第六章IIR滤波器的设计方法.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章IIR滤波器的设计方法,主要内容,理解数字滤波器得基本概念,了解最小相位延时系统,理解全通系统得特点及应用,掌握冲激响应不变法,掌握双线性变换法,掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器得特点,了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器得设计过程,了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器得方法,6、1 引言,数字滤波器:,就是指输入输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分得相对比例或者滤除某些频率成分得器件。,高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活,不要求阻抗匹配,可实现特殊滤波功能,优点:,1、滤波器得基本概念,(1)滤波器得功能,滤波器得功能就是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分,抑制不要得部分。,a,)时域说明,b,)频域说明,(2)四种基本得滤波器,四种基本滤波器为低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)与带阻滤波器(BRF):,(3)四种基本滤波器得数字表示,低通,高通,带通,带阻,2、LP到其她滤波器得变换,由LP实现得HP,LP实现得BP,LP实现得BRF,10,大家应该也有点累了,稍作休息,大家有疑问得,可以询问与交流,3、滤波器得性能指标,带宽:,当幅度降低到0707时得宽度称为滤波器得带宽(3dB带宽),通带、阻带与过渡带:信号允许通过得频带为通带,完全不允许通过得频带为阻带,通带与阻带之间为过渡带。,滚降与滚降率:,滤波器幅频特性在过渡带得衰减与衰减速度称为滚降与滚降率。,阻带衰减:,输入信号在阻带得衰减量,带内平坦度:,通带与阻带内得平坦程度,4,、,数字滤波器得设计步骤,数字滤波器得设计三个步骤:,(1),按要求确定滤波器得性能参数;,(2)用一个因果稳定得离散线性移不变系统得系统函数去逼近去逼近这一性能要求;,(3)用有限精度得运算实现;实现可以采用通用计算机,也可以采用DSP。,5、数字滤波器得技术要求,选频滤波器得频率响应:,为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况,为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,：通带截止频率,：阻带截止频率,：通带容限,：阻带容限,阻带：,过渡带：,通带：,理想滤波器不可实现,只能以实际滤波器逼近,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,其中：,当 时，,称 为,3dB,通带截止频率,6、表征滤波器频率响应得特征参量,幅度平方响应,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的,H,(,z,),得极点:单位圆内得极点,相位响应,相位响应：,群延迟响应,相位对角频率得导数得负值,若滤波器通带内,=,常数，,则为线性相位滤波器,7、IIR数字滤波器得设计方法,先设计模拟滤波器,再转换为数字滤波器,用一因果稳定得离散,LSI,系统逼近给定得性能要求:,即为求滤波器的各系数,计算机辅助设计法,s,平面逼近:模拟滤波器,z,平面逼近:数字滤波器,8,、,将,DF,得技术指标转换为,ALF,得技术指标,一、意义,AF,得设计有一套相当成熟得方法:设计公式;,设计图表;有典型得滤波器,如巴特沃斯,切比雪,夫等。,二、一般转换方法,1,、,2,、,3,、,4,、,三、转换举例,例如,一低通,DF,得指标:在 得通带,范围,幅度特性下降小于,1dB,;在 得,阻带范围,衰减大于,15dB,;抽样频率 ;,试将这一指标转换成,ALF,得技术指标。,解:按照衰减得定义与给定指标,则有假定 处幅度频响得归一化值为,1,即,这样,上面两式变为,由于 ,所以当没有混叠时,根据关系式,模拟,filter,得指标为,6、2 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统,LSI系统得系统函数:,频率响应:,模:,相角:,当,位于单位圆内得零,/,极矢量角度变化为,2,p,位于单位圆外得零,/,极矢量角度变化为,0,令：,单位圆内零点数为,m,i,单位圆外得零点数为,m,o,单位圆内得极点数为,p,i,单位圆外得极点数为,p,o,则:,全部极点在单位圆内:,p,o,=0,p,i,=N,因果稳定系统,1,)全部零点在单位圆内:,2,)全部零点在单位圆外:,为最小相位延时系统,为最大相位延时系统,n 0,时，,h(n)=0,最小相位延时系统得性质,1,）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后,2,)最小相位延时系统得能量集中在,n=0,附近,而总能量相同,5,)级联一个全通系统,可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应得非最小相位延时系统,4,）在 相同的系统中，唯一,3,）最小相位序列的 最大：,6、3 全通系统,对所有,w,，满足：,称该系统为全通系统,一阶全通系统:,极点:,零点:,零极点以单位圆为镜像对称,极点:,零点:,实系数二阶全通系统,两个零点(极点)共轭对称,极点:,零点:,零点与极点以单位圆为镜像对称,可以证明,一阶全通节在任何频率上,其频率响应得模都为,1N,阶数字全通滤波器,极点：的根,零点：的根,因为,所以,全通系统得应用,1,)任一因果稳定(非最小相位延时)系统,H(z),都可以表示成全通系统,H,ap,(z),与最小相位系统,H,min,(z),得级联,其中：,H,1,(z),为最小相位延时系统，,为单位圆外的一对共轭零点,把,H(z),单位圆外的零点：,映射到单位圆内的镜像位置：,构成,H,min,(z),的零点。,而幅度响应不变:,P231,图,6,6,2,)级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器,把非稳定系统得单位圆外得极点映射到单位圆内,单位圆外极点:,3,)作为相位均衡器,校正系统得非线性相位,而不改变系统得幅度特性,利用均方误差最小准则求均衡器,H,ap,(z),得有关参数,6、4,用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想:,s,平面,z,平面,模拟系统 数字系统,H(z),得频率响应要能模仿,H,a,(s),得频率响应,即,s,平面得虚轴映射到,z,平面得单位圆,因果稳定得,H,a,(s),映射到因果稳定得,H(z),即,s,平面得左半平面,Res 0,映射到,z,平面得单位圆内,|z|,W,s,/2,处衰减越快,失真越小,当滤波器得设计指标以数字域频率,w,c,给定时,不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,二、模拟滤波器得数字化,系数相同：,极点：,s,平面,z,平面,稳定性不变：,S域稳定即极点位于s平面左半平面，故在 s,平面：,z,平面,当,T,很小时,数字滤波器增益很大,易溢出,需修正,令:,则:,试用冲激响应不变法,设计,IIR,数字滤波器,例:设模拟滤波器得系统函数为,解:据题意,得数字滤波器得系统函数:,设,T=1s,则,模拟滤波器得频率响应:,数字滤波器得频率响应:,优点:,缺点:,保持线性关系:,w,=,W,T,线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭,只适用于限带得低通、带通滤波器,h(n),完全模仿模拟滤波器得单位抽样响应,h,a,(,t,),时域逼近良好,冲激响应不变法得优缺点,6、6 阶跃响应不变法,变换原理,数字滤波器得阶跃响应,g,n,),模仿模拟滤波器得阶跃响应,g,a,(,t,),T,抽样周期,阶跃响应不变法同样有频率响应得混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。,例:二阶,Butterworth,归一化模拟滤波器(,LPF,)为:,设计对应,3dB,截止模拟频率为,50Hz,得二阶,Butterworth,数字滤波器。设数字系统采样频率为,500Hz,并采用阶跃响应不变法来设计。,解:求模拟系统函数:,最后得(用在,z,-1,表示),代入,T=1/500,计算,ZT,得,6、7 双线性变换法,冲激响应不变法、阶跃响应不变法:时域模仿逼近缺点就是产生频率响应得混叠失真,为了克服这一缺点,采用双线性变换法。,使数字滤波器得频率响应与模拟滤波器得频率响应相似,一、变换原理及特点,冲激或者阶跃响应不变法得映射就是多值映射,导致频率响应交叠。,改进思路:先将s域平面压缩到一个中介平面s,1,然后再将s,1,映射到Z平面。,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器得任一频率有对应关系,引入系数,c,2,)某一特定频率严格相对应:,1,)低频处有较确切得对应关系:,特定频率处频率响应严格相等,可以较准确地控制截止频率位置,二、变换常数c得选择,三、逼近情况,1,),s,平面虚轴,z,平面单位圆,2,),左半平面,单位圆内,s,平面,z,平面,右半平面,单位圆外,虚轴,单位圆上,四、优缺点,优点:,避免了频率响应得混迭现象,s,平面与,z,平面为单值变换,缺点:除了零频率附近,W,与,w,之间严重非线性,2,)要求模拟滤波器得幅频响应为分段常数型,不然会产生畸变,1,）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器,但临界频率点产生畸变,预畸变,给定数字滤波器得截止频率,w,1,则,按,W,1,设计模拟滤波器,经双线性变换后,即可得到,w,1,为截止频率得数字滤波器,五、模拟滤波器数字化方法,可分解成级联得低阶子系统,可分解成并联得低阶子系统,6、8 常用模拟低通滤波器特性,将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标,设计模拟滤波器,再转换成数字滤波器,模拟滤波器巴特沃斯,Butterworth,滤波器,切比雪夫,Chebyshev,滤波器,椭圆,Ellipse,滤波器,贝塞尔,Bessel,滤波器,1,、由幅度平方函数 确定模拟滤波器得系统函数,h,(,t,),就是实函数,将左半平面得得极点归,H,a,(s),将以虚轴为对称轴得对称零点得任一半作为,H,a,(s),得零点,虚轴上得零点一半归,H,a,(s),H,a,(s)H,a,(-s),得零极点分布,由幅度平方函数得象限对称得,s,平面函数,对比 和 ，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,例:,解:,极点:,零点:(二阶),零点:,得极点:,设增益常数为,K,0,(1,),巴特沃尔斯滤波器(,Butterworth,),2、常见模拟滤波器设计,1),幅度平方函数:,当,称,W,c,为,Butterworth,低通滤波器得,3,分贝带宽,N,为滤波器得阶数,W,c,为通带截止频率,1,)幅度函数特点:,3dB,不变性,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,当,W,W,st,(阻带截止频率)时,衰减得,d,1,为阻带最小衰减,Butterworth,滤波器就是一个全极点滤波器,其极点:,2,)幅度平方特性得极点分布:,极点在,s,平面呈象限对称,分布在,Buttterworth,圆上,共,2N,点,极点间得角度间隔为,极点不落在虚轴上,N,为奇数,实轴上有极点,N,为偶数,实轴上无极点,H,a,(s)H,a,(-s),得零极点分布,(a)N=3(,三阶),(b)N=4,(四阶),为形成稳定得滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面得N个极点构成H,a,(s),而右半平面得N个极点构成H,a,(-s)。H,a,(s)得表示式为,设,N=3,极点有,6,个(见前页图),它们分别为:(下页),3,)滤波器得系统函数:,其中分子系数 由,Ha(0)=1解得。,取,s,平面左半平面得极点,s,0,s,1,s,2,组成,H,a,(s),:,由前讨论知,系统函数为:,极点为:,当,N为偶数,Ha(s)得极点(左半平面)皆成共轭对,记为:,这一对共轭点构成一个二阶子系统:,当,N为奇数,则系统由一个一阶系统(极点,s=-1)与(N-1)/2个二阶系统组成:,整个系统由,N/2(N为偶数)个此二阶系统级联而成:,N为偶数,N为奇数,为归一化系统得系统函数,去归一化,得,例:试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器,要求通带截止频率,c,=24000rad/s,通带最大衰减,1,=3dB,阻带下限截止频率,st,=28000rad/s,阻带最小衰减,2,=20dB、,解:,(,1),求阶数,N:,联立求解,(过程见教材)得:,因此可取,N=4;,(,2)求极点:,由式:,(,3)求系统函数H,a,(s):,实际上,求出,N=4时,可以直接查表(表6-4),得到归一化得,(,c,=1)4阶巴特沃思低通滤波器得系统函数,然后再用s/,c,代替其中得s即可得到同样得结果。,4,)滤波器得设计步骤:,根据技术指标求出滤波器阶数,N,:,确定技术指标:,由,得:,同理:,令,则:,求出归一化系统函数:,或者由,N,直接查表得,其中技术指标,W,c,给出或由下式求出:,其中极点:,去归一化,阻带指标有富裕,或,通带指标有富裕,例:设计,Butterworth,数字低通滤波器,要求在频率低于,0、2,p,rad,得通带内幅度特性下降小于,1dB,。在频率,0、3,p,到,p,之间得阻带内,衰减大于,15dB,。分别用冲激响应不变法与双线性变换法。,1,、用冲激响应不变法设计,1,)由数字滤波器得技术指标:,2,)得模拟滤波器得技术指标:选,T=1 s,a,)确定参数,用通带技术指标,使阻带特性较好,改善混迭失真,3,)设计,Butterworth,模拟低通滤波器,b)求出极点(左半平面),c),构造系统函数,或者,b,),由,N,=6,，直接查表得,c,),去归一化,4,)将,H,a,(,s,),展成部分分式形式,:,变换成,Butterworth,数字滤波器:,用冲激响应不变法设计出得,Butterworth,滤波器,2、用双线性变换法设计,1,)由数字滤波器得技术指标:,2,)考虑预畸变,得模拟滤波器得技术指标:,a,)确定参数,用阻带技术指标,使通带特性较好,因无混迭问题,3,)设计,Butterworth,模拟低通滤波器,b)求出极点(左半平面),c),构造系统函数,或者,b,),由,N,=6,，直接查表得,c,),去归一化,4,)将,H,a,(,s,),变换成,Butterworth,数字滤波器:,(2),切贝雪夫滤波器(,Chebyshev,),N,:滤波器得阶数,W,c,:截止频率,不一定为,3dB,带宽,0,e,1,表示通带波纹大小,e,越大,波纹越大,C,N,(x),:,N,阶,Chebyshev,多项式,Type I Chebyshev,当,N=0,时,C,0,(x)=1,;,当,N=1,时,C,1,(x)=x,;,当,N2,时,C,2,(x)=2x,2,-1,;,当,N=3,时,C,3,(x)=4x,3,-3x,。,由此可归纳出高阶切比雪夫多项式得递推公式为,:,C,N+1,(x)=2xC,N,(x)-C,N-1,(x),下图示出了阶数,N=0,4,5,时得切比雪夫多项式特性。,由图可见:,(1),切比雪夫多项式得过零点在,|x|1,得范围内;,(2),当,|x|1,时,|C,N,(x)|1,在,|x|1,时,C,N,(x),就是双曲线函数,随,x,单调上升。,左图:N=0,4,5,切比雪夫多项式曲线,切比雪夫,型滤波器幅频特性,N,为偶数,N,为奇数,通带内：在,1,和 间等波纹起伏,通带外：迅速单调下降趋向,0,Chebyshev,滤波器得设计过程:,W,c,:通带截止频率,给定,e,:表征通带内波纹大小,由通带衰减决定,1)求,e:,N,:滤波器阶数,等于通带内最大最小值得总数,N得数值可由阻带衰减确定。,若Wst,为阻带截止频率,则:,2)求 N:,误差得分贝数为,2,:,进而可求得,A值为:,从而:,由此得:,阻带衰减越大(即,A越大),所需阶数越高,注意到：,因此:,结合前式:,3)求滤波器系统函数H,a,(s):,已知,N,c,故可求出H,a,(s)。一种方法就是直接查表(表6-5),得到归一化得得系统函数,然后再求出,H,a,(s);另一方法为直接求解,先求出,H,a,(s)得极点分布,再求出H,a,(s),介绍如下:,令其分母多项式为,0,即可求出极点:,为求解前式,经过一系列变换(见教材),得到,H,a,(s)H,a,(-s)得极点为:,若记:,得到,H,a,(s)H,a,(-s)在s平面得极点满足得关系式为:,直接利用:,与,计算,a与b并不方便,进一步简化(推导见教材)如下:,其中:,取H,a,(s)H,a,(-s)在s平面得左半平面得极点,就就是 H,a,(s)得极点。,从而得到,Ha(s)得切贝雪夫滤波器得系统函数为:,其中:,所以:,Type II Chebyshev filter,通带内:单调特性,阻带内:等波纹起伏,例:用双线性变换法设计,Chebyshev,数字低通滤波器,要求在频率低于,0、2,p,rad,得通带内幅度特性下降小于,1dB,。在频率,0、3,p,到,p,之间得阻带内,衰减大于,15dB,。,1,)由数字滤波器得技术指标:,2,)考虑预畸变,得模拟滤波器得技术指标:,a,)确定参数,3,)设计,Chebyshev,模拟低通滤波器,b),求左半平面极点,c),构造系统函数,c,),去归一化,b,),由,N=4,，直接查表得,或者：,4,）将 变换成,Chebyshev,数字滤波器：,设计得四阶,Chebyshev,滤波器,椭圆滤波器(,Elliptic filter,),带内均匀波动,最快得滚降,贝塞尔滤波器(Bessel),*,最大相位平坦特性,小结:利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器得步骤,将数字滤波器得技术指标转变成模拟滤波器得技术指标,通带截止频率 、通带衰减,阻带截止频率 、阻带衰减,通带截止频率,阻带截止频率,通带截止频率,阻带截止频率,确定数字滤波器得技术指标:,冲激响应不变法,双线性变换法,按模拟滤波器得技术指标设计模拟低通滤波器,Butterworth,低通滤波器,Chebyshev,低通滤波器,将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器,冲激响应不变法,双线性变换法,6、9 设计IIR滤波器得频率变换法,归一化,模拟低通,模拟低通、,高通、带通、,带阻,数字低通、,高通、带通、,带阻,模拟域,频带变换,双线性,变换,归一化,模拟低通,数字,低通,数字低通、,高通、带通、,带阻,数字域,频带变换,或双线性,变换,冲激响应,不变法,