1、5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,5.1,二次型的矩阵表示,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次型及其矩阵表示,5、1,二次型及其矩阵表示,一、,n,元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵得合同,四、小结,5、1,二次型及其矩阵表示,5、1,二次型及其矩阵表示,解析几何中,选择适当角度,逆
2、时针旋转坐标轴,(,标准方程,),中心与坐标原点重合得有心二次曲线,问题得引入,5、1,二次型及其矩阵表示,代数观点下,作适当得非退化线性替换,只含平方项得多项式,二次齐次多项式,(,标准形,),5、1,二次型及其矩阵表示,一、,n,元二次型,1,、定义,设,P,为数域,称为数域,P,上得一个,n,元二次型(,Quadratic Form,),、,n,个文字 的二次齐次多项式,5、1,二次型及其矩阵表示,注意,2、,式 也可写成,1、,为了计算与讨论得方便,式中,写成,得系数,5、1,二次型及其矩阵表示,(,1,),约定中,a,ij,=,a,ji,ij,由,x,i,x,j,x,j,x,i,有,
3、2,、二次型得矩阵表示,5、1,二次型及其矩阵表示,则矩阵,A,称为,二次型 的矩阵,（,matrix,）,.,5、1,二次型及其矩阵表示,(,2,),令,5、1,二次型及其矩阵表示,于就是有,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,5、1,二次型及其矩阵表示,注意,2、,二次型与它得矩阵相互唯一确定,即,正因为如此,讨论二次型时矩阵就是一个有力得工具,、,若,且,，则,1.,二次型的矩阵总是对称矩阵，即,（这表明在选定文字下，二次型,完全由对称矩阵,A,决定,.),5、1,二次型及其矩阵表示,练习,1,写出矩阵表示,1、,实数域,R,上得,2,元二次型,3、,复数域,C,上
4、得,4,元二次型,2.,实数域,R,上的,3,元二次型,5、1,二次型及其矩阵表示,练习,2,写出下列二次型得矩阵,其中,5、1,二次型及其矩阵表示,二、非退化线性替换,1,、定义,就是两组文字,关系式,称为由,的一个线性替换,;,若系数行列式,|c,ij,|,0,则称,为非退化线性替换,(non-degenerate linear transformation)、,5、1,二次型及其矩阵表示,.,0,就是非退化得,、,例,1,变换,5、1,二次型及其矩阵表示,2,、线性替换得矩阵表示,则,可表示为,X=CY,若,|C|,0,则,为非退化线性替换,、,5、1,二次型及其矩阵表示,3,、二次型经
5、过非退化线性替换仍为二次型,是一个 二次型,.,5、1,二次型及其矩阵表示,三、矩阵得合同,1、,合同具有,对称性(,symmetry,):,反身性(,reflexivity,):,注意,1,、定义,设 ，若存在可逆矩阵,使 ，则称,A,与,B,合同,(congruent),.,5、1,二次型及其矩阵表示,3、,与对称矩阵合同得矩阵就是对称矩阵,、,2、,合同矩阵具有相同得秩,、,即,C,1,C,2,可逆,、,传递性(,transitivity,),:,5、1,二次型及其矩阵表示,2,、经过非退化线性替换,新二次型矩阵与,A,与,B,合同,.,二次型,XAX,可经非退化线性替换化为二次型,YBY,原二次型矩阵就是合同得,、,5、1,二次型及其矩阵表示,例,2,证明:矩阵,A,与,B,合同,其中,一个排列,.,
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