第六章--机器人动力学.ppt

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周日,4,动力学的两个相反问题,动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主要用于机器人仿真。,动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩，用于机器人实时控制。,求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统地运动结果。,动力学方程的一般形式：,式中,分别表示力矩、力、角位移和线位移,2025/9/14 周日,5,牛顿欧拉方程,牛顿方程,面向平动,欧拉方程,面向转动,式中,J,c,物体转动惯量,物体角速度,力矩,2025/9/14 周日,6,6.2,拉格朗日动力学方法,6.2.1,用于保守系统的拉格朗日方程,在,分析力学,一书中,Lagrange,是用,s,个独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做,Lagrange,方程，其基本形式为,其中，是所研究力学体系的广义坐标；,是作用在此力学体系上的广义力；,T,是系统总动能。,分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，扩大了坐标的概念。,2025/9/14 周日,7,6.2.2,用于非保守系统的拉格朗日方程,对于同时受到保守力和耗散力作用的、由,n,个关节部件组成的机械系统，其,Lagrange,方程应为,其中，为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；,为作用在系统上的广义力；,是系统总的动能、势能和耗散能，分别为,2025/9/14 周日,8,6.2.3,拉格朗日函数方法,对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函数,L,可定义为,式中,T,系统总的动能；,V,系统总的势能,若操作机的执行元件控制某个转动变量,时，则执行元件的总力矩 应为,若操作机的执行元件控制某个移动变量,r,时，则施加在运动方向,r,上,的力应为,2025/9/14 周日,9,6.2.4,拉格朗日方程的特点,它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度数是一致的；理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；,Lagrange,方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量,系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量,广义力。因此用,Lagrange,方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。,2025/9/14 周日,10,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,例,6.3,操作机的动力学分析,6.3.1,操作机的动力学模型,操作机的物理学模型,加上负载的 操作机,2025/9/14 周日,18,6.3.2,建立拉格朗日函数,（,1,）求动能,T,先对 求,显然,而,于是,由于,根据动能的公式,2025/9/14 周日,19,再对 求,由于,且,有,则,得总动能,2025/9/14 周日,20,（,2,）求势能,V,根据势能的公式,式中 为垂直高度，则,对于 有,对于 有,得总势能,（,3,）求得拉格朗日函数,L,2025/9/14 周日,21,6.3.3,广义力的计算,（,1,）求力矩,绕转动执行元件施加的力矩,则,式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。,2025/9/14 周日,22,（,2,）求移动力,则,式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。,通过线运动执行元件施加的直线力,2025/9/14 周日,23,6.3.4,应用实例分析,例,6-1,已知：对于 操作机,对于下面的三种工作情况，试估算力矩 。,（,1,）手臂水平，并伸至全长，静止，,（,2,）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，,（,3,）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，,2025/9/14 周日,24,解：,（,1,）手臂水平，并伸至全长，静止，,由已知条件可得,则有,2025/9/14 周日,25,则,解：,（,2,）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，,由已知条件可得,则有,2025/9/14 周日,26,则,解：,（,3,）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度,，,由已知条件可得,则有,2025/9/14 周日,27,则,结果分析,：,(1),为重力项，通常它远大于其它项；,(2),当 时，即当手臂垂直时，可见重力,负载的变化很大；,(3),当 很小时，包含 的项趋于零；,(4),通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到,比较满意的结果，即采用如下简化公式,2025/9/14 周日,28,2025/9/14 周日,例,6-4,：,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,把前面公式进行概况，有,：,2025/9/14 周日,6.5,倒立摆系统的动力学分析,r,导轨,小车,摆体,驱动放大器,计算机,位角,检测,倒立摆系统结构图,2025/9/14 周日,47,二级倒立摆系统平衡控制,2025/9/14 周日,48,除皮带外，全部对象（摆体、小车、导轨等）均视为刚体；,各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比；,施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压,u,成正比，比例系数设为,G,0,；,皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象；,信号与力的传递无延时。,6.5.1,倒立摆系统与基本假设,2025/9/14 周日,49,首先介绍一下均匀杆（长度为,2L,，质量为,m,）转动惯量的计算。,当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：,由,得,通常给出杆相对质心的转动惯量：,所以,2025/9/14 周日,50,6.5.2,用牛顿力学的方法来建立动力学模型,（,1,）小车部分,小车质量,小车滑动摩擦系数,摆体对小车作用力的水平分量,摆体对小车作用力的垂直分量,N,轨道反力,m,0,r,F,&,0,o,r(X),u,G,0,2025/9/14 周日,51,考虑到小车只有水平方向（,X,）的运动，,故可列写小车运动方程,m,0,r,F,&,0,o,r(X),u,G,0,2025/9/14 周日,52,（,2,）摆体部分,L,2,m,1,摆体质量,L,摆体质心,c,到支点距离,F,1,摆体转动摩擦系数,J,1c,摆体绕质心转动惯量,J,1,摆体绕支点的转动惯量,小车对摆体作用力的水平分量,小车对摆体作用力的垂直,分量,考虑到摆体为一平面运动体，则其运动可以分解为平动和绕质心转动两部分。于是有,质心加速度质心平动加速度绕质心转动加速度,2025/9/14 周日,53,计算质心加速度,水平分量为,：,垂直分量为,：,列写摆体动力学方程式（平动部分）,L,2,2025/9/14 周日,54,列写摆体动力学方程式,（转动部分）,代入，整理可得,L,2,2025/9/14 周日,55,考虑到,将代入小车方程（,1,），可得,列写摆体动力学方程式,（转动部分）,2025/9/14 周日,56,二方程联立，可得矩阵形式,对应于机器人动力学一般形式,惯性项,向心项,哥氏项,重力项,广义力,2025/9/14 周日,57,6.5.3,用拉格朗日方程法建立动力学模型,应用非保守系统的拉格朗日方程，则小车和摆体的动能、势能和耗散能分别为：,2025/9/14 周日,58,L,2,当 时，,当 时，,于是有,应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式,2025/9/14 周日,59,当 时，即对小车而言,2025/9/14 周日,60,当 时，即对摆体而言,2025/9/14 周日,61,于是可以得到与,6.4.2,相同的结果,。,得到单级倒立摆的动力学方程为,当考虑在不稳定平衡点附近的线性化时，可令,于是可得简化动力学方程,2025/9/14 周日,62,6.5.4,用拉格朗日函数法建立动力学模型,本节应用拉格朗日函数，也可以求解这一问题,。,建立,Lagrange,函数,L,=,T,V,小车部分,摆体部分,则,2025/9/14 周日,63,对于小车（,r,）而言（见,6.2.3,节）,右式：,左式,：,得第一个方程,2025/9/14 周日,64,对于摆（,）而言,得第二个方程,写成矩阵形式，便得到与前两种方法基本一样的结果,。,右式：,左式,2025/9/14 周日,65,平衡点附近简化形式,三种算法结果对比,6.4.2,应用牛顿方程推导，写成矢量形式得,6.4.3,应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式,6.4.4,应用拉格朗日函数法求解,2025/9/14 周日,66,差异来自以下两点,1,转动惯量参考点的差异,当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：,通常给出杆相对质心的转动惯量：,所以,2,近似线性化过程（当 很小时）,2025/9/14 周日,67,2025/9/14 周日,6.6,机器人动力学方程的一般形式,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,2025/9/14 周日,6.7,考虑非刚体效应的动力学方程,需要指出的是，前面推导的动力学方程不能包含全部作用于操作臂上的力，只是包含了刚体力学中的那些力，而没有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一种非常重要的力，所有机构都必然受到摩擦力的影响。在目前机器人的传动机构中，例如被普遍采用的齿轮传动机构中，由于摩擦力产生的力是相当大的，即在典型工况下大约为操作臂驱动力矩的,25,左右。,2025/9/14 周日,76,为了使动力学方程能够反映实际的工况，建立机器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最简单的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩与关节运动速度成正比，因此有：,式中，,v,是粘性摩擦系数。,另一个摩擦力模型是库仑摩擦，它是一个常数，符号取决于关节速度，即：,式中，,c,是库仑摩擦系数。当,=0,时，,c,值一般取为,1,，通常称为静摩擦系数；当 不等于,0,时，,c,值小于,1,，称为动摩擦系数。,2025/9/14 周日,77,对某个操作臂来说，采用粘性摩擦模型还是库仑摩擦模型是一个比较复杂的问题，这与润滑情况及其它影响因素有关。比较合理的模型是二者兼顾，即：,在许多操作臂关节中，摩擦力也与关节位置有关。主要原因是齿轮失圆，齿轮的偏心将会导致摩擦力随关节位置而变化，因此一个比较复杂的摩擦力模型为：,2025/9/14 周日,78,这样，考虑摩擦力的刚体动力学模型为：,上述建立的是考虑刚体效应的刚体动力学模型。对于柔性臂，容易产生共振和其他动态现象。这些影响因素的建模十分复杂。,2025/9/14 周日,79,主要参考文献,陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工业出版社，北京，,1997.10,蔡自兴，机器人学，清华大学出版社，北京，,2000.9,2025/9/14 周日,80,The End of Chapter 6,2025/9/14 周日,81,