信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,SIGNALS,SYSTEMS,第四章 连续时间信号与系统的复频域分析,在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法分析信号与系统的频域特性。,傅里叶分析法带来的好处,建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱分布、带宽等频域特性。,可以得到系统在频域的系统函数，方便理解系统的传输特性，同时易于求取系统的零状态响应。,0 ,1,2,1,0 ,1,2,时域分析方法对于复杂的系统只能求得结果，不能从物理概念上解释为什么得到这种响应，从而在系统分析、设计和调整上遇到困难。,傅立叶分析法可以从频谱的观点说明激励与响应之间的差异情况，物理概念清楚，方便系统分析、设计和元件参数调整。,例如：,有科学家在应用傅里叶分析法求响应时，觉得,对具有初始条件的系统问题，不能利用傅里叶变换求得系统的完全响应。,一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换，如 ，而不能用傅里叶分析法分析。,这个科学家就是法国的拉普拉斯，他希望能解决上面问题，然后提出了新的变换方法，被称为拉普拉斯变化法。,本章即学习和研究用拉普拉斯变换分析法分析信号与系统。主要内容：,由傅里叶变换导出拉普拉斯变换。,讨论拉普拉斯变换的基本性质和常用信号的拉普拉斯变换对。,讨论线性系统的拉普拉斯变换分析法，并运用该分析法分析线性系统。,4.1,拉普拉斯变换,4.2,拉普拉斯变换的性质,4.3,拉普拉斯反变换,4.4,连续时间系统的复频域分析,4.5,系统函数,4.6,系统函数及其零、极点分布与系统的时域和频域特性,4.7,双边拉普拉斯变换,4.8,连续时间系统的,s,域模拟,4.9,系统的稳定性,内容回顾,本 章 内 容 安 排,作 业,4.1(1)(5),、,4.2(2)(4)(6),、,4.4,4.8(2)(4)(10),、,4.6(1)(2),、,4.9(1)(2),4.10(1)(3)(4),、,4.11(1),、,4.13,4.15,、,4.19(1),、,4.35,4.1,拉普拉斯变换,laplace,transform,1,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,当函数 满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：,绝对可积,极值数目有限,有限个间断点,很多信号因为不满足绝对可积，不存在傅里叶变换。,为使更多的函数存在变换，引入一衰减因子,与 相乘，,使 满足绝对可积，求其傅里叶变换：,积分变换式须有严格的数学证明，不能随意给出，下面由傅里叶变换式推导拉普拉斯变换式。,与,比较，显然,由傅立叶反变换,令,则,通过积分变换，将自变量为,t,的函数变成自变量为,s,的函数,通过积分变换，将自变量为,s,的函数变成自变量为,t,的函数,由此得到双边拉普拉斯变换：,（拉普拉斯正变换）,（拉普拉斯逆变换）,可能包含有冲激函数及其导数项，取积分的下限为 。,实际应用中的,大都是有始信号，并考虑到信号在,t=0,时刻,得到单边拉普拉斯变换：,如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。,通常表示为：,或,原函数,象函数,在傅立叶反变换中，时间函数,分解为无穷多项,的指数函数,之和。,拉氏变换可以理解为一种广义的傅立叶变换，,扩展为复变量,s,的复指数函数,，即将时间函数,看成无穷多项,的叠加。,表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。,表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。,傅立叶变换将时间函数,变换为频域函数,拉斯变换将时间函数,变换为复变函数,拉普拉斯变换的理解才得到拉普拉斯变换式，所以,，拉普拉斯变换存在的充要条件是：,或,2,拉普拉斯变换的收敛域,在前面的讨论中，引入一衰减因子,，,使 满足绝对可积，,f,(,t,),不同，则满足条件的,不同,使,满足绝对可积条件的,的取值范围称为拉普拉斯,变换,的收敛域。,定义：,若,时，,比如：,的拉普拉斯变换,的收敛域为,绝对可积，,则，,根据,的值可将,s,平面划分为两个区域：,称为收敛坐标。,称为收敛轴（收敛域的边界）,收敛轴,0,非收敛区,收敛区,例,4.1,求函数,的拉氏变换的收敛域。,解：,无论,取何值，被积函数均收敛。所以其收敛域为整个,S,平面。,推广：任何时限有界的函数，其拉氏变换的收敛域就是整个,S,平面。,即,例,4.2,求函数,的拉氏变换的收敛域。,解：,即,，收敛轴为虚轴，收敛域为右半,S,平面。,下面讨论一些典型函数拉普拉斯变换的收敛域,时，,例,4.3,设函数,；,。,求它们的双边拉氏变换 和,，并画出各自的收敛域。,解：根据定义,同理,的收敛域,的收敛域,虽然有相同的,和,表达式，但由于收敛域的不同，,而表示了完全不同的函数。,所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。,由绝对可积条件,，因此收敛域为,，,由绝对可积条件,，因此收敛域为,，,为什么要讨论收敛域？,对于某个信号，只要能够找到收敛坐标，就存在拉普拉斯变换。,如果找不到收敛域，则该信号不存在拉普拉斯变换。,对于单边拉斯变换，不会存在拉斯变换对不是唯一对应，可以不标收敛域；双边拉斯变换的收敛问题比较复杂，会出现不同的原函数的像函数是一样的，需要标注收敛域。,严格来讲，求拉氏变换时，应同时给出收敛域。,3.1,单位冲激函数,即,3.2,单位阶跃函数,即,3,常用信号的拉普拉斯变换,3.3,指数信号,即,而,傅立叶变换中由于有些信号不满足绝对可积条件，频谱函数中含有冲激函数。,而拉斯变换增加了衰减因子，使信号收敛，象函数中不含冲激函数。,因此，拉斯变换后的函数形式比傅立叶变换简单，方便进一步运算。,序号,1,1,2,3,4,5,（,n,为正整数,）,6,表,4.1,常用函数的拉普拉斯变换表,7,8,9,10,11,12,13,1.,线性性质,若 ，,式中，和 为任意常数。,证明：,4.2,拉普拉斯变换的性质,与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有许多重要性质。掌握好这些性质，有助于求解一些复杂信号的拉普拉斯变换。,则,例,4.4,求函数,的拉普拉斯变换,解：由欧拉公式和线性性质,同理,若 ，则,2.,时移（延时）性质,这里研究单边拉氏变换，所以没有 以免移到左半平面,注意,适用时移性质,例,4.5,已知斜坡信号,的拉普拉斯变换为,。试分别求,和,的拉普拉斯变换（假设 ）。,，,，,解：,4,种信号波形如图,4.4,所示。,（,a,）（,b,）,图,4.4,例,4.5,的,4种信号的波形图,（,c,）（,d,）,由图可见，,和,两种信号，在,时，二者的波形相同，,所以它们的拉氏变换也应该相同，即,信号,的拉普拉斯变换为,信号,的拉普拉斯变换由时移性质得,设,为以,T,为周期的周期信号，、,、,等分别表,示它的第一周期、第二周期、,等的函数，则可将,表示为,若,，则根据时移性质，可写出,的象函数为,周期信号的拉普拉斯变换等于：,因子。,其第一周期单个信号的拉普拉斯变换式乘以,利用时移性质求有始周期信号的拉普拉斯变换,例,4.6,求下图所示信号的拉普拉斯变换。,其第一个周期函数的拉普拉斯变换为,所以,解：,若,，则,如果信号函数既有时移又有尺度变换，则其拉普拉斯变换为,3.,尺度变换性质,注：对双边拉氏变换，存在,例,4.7,已知,，求,的拉普拉斯变换。,解：由尺度变换性质和时移性质,4.,频移性质,若,，则,时间函数乘以,，其变换式在,S,域内移动,。,可以为实数或复数。,例,4.8,求,和,的象函数。,解：因为,由频移性质,若,，且,的一阶导数存在，则,证明：由拉普拉斯变换定义有,因为,在收敛域内有,，则有,同理可推得,5.,时域微分性质,运用分部积分法,如果,为一有始函数，则,，,，,，,均为零，那么时域微分性质可化简为,例,4.9,和,的波形如图（,a,）和（,b,）所示。求,及其一阶导数的拉普拉斯变换。,、,（,b,）,（,a,）,解,：（,1求 的拉普拉斯变换,应用时移性质和线性性质有,由于单边拉氏变换的积分是从,开始的，,故,的拉普,拉斯变换与,相同，即,、,由图,(,a),、,(b),可得：,（,b,）,（,a,）,、,、,（,2,）求,的一阶导数的拉普拉斯变换,a),由,的表达式求,b),利用时域微分性质求,若,，则,如果函数的积分区间不由,0,开始，而是由,开始，则因,6.,时域积分性质,有,推广到,n,重积分：,例,4.10,求图（,a,）所示函数的拉普拉斯变换。,(a),(b),解,:,解题思路,的波形如图（,b,）所示,，则,由时移性质和线性性质得,由图（,b,）可知,是因果信号，再由时域积分性质可得,求,例,411,设信号,，求其拉普拉斯变换,解 因,，且,由时域积分性质得,而,所以,以,此类推，可以求得,若,，则,7.,复频域微分性质,例 求,的拉氏变换。,还可求得,例,4.12,求,的拉氏变换。,解 因为,所以,若有,，则,8.,复频域积分性质,设函数,及其导数,存在，且 、,也存在，,则,的初值为,初值定理只适用于在原点处没有冲激的函数。,9.,初值定理,设函数,及其导数,存在，且 、,也存在；,的所有极点在,s,平面的左半平面内（原点处可有单阶极点），则,的终值,10.,终值定理,满足此条件才存在终值,初值定理只适用于在原点处没有冲激的函数。,证明：,初值定理的证明,能够建立,sF(s),和,f(t),之间关系的表达式是,取极限,如果,f,(t),在,t=0,处无冲激，则该项为,0,例,4.14,试求,所对应的原函数,的初值和终值。,解：,由于,平面的右半平面有极点,，故,不存在。,若,，则,，,11.,时域卷积定理,若,，,，则,12.,复频域卷积定理,序号,名称,结 论,1,线性性质,2,时移性质,3,尺度变换性质,4,频移性质,5,时域微分性质,表,4.2,拉普拉斯变换的性质及定理,有始周期信号,6,时域积分性质,7,复频域微分性质,8,复频域积分性质,9,初值定理,为真分式,10,终值定理,的极点在,S,左半平面,11,时域卷积定理,12,复频域卷积定理,4.3,拉普拉斯反变换,拉普拉斯反变换,由象函数 求原函数,。,拉氏变换的提出是为了克服傅里叶变换的缺点,：,一些常用信号不存在傅里叶变换,求傅里叶反变换困难，难以利用傅里叶变换分析法求系统的响应。,不能求全响应,拉普拉斯反变换怎么求？好求吗？,求拉氏反变换的方法,查表法,查常用函数的拉普拉斯变换表和拉氏变换性质表求拉氏反变换，适用于简单函数情况。,部分分式法,部分分式法是将复杂象函数分解为多个简单函数之和，然后分别求其原函数，适用于有理函数的情况；,留数法,留数法则是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行，既适用于有理函数也适用于无理函数,。,设象函数,是复变量,s,的一个有理分式,:,1.,部分分式法,式中，,当,时，先用长除法将,表示为一个,s,的多项式与一个余,式,（真分式）之和，即,原函数为冲激函数及其各阶导数的线性组合,拉氏反变换如何求？,是真分式的情况，可以采用部分分式法：,对于,进行因式分解，对分式进行部分分式展开,变成简单函,把分母,数的和的形式，由每个简单函数的原函数得到整个函数的原函数。,的根不同，部分分式展开的结果不同，下面分别讨论单实根、,共轭复根、多重根情况下的部分分式求法。,的所有根均为单实根,1.1,设,的,n,个单实根分别为,，,，,，,，则,可分解为,求待定系数,上式两边同乘以因子,，并令,=0,=0,=0,例,4.15,求,的原函数,是一个假分式，采用长除法表示成真分式形式,解,查表,求原函数,由,得,对真分式进行部分分式展开,分别代入，可得,则,求待定系数,1.2,具有共轭复根且无重复根,有一对共轭复数根，即存在二次多项式因子,，简便的方法可将其配成二项式的平方，将一对共轭复数,根作为一个整体来求解，例如,再由,表,4.1,中公式,10,可得,例,4.16,求,的原函数,解：将,展开,由于,是单根,将,代入，用等式两边对应系数相等的方法求得系数,则有,所以,略,1.3,含有重根,为方便讨论，设,只有一个,p,重根,，即,将上式两边同乘以,，有,求待定系数,因式分解,则,再将上式两边对,s,求导,以此类推，可求得重根项对应的所有系数，其求解的一般公式为,则,查表,求原函数,例,4.17,求象函数,的原函数,解 将,部分分式展开,为单根，,为三重根，,则,从而,复变函数理论中的留数定理,沿围线,C,的积分等于围线,C,中被积函数各极点上的留数之和。,拉普拉斯反变换式为,2.,留数法,的围线积分路径,为了应用留数定理，从,到,一条积分路径,L,，构成一闭合围线，,如右图所示。,补足的这条路径,L,是半径为,的圆弧。,补足,那么,从而由留数法求拉普拉斯反变换的公式为,（,1,）若,为一阶极点，则,t,0,（,2,）若,为,k,阶极点，则,t,0,可以证明，当 为真分式时,沿,L,路径的积分为零,所以,留数法与部分分式法本质上是一样的,例,418,已知,，试用留数法求,解,:,有一个单根,和一个三重根,，求相应的的留数：,所以,与例,4.17,的计算结果相同。,4.4,连续时间系统的复频域分析,连续时间系统的复频域分析法即拉普拉斯变换分析法，本节讨论用拉普拉斯变换求连续时间系统的响应。,一、用拉普拉斯变换法求解线性常系数微分方程,设线性时不变系统的激励为,，响应为,，描述,n,阶系统的,输入输出方程的一般形式是,上式也可写为,式中,，,均为常数。,根据,时域微分定理,，,通常,是在,t,=0,时接入，则在,时,及其各阶导数均为零,，,，,，,设系统的初始状态为,下面将微分方程变换到,S,域求解，对,系统,方程两边求拉斯变换：,则仅与系统的初始状态有关,仅与激励有关,拉氏反变换,即,方程两边拉氏变换得,在,s,域解代数方程，拉氏反变换后即得时域响应。,例,4.20,描述某线性非时变系统的微分方程为,已知输入,，初始状态,，,，求系统的零,输入响应,，零状态响应,和全响应,解：对微分方程两边取单边拉氏变换，有,即,得,将,和已知的各初始值代入上式，得,对以上二式取反变换，分别得零输入响应和零状态响应,系统的全响应,通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程求解，使系统分析简化。,如果电路本身很复杂时，列写其微分方程就比较困难，怎么办？,将电路的时域模型转换成,s,域模型，再建立系统方程。,这就是,s,域模型法。,二、电路的,s,域模型法,如同频域模型法求解电路：,频域电路模型,时域电路模型,对任意节点，流出（或流入）该结点的象电流的代数和恒等于零。,KCL,、,KVL,的时域形式,对任意回路，沿该回路闭合巡行一周，各段电路象电压的代数和恒等于零。,1.,KCL,和,KVL,的,s,域形式,KCL,、,KVL,的,S,域形式,拉氏变换,R,、,L,和,C,元件的时域关系分别为,2.,电路元件的,s,域模型,拉氏变换,图,4.10 s,域元件的串联模型,电阻,电感,电容,将式（,4.57,）到（,4.59,）对电流求解，得到：,与此对应的,s,域网络模型如图,4.11,所示,图,4.11 s,域元件的并联模型电阻,电感,电容,电路元件的,s,域模型,总结,在,S,域模型中，动态元件的初值转换为电压源或电流源。,串联形式是元件与电压源串联，适用于串联回路应用,KVL,情况下。,并联形式是元件与电流源并联，适用于并联回路应用,KCL,情况下。,（,1,）建立电路的,s,域模型。,（,2,）,列写电路的,s,域,KCL,、,KVL,方程。,（,3,）解出所求量的象函数。,3.,用拉普拉斯变换法分析电路,有了,S,域的电路元件模型，就可以在,S,域里分析电路，步骤如下：,在复频域里分析电路相对于在频域里分析电路的优势是可以将初始条件包含进去。,（,4,）拉普拉斯反变换，得所求量的时间函数。,例,4.21电路如右图所示，,时，开关,k,处于“,1,”,，电路已达稳态，,时，,开关,k,由“,1,”,置向“,2,”,，求,（,）,解 先求电路的初始状态：,画电路的,s,域模型,电路以并联为主，,S,域采用电流形式的串联模型,令,，则,解得：,拉氏反变换,列写,S,域方程,小 结,连续时间系统的复频域分析法即拉普拉斯变换分析法，其特点是,：,该方法能将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化；,微分方程的初始条件可以自动包含到象函数中，直接求得方程的完全解；,用该方法分析电路时，可以不列出系统的微分方程，而直接利用电路的,s,域模型，列出电路的,s,域方程，先求出响应的象函数，再由拉氏反变换求得原函数。,一,.,系统函数的定义,4.5,系统函数,定义：系统的零状态响应的象函数,与激励的象函数,之比为,系统函数，用,表示，即,系统函数的,特性,：,系统函数,与系统的激励和响应的形式无关，它只取决于系统,本身的特性。,系统函数,的拉普拉斯反变换就是系统的冲激响应,是频域的系统函数,，,简称为频响函数。,是复频域的系统函数,证明性质,1,：,一个线性非时变系统，可由,n,阶常系数线性微分方程描述，即,设系统初始状态为零，对上式两边进行拉普拉斯变换,由系统本身决定，与激励无关,（略）,证明性质,2,：,在第二章时域分析中得到,求拉氏变换,而,所以,系统函数在系统分析中的作用,：,通过分析系统函数的零、极点分布，来,分析系统的时域特性和频域特性,确定系统的稳定性,利用系统函数,求解系统的零状态响应,二,.,利用系统函数,求解系统的零状态响应,利用系统函数,求系统的零状态响应,的基本步骤,：,（,1,）计算,；,（,2,）求激励信号,的象函数,；,求出响应,的象函数,；,（,3,）,按式,（,4,）对,求拉普拉斯反变换即得时域零状态响应,略,例,2.9,设描述系统的微分方程为,单位冲激响应。,，求系统的,解：,零初始状态下，对方程拉氏变换：,在,s,域求,H,(,s,),，拉氏反变换得,h,(,t,),。,例,4.23,下,图所示电路，,，求电路的零状态响应,。,解：该系统的系统函数为,为了计算方便，令,则,则,激励信号,略,4.6,系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性,一,.,系统函数,的零、极点及零极图,n,阶系统的系统函数为,，,，,式中,的,n,个根,，,称为系统函数,的极点；,的,m,个根,，,，,，,称为系统函数,的零点。,“,”,表示极点，,这个图称为系统函数的零、极点分布图，简称系统的零极图。,将系统函数,的零、极点标在,S,平面上，并用,“,”,表示零点，用,定义：系统的零极图,例,4.24,已知某系统的系统函数,，求系统的零、,极点，并画出系统的零极图。,解：将,分子、分母作因式分解，得,则系统的极点为：,（二重极点）,系统的零点,为,：,零极点分布如右图所示。,若对,求拉普拉斯反变换，则,的每个极点将对应一个时间函数。,角将,由极点和零点共同决定。,也完全由,的零、极点位置决定。,那么，系统的冲激响应,也就是说：,（部分分式法和留数法都可以说明这一点）,而幅度和相,系统的时域特性由,h,(,t,),确定。（稳定性、因果性）,因为,冲激响应,的函数形式完全取决于,的极点；,完全由它的的零、极点位置决定。,二,.,零极点分布与系统的时域特性,t,显然，极点位于,S,的左半平面时，,h(t,),绝对可积，系统稳定,（,1,）当系统函数,的所有极点位于,S,的左半平面，系统单位冲激响应,满足,；系统稳定,极点位于,S,的虚轴上当极点为单阶时，系统单位,的模式是等幅振荡或直流；若为重阶的，,（,2,）若系统函数,为增幅振荡；,冲激,响应,极点有一个落在,S,右半平面，则系统单位冲激响应,就是增幅的。,系统不稳定,（,3,）若系统函数,另外，,的零点分布可影响冲激响应,的幅度和相位，但不影响,系统的冲激响应的模式。,归纳：,系统临界稳定,系统不稳定,时域中的波形,s,平面上的零、极点,与,的对应关系,表,4-3,略,时域中的波形,s,平面上的零、极点,略,，即令,s,沿虚轴移动，则由,H(s),得到,H,(,j,),取,建立,H(s),与,H,(,j,),的关系,系统的频域特性由,H,(,j,),确定。,频率特性决定了系统对频率的选择性和通频带宽。,三,.,零极点分布与系统的频域特性,将相应的复数因子都可以表示为,矢量形式：,分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。,、,分别是零、极点矢量的模；,、,表达式还是复杂,当,沿虚轴,从,变化，可由零点矢量、极点矢量的变化,大致描绘出,和,曲线。,当,沿虚轴变化，,B,、,A,长短会变化；,、,也会变化。,零点矢量模的积,极点矢量模的积,零点矢量夹角和,极点矢量夹角和,即，可根据,H,(,s,),的零极点,大致描绘出,和,曲线。,由,H(s),的零极点分布得到系统的频域特性步骤,H(s),易求，首先求出,H(s),H(s),表达式简单，求出,H(s),的零极点，画出零极图,在零极图上，让,s,沿,j,轴从,0,向,变化，,观察零点矢量和极点矢量的变化，,、,曲线,大致描绘出,由,例,4.25,研究图,1,所示,RC,高通滤波网络的频响特性,解,：（,1,）,求,H(s),（,2,）画零极图,将,以矢量因子,，,表示,图,1,图,2,举例说明,则,当,时，,，也即,当,时，,不变,（,3,）在零极图上，让,s,沿,j,轴从,0,向,变化，,分析,H(j),如何变化,当,时，,(4),绘制出幅频特性和相频特性曲线,极点决定了幅频特性的截止频率,例,4.26,研究图,4.24,所示,RC,网络的频响特性,解：,（,1,）,求,H(s),零、极点分布图,将,以矢量因子表示,（,2,）画零极图,（,3,）在零极图上，让,s,沿,j,轴从,0,向,变化，,分析,H(j),如何变化,（,4,）绘制频响曲线：,这是一个,低通网络，截止频率位于,处。,（,a,）幅频响应曲线,零、极点分布图,（,b,）相频响应曲线,极点决定了幅频特性的截止频率。,轴从,0,向,变化时，,A,从,1/RC,逐渐增大到,，,从,0,增加到,90,。,极点位置决定了幅频特性的截止频率。,由此可见，一阶网络具有一个极点，对于无源网络该极点总位于负实数轴上，其零点决定了网络是低通网络、高通网络还是全通网络。,归纳得：一阶系统零极点分布与系统频率选择性的对应关系,高通,低通,全通,同理可推得二阶系统：,系统设计时，可以,通过改变零极点位置来改变系统的频率特性,进一步，通过,MATLAB,仿真，选择优化零极点位置，及优化系统设计。,4.7,双边拉普拉斯变换,一、双边拉普拉斯正变换,双边拉普拉斯变换的定义如下,这里时间,信号,是一个双边函数，可将其分解为右边函数,和左边函数,之和，即,一般情况下，信号是有始信号，系统是因果系统，所以用单边拉氏变换就可以分析。但有时还要考察,(-,+,),区间的情况，如周期信号、平稳随机,过程等，或者分析理想系统，这时就需要用双边拉氏变换来分析。,下标,d,表示双边拉普拉斯变换,存在的条件：,那么,若,的拉氏变换同时存在，且二者有公共收敛域，则,与,没有公共收敛域，则,的双边拉氏变换就不存在。,如,右边函数,的拉氏变换就是前面已讨论过的单边拉氏变换。,左边函数,的拉氏变换怎么求？,变成了以,为自变量的右边函数,即是右边函数,的单边拉氏变换,现在讨论如何求左边函数的拉氏变换,：,令,，得,再令,，得,因此,求单边拉氏变换已经很熟练，能否通过单边拉式变换求取？,比较,(1),和,(2),式可知,拉氏变换,反过来,拉氏反变换,分别求出,和,后，,求出双边拉氏变换后,，同时给出收敛域。,判断是否有公共收敛域,有，则,无，则不存在,双边拉氏变换。,，,例,4.28,求双边指数函数,的双边拉普拉斯变换。,解：首先求右边函数的拉氏变换,求,左边函数的拉氏变换,右边函数的收敛域：,左边函数的收敛域：,因为,，所以,和,有公共收敛域,其收敛域如图,所示。,故,存在并为,对于右边函数，收敛域应满足：,则,对于左边函数，收敛域应满足：,则,通常像函数可以表示为：,或,，极点为单根,，极点为重根,象函数的极点与收敛域的关系,极点在收敛域的右边,极点在收敛域的左边,结 论,求拉氏变换的收敛域时，可以直接由象函数的极点给出。,，,右边函数,左边函数,对于双边拉氏变换的象函数，可以根据收敛域确定极点对应的函数是左边函数的象函数还是右边函数的象函数。,在求解双边拉普拉斯反变换时，首先确定哪是右边函数的象函数，哪是左边函数的象函数，然后分别对右边函数和左边函数进行拉氏反变换。,二,.,双边拉普拉斯反变换,的极点位于收敛域的两侧，左侧的极点对应的函数部分是,，右侧的极点对应的函数部分是,。,确定左边函数和右边函数的方法：根据极点与收敛域的位置关系。,对应右边函数,对应左边函数,例,4.29,求,，的时间原函数。收敛域分别为,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解：（,1,）其极点分布和收敛域如图,4.31,所示,。,将,展开成部分分式有,对应于,的是左边函数,。,的求取如下,因此对应于,的是右边函数,图,4.31,例,4.29,（,1,）的收敛域,令,，得,对,求单边拉氏反变换，得,令,，即,最后得其解为,（,2,）,因此,和,对应的时间函数均为右边函数，可直接求得,图,4.32,例,4.29,（,2,）的收敛域,和,均为,左侧极点。,显然，极点,收敛域和极点分布如图,4.32,（,2,）,和,均为右侧极点。,例,4.29,（,3,）的收敛域,因此,和,对应的时间函数均为左边函数,可见，对于同一,，当给定的收敛域不同时，将对应不同的时间,能保证反变换,解的唯一性。,函数。,因此，在给出双边拉普拉斯变换时，必须同时给出收敛域，这样才,令,，得,对,求单边拉氏反变换，得,令,，即,（,3,）,左边函数拉氏变换的说明,根据左边函数拉氏变换的步骤可得,若,F,(,s,),对应的右边函数为,f,(,t,),(,t,),，则其对应的左边函数为,-,f,t,),(,-,t,),；,若,f,(,t,),(,t,),的象函数为,F,(,s,),，则,f,(,t,),(,-,t,),的象函数为,-,F,(,s,),。,三,.,双边信号作用下线性系统的响应,分析：,双边信号，像函数为,，收敛域为,，若系统符合因果律，收敛域为,原函数是,指零状态响应，,不存在初始状态,与,存在公共收敛域，则,R(s),存在，否则,不存在。,如果,求,例,4.30,已知激励信号,，系统冲激响应为,，求系统,的响应。,而,可见，,与,有公共收敛域,，,存在。,首先求出,与,，判断是否存在公共收敛域，存在则响应存在，,然后对,双边拉氏反变换得,解题方法：,略,所以,为右侧极点，对应的左边时间函数为,均为左侧极点，对应的右边时间函数为,故系统的响应,因为公共收敛域为,4.8,连续时间系统的,s,域模拟,系统模拟不是仿制真实系统，而是在实验室里用模拟装置组成实验系统，使得它与真实系统具有相同的数学模型，是数学意义上的模拟。,根据系统的数学模型，用基本运算单元和图形符号来表示系统的功能或系统的输入输出关系。,系统的模拟：,（,2.4,节已讨论）,系统模拟可以,时域模拟,S,域模拟,（,S,域的运算关系更简单）,1.,加法器,加法运算式：,一基本运算器的,S,域模拟,2.,标量乘法器,标量乘法的关系式：,3.,积分器,在初始条件为零时，积分器的输出信号与输入信号的关系为,若初始条件不为零，则为,1.,一阶系统的模拟,设一阶系统的微分方程为,对应的系统函数表示为,所以一阶系统的,复频域模拟图为,二连续时间系统的,s,域模拟,S,域的方程为：,因为,二阶系统的微分方程,对应的系统函数表示为,二阶系统的复频域模拟图如图所示,:,2.,二阶系统的模拟,S,域的方程为：,首先用积分器建立起输出与其各阶导数的关系,然后用加法器建立起输出的最高阶导数与其低阶导数和激励的关系,对比时域的模拟,一阶系统为：,二阶系统为,S,域模拟与时域模拟是一致的,依此类推，对一个,n,阶系统，若其微分方程为,对应的系统函数表示为,则其,n,阶系统的复频域模拟图为：,3.n,阶系统的模拟S,域的方程为：,若系统的微分方程中含有输入函数的导数项，即系统既有极点，也有零点时，,当,，其系统函数为,与前面,2.4,节,n,阶系统的时域模拟方法类似可以得出一般,n,阶系统的,s,域模拟图,。,其中令,其微分方程为,要求：在系统的微分方程、系统函数、系统模拟图之间，知道一个能立刻推出另两个。,常见的组合形式有级联、并联、混联等。,复杂系统可以分解成多个简单系统的组合后，,进行模拟分析。,4.,其他形式的模拟,（,1,）级（串）联形式,分解为基本一阶子系统相乘的形式：,级（串）联系统的系统函数是各子系统函数的乘积。,对应系统级联（串联）：,系统的串联形式模拟用以调整系统的零、极点，观察系统的时域和频域特性。,S,-1,S,-1,例如,并联模拟的实现方法是对,进行部分分式展开，分解成子系统的相加。,系统并联的模拟框图：,并联系统的系统函数是各子系统函数的和。,（,2,）并联形式,系统的并联形式模拟用以调整系统的极点和留数，观察系统的时域和频域特性。,S,-1,S,-1,最基本的反馈系,统方框图：,（,3,）反馈系统,指系统的输出或部分输出反过来馈送到输入处，从而引起输出本身变化的闭环系统。,负反馈,反馈信号与输入相减的反馈称为负反馈,正反馈,反馈信号与输入相加的反馈称为征反馈,自动控制系统通常采用负反馈来保证系统稳定。,振荡电路中通常采用正反馈来使电路快速起振。,应用：,例如系统模拟方法不同，系统设计时，调整参数有所不同。,直接形式,可调整的是微分方程的系数,级联形式,可调整系统的极点与零点；,由于,H(s,),的零极点位置直接影响系统的时域特性和频域特性，所以在,S,域模拟实验（,MATLAB,仿真）比在时域更方便，更有实际意义。,并联形式,可调整系统的极点与留数。,4.9,系统的稳定性,一 系统稳定的定义和条件,一个连续时间系统，如果对任意有界的激励，其零状态响应也有界，,则该系统是稳定系统。,有,、,为有界正值，则系统稳定。,即对于所有的,在研究和设计各类系统时，系统的稳定性是一个重要的问题。,稳定性是系统本身的特性，与激励无关。,二 系统稳定的判定方法1,时域判断方法,2 S,域判断方法,或,因果系统,因为,H,(,s,),的零、极点决定了时域的特性，所以可以由,H,(,s,),的极点分布来判断。,（,1,）若,的全部极点位于,S,的左半平面，则系统是,稳定的；,（,2,）若,在原点处或虚轴上有单阶极点，其余极点全在,s,的左半平面，则系统是临界稳定的；,（,3,）若,和原点处有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。,只要有一个极点位于,s,的右半平面，或在虚轴,上,对于因果系统：,h,(,t,),衰减,h,(,t,),等幅,h,(,t,),增幅,（比时域方法简单）,例,4.31,已知某线性时不变系统的系统函数为,试判断该系统是否是稳定系统。,解：由,，可知,h,(,t,),为右边函数，该系统为因果系统。,得极点,两极点均在左半,s,平面，所以该系统是稳定的。,由,例,4.32,已知某线性时不变系统的系统函数为,试判断该系统是否是稳定系统。,解：通常考虑的系统都属于因果系统，虽然本例题未标注,的收敛,域，视它为因果系统。,解得,由于,极点在右半,s,平面，所以系统是不稳定的。,令,略,根据前面判定系统稳定性的方法，需要求出系统函数的全部极点，才能确定系统是否稳定。然而对于三阶以上的高阶系统，求解系统的全部极点较繁琐。而实际上，判断系统稳定性，并不需要知道极点的确切位置，而只要了解它是否在左半,S,平面上。,三 罗斯霍尔维茨准则,（,Routh-Hurwitz,）,罗斯、霍尔维茨提供了判断方程是否有正实部根的简便方法，不用解方程。,1,、霍尔维茨（,Hurwitz,）判断法,若（,1,）系数无缺项；,（,2,）,a,i,0 i=0,1,n,则,D(s),称为霍尔维茨多项式,系统无正实根（稳定）的必要条件：,H(s),中的,D(s),应为霍尔维茨多项式。,2,、罗斯（,Routh,）判断法,罗斯准则：罗斯阵列中：,1,）阵列中首列元素同号时，其根全位于,s,左半平面。,2,）阵列中首列元素有变号时，则含有,s,右半平面根，个数为变号次数。,（,1,）,D(s),应为霍尔维茨多项式,（,2,）排列罗斯阵列,（,3,）由罗斯准则判断,D(s)=0,根的分布,（,4,）判断系统的稳定性。,罗斯（,Routh,）判断法：,第一步 把 的所有系数按如下顺序排成两行,构筑,Routh,阵列的步骤,第二步：排列,Routh,阵列规则如下：,在该阵列中，头两行就是前面特征方程的系数所排成的两行。,依次类推，排列到,a,0,为止,设方程为,阵列中的第一列,构成的数列称为罗斯数列。,下面各行按如下公式计算,，,，,，,，,，,这样构成的阵列中共有,行（以后各行为零）。由阵列中的第一列,构成的数列称为罗斯数列。,依此类推，,，,例,4.33,试判断特征方程,对应的系统是否稳定。,构建罗斯霍,尔,维茨阵列,罗斯霍维茨数列为,82,、,-1,、,11,、,5,。,此特征方程对应的系统不稳定。,该数列两次变换符号，,所以,特征方程有两个正实部的根。,解：方程的系数均为正，且不缺项，满足必要条件。,-1,5,0,0,0,0,0,11,5,解 系统函数为,系统的特征方程为,构建罗斯霍维茨阵列,系统稳定条件为,及,时系统是稳定时。,当,例,4.34,有一反馈系统如图所示，其中,（,时，称为全反馈）。,问,K,为何值时系统是稳定的。,在计算罗斯霍尔维茨阵列时，可能会遇到某行首项,的情况，而因为下一行的所有元素都要以,行计算。遇到这种情况时，就用一个无穷小的量 去代替零，,为分母,，将无法继续进,继续排出阵列，然后令,加以判定。,计算罗斯阵列特殊情况,1,解：,此行首项为零，用,代替,例,4.35,已知系统特征方程为,试判断该系统的稳定性。,，,因为,时，,为负值，,罗斯霍尔维茨数列变号两次，系统不稳定。,系数均为正，不缺项，满足必要条件。,构建罗斯阵列：,计算罗斯阵列特殊情况,2,在计算罗斯霍维茨阵列时，如遇到连续两行数字相等或成比例，,则下一行元素将全部为零，阵列也无法排下去。,（,1,）,审查罗斯霍尔维茨,数列,判定系统的稳定性：,（,2,）审查辅助方程的根是否在,s,的右半平面。,列表时先用全零行的上一行构成辅助方程，它的根就是原方程的根。再将辅助方程求导，用求导后的方程代替全零行。,解,：,方程的系数均为正，且不缺项，满足必要条件。,第三行出现全零行，辅助多项式为,求导得,以,4,，,6,代替全零行系数，继续构建阵列,罗斯霍尔维茨数列无符号改变,解得,系统函数在虚轴上有四个单极点，故系统为临界稳定。,例,4.36,系统特征方程为,，,试判断该系统的稳定性。,为方便后面的运算，在阵列左方标注该行首项的,s,幂次,构建罗斯霍维茨阵列：,求辅助方程的根,内容回顾,拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换按左边函数和右边函数分别进行，双边拉氏变换存在的前提条件是左边函数和右边函数具有公共收敛域。,（,2,）对,求单边拉氏变换得,；,（,3,）对复变量,取反，即,，就求得,（,1,）令,，构成右边函数,；,。的三个步骤：,求取左边函数的拉,氏变换,收敛域：,右边函数：,则,取其公共收敛域即可,左边函数：,则,取其公共收敛域即可,使,满足绝对可积条件的,的取值范围称为拉普拉斯,变换,的收敛域。,像函数的极点在收敛域的右侧,像函数的极点在收敛域的左侧,双边函数：,是左边函数和右边函数的公共收敛域。,像函数的极点在收敛域的两侧,时限有界函数的收敛域为整个,s,平面,常用信号的拉普拉斯变换,1,1,信号在,S,域的形式比频域的形式简单，求反变换容易。,通常在,S,域求系统的响应。,拉普拉斯变换的性质,拉普拉斯反变换,查表法,部分分式法,留数法,求解线性常系数微分方程,连续时间系统的复频域分析,电路的,s