第十章无穷级数小结.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章无穷级数小结,级数的基本性质,(,四则运算法则,),且,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,性质,设两收敛级数,=,=,1,n,n,a,s,=,=,s,1,n,n,b,2,则级数,=,1,),(,n,n,n,b,a,收敛,其和为,s,s,.,注意,2,结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性,.,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,3,性质,5,级数收敛的必要条件,:,注意,2.,必要条件而非充分条件,.,1.,（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散,;,常用来证明级数发散,4,正项级数审敛法,1.,2.,比较判别法,：,3.,比较法极限形式：,5,注意,:,6,交错级数：,注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散,绝对收敛：,条件收敛：,7,注意,:,结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛,关系：,补充定理 如果任意项级数,满足条件,8,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,9,定理（,Dirichelet,判别法）,定理（,Abel,判别法）,若（,1,）为单调有界数列，,10,11,提示,:,由定义在区间,I,上的函数列,u,n,(,x,),所构成的表达式,u,1,(,x,),u,2,(,x,),u,3,(,x,),u,n,(,x,),函数项级数的概念,函数项级数,=,u,1,(,x,),u,2,(,x,),u,3,(,x,),u,n,(,x,),x,I,.,收敛点与发散点,提示,:,对于每一个确定的值,x,0,I,函数项级数成为,常数项级数,u,1,(,x,0,),u,2,(,x,0,),u,3,(,x,0,),u,n,(,x,0,),这个常数项级数或者收敛或者发散,.,使函数项级数收敛的点,x,0,称为函数项级数的收敛点,;,使函数项级数发散的点,x,0,称为函数项级数的发散点,.,收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域,.,12,函数项级数的和函数,函数项级数的部分和,和函数的定义域就是级数的收敛域,.,在收敛域上,函数项级数,u,n,(,x,),的和是,x,的函数,s,(,x,),它称,为函数项级数,u,n,(,x,),的和函数,并写成,s,(,x,),=,u,n,(,x,),.,函数项级数,u,n,(,x,),的前,n,项的部分和记作,s,n,(,x,),即,s,n,(,x,),=,u,1,(,x,),u,2,(,x,),u,3,(,x,),u,n,(,x,),.,在收敛域上有,s,n,(,x,),s,(,x,)(,n,),.,注,:,13,函数项级数的余项,函数项级数,u,n,(,x,),的余项记为,r,n,(,x,),它是,和函数,s,(,x,),与部分和,s,n,(,x,),的差,:,r,n,(,x,),s,(,x,),s,n,(,x,),.,在收敛域上有,r,n,(,x,),0,(,n,),.,函数项级数的和函数,函数项级数的部分和,和函数的定义域就是级数的收敛域,.,在收敛域上,函数项级数,u,n,(,x,),的和是,x,的函数,s,(,x,),它称,为函数项级数,u,n,(,x,),的和函数,并写成,s,(,x,),=,u,n,(,x,),.,函数项级数,u,n,(,x,),的前,n,项的部分和记作,s,n,(,x,),即,s,n,(,x,),=,u,1,(,x,),u,2,(,x,),u,3,(,x,),u,n,(,x,),.,在收敛域上有,s,n,(,x,),s,(,x,)(,n,),.,14,定义,2,则称,函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数,列来确定,15,命题,1,：,一致收敛性充分条件：,命题,2,：不,一致收敛性充分条件：,16,命题,3,：不,一致收敛的极限形式：,17,定理,2 (,一致收敛的柯西准则,),函数项级数,在数集,D,上一致收敛的充要条件为,:,对任,存在正整数,给的正数,，使当,对一切,和,或,定理中当,p,=1,时,得到函数项级数一致收敛的一个必要条件（定理,1,）,:,一致收敛的函数项级数的通项在收敛域上一致趋于零。,函数项级数一致收敛判别法,18,定理,3,（强级数判别法,(Weierstrass),判别法）,一致收敛性简便的判别法：,19,定理,4,（狄利克雷判别法）设,u,n,(x),的部分和函数列,在,I,上一致有界；,对每一个,xI,，,S,n,(,x,),是单调的；,v,n,(,x,),在,I,上一致收敛于,0,，则函数项,级数,u,n,(,x,),v,n,(,x,),在数集,I,上一致收敛,20,定理,5,（阿贝尔判别法）设,u,n,(,x,),在区间,I,上一致收敛；,对每一个,xI,，,v,n,(,x,),是单调的；,v,n,(,x,),在,I,上一致有界，即存在,M,0,使得对任何,xI,，,|,v,n,(,x,)|,M,n=1,2,.,则函数项级数,u,n,(,x,),v,n,(,x,),在数集,I,上一致收敛,21,一致收敛函数项级数的性质,定理（连续性）若函数项级数,u,n,(,x,),在,a,b,上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在,a,b,上也连续,注意：,1.,和函数的连续性是连续的函数项级数一致收敛,的必要条件。,2.,在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以,交换顺序，即,22,推论 设,X,是一区间（开，闭，或半开半闭），,若函数项级数,u,n,(,x,),在,X,上连续，但其和函数在,X,上不连续则级数在,X,上不一致收敛,注意：推论是定理,6,的逆否命题。判别函数项级数,不一致收敛的充分条件。,23,定理,7 (,逐项求积）,定理,8 (,逐项求导）,24,此时正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,（,R,，,R,）称为幂级数的,收敛区间,收敛区域收敛区间收敛的区间端点,25,定理,2,，,3,26,幂级数的性质,则在,(,R,R,),与,(,R,R,),中较小的区间内有,加法：,减法：,乘法：,a,0,b,0,(,a,0,b,1,a,1,b,0,),x,(,a,0,b,2,a,1,b,1,a,2,b,0,),x,2,a,0,b,n,a,1,b,n,1,a,n,b,0,),x,n,幂级数的运算,：,27,定理,4,幂级数的一致收敛性（幂级数在收敛区间上的内闭一致性）,28,且收敛半径仍为,R,.,29,且收敛半径仍为,R,.,30,31,注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。,32,定理,2,称为,n,阶余项,.,微分型余项,33,关于余项,拉格朗日型余项,柯西型余项,34,函数,f,(,x,),展开成幂级数的具体步骤：,2.,写出幂级数 ，并求其收敛域,D,.,如果是,则,f,(,x,),在,D,上可展开成泰勒级数,35,二、函数展开成幂级数,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式或麦克劳林公式,间接展开法,根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式,.,36,