1、1,一、线性性质与相似性质,二、,延迟性质与位移性质,三、,微分性质,四、积分性质,五、周期函数的像函数,六、卷积与卷积定理,9.2,Laplace,变换的性质,2,所涉及到的函数的,Laplace,在下面给出的基本性质中，,且,变换均假定存在，它们的,增长指数,均假定为,c,。,对于涉及到的一些运算,(,如,求导,、,积分,、,极限,及,求和,等,),的次序交换问题，均不另作说明。,9.2,Laplace,变换的性质,3,性质,证明,(,略,),一、线性性质与相似性质,1.,线性性质,P216,P216,4,解,5,解,6,令,证明,性质,一、线性性质与相似性质,2.,相似性质,(,尺
2、度性质,),P217,7,二、,延迟性质与位移性质,1.,延迟性质,则对任一非负实数 有,设当,t,0,时,性质,令,证明,P222,P222,8,二、,延迟性质与位移性质,1.,延迟性质,则对任一非负实数 有,设当,t,0,时,性质,可见，在利用本性质,求逆变换时,应为：,因此，本性质也可以,直接表述,为：,注意,在延迟性质中专门强调了当,t,0,时 这一,约定,。,9,已知,解,方法一,方法二,两种方法为什么会得到不同的结果？,根据,延迟性质,有,方法二 先平移再充零,P222,例,9.12,方法一 先充零再平移,10,解,由于,根据,延迟性质,有,设 求,例,P223,例,9.13,修改
3、11,证明,(,略,),例如,性质,2.,位移性质,P223,二、,延迟性质与位移性质,12,因此当 时，有,三、,微分性质,性质,证明,由,有,即得,1.,导数的象函数,P217,P217,13,Laplace,变换的这一性质非常重要，可用来求解微分,方程,(,组,),的初值问题。,9.4,将专门介绍,）,（,三、,微分性质,1.,导数的象函数,性质,其中，应理解为,一般地，有,14,解,利用导数的象函数性质来求解本题,以及 有,由,故有,P218,例,9.7,15,由 有,证明,三、,微分性质,2.,象函数的导数,性质,一般地，有,同理可得,P218,16,根据,象函数的导数,性质有,解
4、已知,P219,例,9.8,17,根据,线性性质,以及,象函数的导数,性质有,解,已知,P219,例,9.9,18,根据,位移性质,有,解,已知,再由,象函数的导数,性质有,19,四、积分性质,1.,积分的象函数,性质,证明,令,由,微分性质,有,则 且,即得,P219,P219,20,四、积分性质,1.,积分的象函数,性质,一般地，有,21,再由,积分性质,得,根据,微分性质,有,解,已知,22,一般地，有,四、积分性质,2.,象函数的积分,性质,证明,(,略,),23,根据,象函数的积分,性质有,已知,解,即,在上式中，如果令,s,=,0,，则有,启示,在,Laplace,变换及其性质中
5、如果取,s,为某些特定的值，,就可以用来求一些函数的广义积分。,利用拉氏变换,计算广义积分,P220,例,9.10,24,部分基本性质汇总,线性性质,相似性质,延迟性质,25,微分性质,积分性质,部分基本性质汇总,位移性质,26,证明,记为,其中，,令,即得,性质,五、周期函数的像函数,P223,27,函数 的周期为,解,故有,P224,例,9.14,28,六、卷积与卷积定理,1.,卷积,当 时，,如果函数满足：,按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指,则有,显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律,以及分配律等性质。,P224,29,解,P224,例,9.15,30,六、卷积与卷
6、积定理,2.,卷积定理,定理,证明,左边,=,D,(,跳过,?),31,定理,六、卷积与卷积定理,2.,卷积定理,证明,左边,=,令,记为,其中,左边,=,=,右边。,32,故有,解,由于,P225,例,9.16,33,利用,Laplace,变换计算广义积分,附：,在,Laplace,变换及其性质中，如果取,s,为某些特定的值，,就可以用来求一些函数的广义积分。,注意在,使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察,一下,s,的取值范围以及广义积分的存在性。,P221,注,34,由,解,得,利用,Laplace,变换计算广义积分,附：,P221,例,9.11,(,1,),35,已知,解,由,积分性质,有,即得,(,返回,),利用,Laplace,变换计算广义积分,附：,P221,例,9.11,(,2,),
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