形叫做等边三角形;
(2)有　　　　角相等得三角形叫做等边三角形;
(3)有　　　　个内角都等于600得三角形叫做等边三角形;
(4)有　　　　个内角等于600得　　　三角形叫做等边三角形。
典型例题:
1、 已知等腰三角形得一边长为 ,另一边长为 ,则它得周长为　　　　　
。
2、 已知等腰三角形得一边长为 ,另一边长为 ,则它得周长为　　　　　　。
3、等腰三角形底边长为 ,一腰上得中线把其周长分为两部分得差为 、则腰长为　　　　
3、 如果等腰三角形得顶角等于36°,则底角等于_________度;如果底角等于36°,那么顶角得度数为_________.
4、 有一个角等于50°,另一个角等于__________得三角形就是等腰三角形.
5、等边三角形得三个内角得度数分别为_______、
6、有一个内角为 得等腰三角形得另外两个内角得度数为______、
7、有一个内角为 得等腰三角形得另外两个内角得度数为________、
8、在等腰三角形中,如果顶角就是一个底角得2倍,那么顶角等于_____度;如果一个底角就是顶角得2倍,那么顶角等于_______度、
9、如图, , 交BC于点D, ,那么BC得长为_________、
10、如图,在 中,D就是AC上得一点,且 , ,则 _______, ______, ________、

11、如图,已知:在 中, , ,BD就是 得角平分线,求 得度数、

12.一个等腰三角形得一个内角比另一个内角得2倍少30o,求这个三角形得三个内角得度数.
13、如图,已知∠D =∠C,∠A =∠B,且AE = BF。求证:AD = BC。

14.如图,在△ABC中,AB = AC,AD⊥AC∠BAC = 100°。求∠1、∠3、∠B得度数。

15.如图,在△ABC中,D为AC上一点,并且AB = AD,DB = DC,若∠C = 29°,求∠A。
能力提升
填空:
(1)如图,在△ABC中,AB = AC,点D在AC上,且BD = BC = AD。
请找出所有得等腰三角形 。
(2)等腰三角形得顶角为50°,则它得底角为 。
(3)等腰三角形得一个角为40°,则另两个角为 。
（4） 等边三角形得三个角都相等,并且每个角都等于60°。
2、如图,在△ABC中,AB = AC,D就是BC边上得中点,且DE⊥AB,DF⊥AC。
求证:∠1 =∠2。
3.如图,A、B、F、D在同一直线上,AB=DF, AE=BC,且AE∥BC、
A
B
F
D
E
C

求证:⑴△AEF≌△BCD, ⑵EF∥CD、
经典证明题:
1、如图,中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD = CE。求证:就是等腰三角形。

2、如图,在△ABC中,AB = AC,DE∥BC,求证:△ADE就是等腰三角形。

3、如图,E就是△ABC内得一点,AB = AC,连接AE、BE、CE,且BE = CE,延长AE,
交BC边于点D。求证:AD⊥BC。
4、 已知:如图,△ABC就是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E。
求证:△ADE 就是等边三角形。
5、如图,△ABC就是等边三角形,BD = CE,∠1 =∠2。求证:△ADE就是等边三角形。

6、如图,在Rt中,∠B = 30°,BD = AD,BD = 12,求DC得长。

练习:
填空:
(1)如图1,BC = AC,若 ,则△ABC就是等边三角形。
(2)如图2,AB = AC,BC⊥AD,BD = 4,若AB = ,则△ABC就是等边三角形。
(3)如图3,在Rt中,∠B = 30°,AC = 6cm,则AB = ;若AB = 7,则AC = 。
图1 图2 图3
2、如右图,已知△ABC与△BDE都就是等边三角形,求证:AE=CD。

3、填空:
(1)如图1,AB = AC,AD就是△ABC得一条中线,AB = 5,若BD = ,
则△ABC就是等边三角形。
(2)如图2,∠BAC＝120°,AB＝AC,AB＝14,则AD = 。

图1 图2
4、已知:中,,,,AB = 40,
求DB得长。
B
A
C
D

5、在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求:AB得长
A

B

C

D

E

O

6、如图,AB=AC,O就是BC得中点,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,
请用两种方法说明 OD= OE
7、如图,已知AD∥BC,BD平分∠ABC、△ABD就是等腰三角形吗？请您说明理由、

8、 如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,
(1)求证:△ABD≌△BCE
(2)求∠APE得度数。

9.要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水(如图)。 修在河边什么地方,可使所用水管最短？试在图中确定水泵站得位置.
第二节 直角三角形
知识回顾:
1、勾股定理得内容: _________________ 。
2、 下列长度得三条线段能构成直角三角形得就是( )
①8,15,17 ②4,5,6 ③7,5、4,8、5 ④ 24,25,7 ⑤ 5,8,10
3、把命题“如果两个角就是对顶角,那么它们相等。”得条件与结论交换位置:
如果____________ ,那么__________ 。此命题就是____命题、
知识点
1、直角三角形得两个锐角互余。(性质)
2、有两个角互余得三角形就是直角三角形。(判定)
3、直角三角形两条直角边得平方与等于斜边得平方。(性质)
4、如果三角形两边得平方与等于第三边得平方,那么这个三角形就是直角三角形。(判定)
5、在两个命题中,如果一个命题得条件与结论分别就是另一个命题得结论与条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题得逆命题。
6、如果一个定理得逆命题经过证明就是真命题,那么它也就是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理得逆定理。
练习:
1、说出下列命题得逆命题,并判断原命题与逆命题得真假:
(1)四边形就是多边形; ( )__________ )
(2)两直线平行,同旁内角互补; ( )_______________________( )
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0、 ( )_______________________( )
2、 命题:等腰三角形两腰上得高相等得逆命题就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、
3、 若一个直角两直角边之比为3:4,斜边长20CM,则两直角边为 、
4、 已知直角三角形两直角边长分别为6与8,则斜边长为_______,斜边上得高为_______、
5、 小明将长2、5M得梯子斜靠在竖直得墙上,这时梯子底端B到墙根C得距离就是0、7M,如果梯子得顶端垂直下滑0、4M,那么梯子得底端B将向外移动多少米、
练习:
选择题
1.下列命题中,就是真命题得就是 ( )
A.相等得角就是对顶角 B.两直线平行,同位角互补
C.等腰三角形得两个底角相等 D.直角三角形中两锐角互补
2.若三角形三边长之比为1∶∶2,则这个三角形中得最大角得度数就是 ( )
A.60° B.90°　　　C、120° D.150°
3.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2,则其各角所对边长之比等于 ( )
A.∶1∶2 B.1∶2∶ C.1∶∶2 D.2∶1∶
4.具备下列条件得两个三角形可以判定它们全等得就是 ( )
A.一边与这边上得高对应相等 B.两边与第三边上得高对应相等
C.两边与其中一边得对角对应相等 D.两个直角三角形中得斜边对应相等
5.在等腰三角形中,腰长就是a,一腰上得高与另一腰得夹角就是30°,则此等腰三角形得底边上得高就是 .
6、如图,BA⊥DA于A,AD = 12,DC = 9,CA = 15,求证:BA∥DC。

7、若直角三角形得三条边长分别就是6,8,a,则a =__________。
8、已知:如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=。
(1)求DC得长;(2)求AD得长;(3)求AB得长;
（4） 求证:△ABC就是直角三角形、
9、填空:
(1)直角三角形得两直角边为9、12,则斜边为 ;直角三角形得斜边为13,
其中一条直角边为5,则另一条直角边为 。
(2)如果一个三角形得三边分别就是6、10、8,则这个三角形就是 三角形。
10、说出下列命题得逆命题,并判断每对命题得真假。
1)等边对等角;
2)对顶角相等;
3)平行四边形得两组对边相等;
4)正方形得四条边都相等;
11、某校把一块形状为直角三角形得废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB＝90°,
AC＝80米,BC＝60米,若线段CD就是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠得造价
为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠得造价最低？最低造价就是多少？
图5

12、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E就是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,
则AD等于 。
13 、如图所示得一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地得面积。

14、如图,∠ACB = ∠ADB = 90°,AC = AD,E就是AB上得一点。求证:CE DE。

15、填空:、如下图,Rt△ABC与Rt△DEF,∠C=∠F=90°。
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF得依据就是__________、
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF得依据就是__________、
(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF得依据就是__________、
(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF得依据就是__________、
(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF得依据就是__________、

16、如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB。