稳定性模型--食饵捕食者模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,稳定性模型-食饵捕食者模型,7.5,食饵,-,捕食者模型,(,种群的弱肉强食,),种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠,捕食甲为生，形成食饵,-,捕食者系统，如,食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫,.,模型的历史背景,一次世界大战期间地中海,渔业的捕捞量下降,(,食用鱼和鲨鱼同时捕捞,),，,但是其中,鲨鱼的比例却增加，为什么？,食饵,(,甲,),数量,x,(,t,),捕食者(乙)数量,y,(,t,),甲独立生存的增长率,r,乙使甲的增长率减小，减小量与,y,成正比,乙独立生存的死亡率,d,甲使乙的死亡率减小，减小量与,x,成正比,方程,(1),(2),无解析解,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),a,捕食者掠取食饵能力,b,食饵供养捕食者能力,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB,求,微分方程数值解,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,)是周期函数，相,轨线,(,x,y,)是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,)的周期约为,10.7,x,max,99.3,x,min,2.0,y,max,28.4,y,min,2.0,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,)一周期的平均值：,x,(,t,)的平均值约为25,y,(,t,)的平均值约为10,.,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),Volterra,模型的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性分析,P,点稳定性不能用近似线性方程分析,p,=0,q,0,P,:,临界状态,q,0,P,不稳定,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,消去,d,t,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始条件确定,取指数,x,0,f,m,f,(,x,),x,O,g,(,y,),g,m,y,0,y,O,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,O,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,O,g,(,y,),g,m,y,0,y,O,相轨线,P,中心,x,是,x,1,x,2,内任意点,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数,(,周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x,(,t,),的“相位”领先,y,(,t,),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中,鲨鱼的比例却在增加，为什么？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2,2,1,食饵,(,鱼,),减少，,捕食者,(,鲨鱼,),增加,自然环境,还表明：对,害虫,(,食饵,),益虫捕食者,),系统，使用灭两种,虫的,杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少,.,x,y,O,食饵,-,捕食者模型,(Volterra,)的缺点与改进,Volterra,模型,改写,多数,食饵,捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,.,加,Logistic,项,有,稳定平衡点,相轨线是封闭曲线，结构不稳定,一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状,.,自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状,.,食饵,-,捕食者模型,(Volterra,)的缺点与改进,r,1,=1,N,1,=20,1,=0.1,w,=0.2,r2,=0.5,2,=0.18,相轨线趋向极限环,结构稳定,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,相轨线,x,1,ox,2,平面称为该方程组的相平面；,该方程组的解,在,x,1,ox,2,平面（相平面）上所描述的曲线称为该方程组的相轨线,.,用数学软件,MATLAB,求微分方程数值解,function xdot=shier(t,x),r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;,xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);,ts=0:0.1:15;,x0=25,2;,t,x=ode45(shier,ts,x0),plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,figure,plot(x(:,1),x(:,2),grid,xbar=sum(x(1:107,1)/107,ybar=sum(x(1:107,2)/107,非线性方程,系数矩阵,特征方程系数,（,17,）,（,18,）,（,19,）,结论,：,若方程（1,7,）的特征根不为零或实部不为零，,则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（1,7,）,的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则,（12）、（13）决定。,（,6,）,常系数的近似线性方程,