向量组的线性相关性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Ch4,向量组的线性相关性,向量组的线性相关性,n,维向量的概念,向量组的线性相关性,线性相关性的判别定理,向量组的秩,向量空间,1,n,维向量的概念,1,、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）,.,维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，,如：,记作,.,维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，,一、维向量,（,Vector,）,2,、元素全为零的向量称为零向量,（,Null Vector,）,.,3,、维数相同的列（行）,向量同型,.,元素是复数的向量称为复向量,（,Complex Vector,）,.,2,、几种特殊向量,1,、元素是实数的向量称为实向量,（,Real Vector,）,.,4,、对应分量相等的,向量相等,.,二、向量的运算,1,、加法,2,、数乘,向量的加法与数乘合称为向量的线性运算,.,3,、运算律,（,1,）,（交换律）,（,2,）,（结合律）,（,3,）,（,4,）,(,设,均是维向量,，,为实数,),（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,.,),(,2,1,T,2,1,维向量空间,叫做,集合,维向量的全体所组成的,n,R,x,x,x,x,x,x,X,R,n,n,n,n,=,=,L,L,.,),(,3,叫做三维向量空间,的集合,三维向量的全体所组成,R,z,y,x,z,y,x,r,R,T,=,=,三、应用举例,例,1,设,求,解,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,即,或,向量组与矩阵的关系,其第,个列,向量,记作,个维行向量,.,按行分块,按列分块,个维列向量,.,其第,个行,向量,记作,矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清,.,2,向量组的线性相关性,一、向量组的线性相关性定义,线性相关,线性无关,的一个线性组合,则称 为向量,定义,2,使得,一组实数,若存在,设,n,维向量,2,1,2,1,m,m,k,k,k,a,a,a,L,L,m,a,L,a1,2,a,线性表示,或称 能由向量,m,a,L,a,1,2,a,),(,组成的集合叫做向量组,.,所,或同维数的行向量,若干个同维数的列向量,16,定义,3,如果向量组中有零向量,则向量组一定,线性相关,.,一个向量,a=0,线性相关,而 时,线性无关,两,个向量,线性相关 它们对应分量成比例,17,i.e.,二、判别方法,1.,向量个数 未知数的个数,向量维数 方程的个数,(,无,),(,没,),(,没,),18,19,2.,21,第,i,个分量,3.,22,从向量组中找尽量多的线性无关向量,例,2,解,例,3,证一,三、性质,28,整体无关,部分无关,部分相关,整体相关,30,定义,练习 设向量组,线性相关，则,.,4,向量组的秩,4,向量组的秩,向量组等价,极大线性无关组与向量组的秩,向量组的秩与矩阵秩的关系,矩阵的秩与矩阵的运算,1.,定义,4,一、向量组等价,2.,性质,1,）自反性,2,）对称性,3,）传递性,具有以上性质的关系称为等价关系,1,定义,7,二、极大线性无关组与向量组的秩,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,向量组与矩阵的关系,其第,个列,向量,记作,个维行向量,.,按行分块,按列分块,个维列向量,.,其第,个行,向量,记作,矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清,.,证,证明,设,的某些列,有关系,则相应的,具有相同的线性关系,.,即,中列向量组,与,中列向量组,解：,总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法,方法,1,：,矩阵的初等行变换法,（,1,）以向量组中的向量为列向量作矩阵,（,2,）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）,（,3,）取每行第一个非零元所在的列，即为所求,方法,2,：,录选法,（,1,）在向量组中选一个非零向量,（,2,）再选一个与,的对应分量不成比例的向量,（,3,）再选一个不能由,线性表出的向量,线性表出的向量,四、矩阵的秩与矩阵的运算,例,14.,练习,.,证明,:,5,向量空间,向量空间,概念,基与维数,向量的坐标,说明,一、向量空间的概念,定义,1,设,V,为,n,维向量的集合，如果集合,V,非空，,且集合,V,对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称,集合,V,为向量空间,例,2,例,1,例,3,例,4,练习,1,练习,2,例,5,那么，向量组 就称为向量,的一个,基,，,称为向量空间 的维数，并称 为 维向量,空间,二、向量空间的基与维数,定义,2,设 是向量空间，如果 个向量,，且满足,若,V,的维数为,r,，记做,dim,V,=,r,只含有零向量的向量空间,V,称为,0,维向量空间，即,dimV=0,它没有基,说明,n-1,维向量空间,解：,