数学预备知识实用教案.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,1、矢量(shling)与标量,2、矢量(shling)的表示,3、矢量(shling)的运算,(1),矢量的加法,(2),矢量的减法,(3),矢量的乘法,标积,矢积,矢量的简介,第1页/共76页,第一页，共76页。,矢量(shling)既有大小又有方向，如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场(din chng)强度等。,1、物理量可分为标量(bioling)和矢量两种,如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。,标量只有,大小,，,第2页/共76页,第二页，共76页。,2、矢量(shling)的表示,几何表示(biosh)：有方向的线段,解析(ji x)表示,书写：字母上方用箭头符号标记,或,印刷：用黑体字表示矢量，,F,，,r,，,v,，,a,矢量的大小：线段的长度或 的模，,第3页/共76页,第三页，共76页。,单位矢量(shling)：长度为一个单位的矢量(shling),矢量相等：大小相同(xin tn)，方向相同(xin tn),平行移动不会(b hu)改变一个矢量,对一般矢量，其,单位矢量,可,用字母上方的尖符表示，如,如沿,x,y,z,轴正方向的单位矢量可表示为：,第4页/共76页,第四页，共76页。,3、矢量(shling)的运算,(1)矢量(shling)的加法,平行四边形法则(fz),三角形法则,B,的尾端接到,A,的箭头顶端，两个矢量的和矢量为,A,的尾端指向,B,的顶端的矢量,A,B,C,第5页/共76页,第五页，共76页。,多个矢量的合成：,合成矢量(shling)的解析表示：,Mg,T,1,T,1,力的合成,A,y,A,x,B,x,B,y,X,y,第6页/共76页,第六页，共76页。,(2)矢量(shling)的减法,矢量(shling)A-B等于从B的顶端指向A的顶端,-,B,B,A,C,B,C,A,2 2,2 cos,AB,a,=+-,C,A,B,第7页/共76页,第七页，共76页。,交换律,结合律,第8页/共76页,第八页，共76页。,(3)矢量(shling)的乘法,与标量(bioling)相乘,与矢量(shling)相乘,标积,(,点积,),矢积,(,叉积,),-,结果为标量,-,结果为矢量,第9页/共76页,第九页，共76页。,矢量(shling)的标积（点积）,A,B,两矢量(shling)点积得标量,上式含意(hn y)？,第10页/共76页,第十页，共76页。,矢量(shling)的标积（点积）,矢量的点乘表示一个(y)矢量的模乘上另一个(y)矢量在这一矢量上的分量（投影）。这一分量（投影）可正可负。,第11页/共76页,第十一页，共76页。,若,可能,矢量(shling)的标积（点积）,A,B,第12页/共76页,第十二页，共76页。,交换律：,标积计算(j sun)：,分配律：,若一个物体(wt)在力F作用下移动位移r,F,r,则力,F,所作的功：,记为标积形式(xngsh)，则为：,标积的应用,:,第13页/共76页,第十三页，共76页。,矢量(shling)的矢积（叉积）,是一个(y)矢量,大小(dxio)：平行四边形面积,A,B,C,方向：右手螺旋法则，,要求四指绕过的角度小于,第14页/共76页,第十四页，共76页。,矢积的性质(xngzh)：,特殊(tsh)情况：,*,若 ，,则 最大,*,若 ，则,矢积的应用(yngyng)：,洛仑兹力：,第15页/共76页,第十五页，共76页。,求,（,1,）（,2,）,例,1,已知,解,（,1,）,（,2,）,第16页/共76页,第十六页，共76页。,作 业（,9,月,12,日,）,1.矢量a的大小(dxio)为5.0m，方向正东，矢量b的大小(dxio)为4.0m，方向北偏西35度。求 a+b 及 a b 的大小(dxio)及方向。,第17页/共76页,第十七页，共76页。,444,4,第18页/共76页,第十八页，共76页。,一、函数(hnsh)的极限,二、函数(hnsh)的导数,三、函数(hnsh)的微分,四、积分,导数与微分运算,第19页/共76页,第十九页，共76页。,一、函数(hnsh)的极限,对任意函数,f,(,x,),，当自变量,x,无限趋于,某一数值,x,0,（记作,x,x,0,）时，函数值无限趋于,某一确定,的数值,a,，则,a,称为,x,x,0,时函数,f,(,x,),的极限值，记作：,例：,第20页/共76页,第二十页，共76页。,注意,即使,(,x,),在,x,0,点没有定义，或,，上面关于极限的陈述仍可以是对的。,例,：,第21页/共76页,第二十一页共76页。,二、函数(hnsh)的导数,1,、问题的提出,2,、导数的定义,3,、导数的意义,4,、导数的求解,5,、导数的运算规则,加减,积,商,复合函数求导,矢量求导,第22页/共76页,第二十二页，共76页。,运动时间,自由落体运动(yndng)的瞬时速度问题,1、问题(wnt)的提出,瞬时速度(shn sh s d),如何由,s,(,t,),求,v,(,t,)?,平均速度,取极限,当 时,取一邻近,t,的时刻,t,如图，,2,2,1,),(,gt,t,s,=,第23页/共76页,第二十三页，共76页。,第24页/共76页,第二十四页，共76页。,当以上极限存在时，则此极限称为函数f(x)在点x0处的导数(do sh)。(显然，这是一个特殊的极限),函数(hnsh),导数(do sh)又可记为：,2,、导数的定义,自由落体问题中,:,第25页/共76页,第二十五页，共76页。,一、矢量(shling),回顾,A=AA,r,或,（1）点积：,（2）叉积：,A,B,C,(0,),p,sin,AB,q,=,r,r,r,C,AB,=,第26页/共76页,第二十六页，共76页。,二、导数(do sh)的定义,导数是一个特殊(tsh)的极限！,第27页/共76页,第二十七页，共76页。,关于(guny)导数的说明：,（导数）则是当区间间隔,x,0,时的,f(x),在,x,0,处的变化率是 在以某 和 为端点的区间上的,平均变化率,。,x,到底有多小？,它的绝对值比你想到(xin do)的任何一个小的正数还要小。,小量(xioling)乘上有限数仍是小量(xioling)。,在许多物理问题中，需要研究变量的,瞬时变化率，,如物体的运动速度、加速度、电流强度等,。在数学上都可归结为函数的变化率问题，即,导数。,第28页/共76页,第二十八页，共76页。,x,y,y,x,0,f,(,x,),x,0,y,0,y,1,x,1,3、导数(do sh)的意义,函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线(qixin)斜率。,几何(j h)意义：,第29页/共76页,第二十九页，共76页。,切线,t,1,t,3,t,2,x,1,x,3,x,2,t越小，平均(pngjn)速率越接近瞬时速度。,平均速度(pn jn s d)：,瞬时速度,X,对,t,的导数,。,导数(do sh)物理意义：,非均匀变化量在某点,的变化率,。,第30页/共76页,第三十页，共76页。,步骤(bzhu):,4、导数(do sh)的求解：,由定义(dngy)求导数（三步法）,(1),求函数增量,第31页/共76页,第三十一页，共76页。,例,1,解,例,2,解,第32页/共76页,第三十二页，共76页。,例,3,解,第33页/共76页,第三十三页，共76页。,匀加速(ji s)直线运动,解,：,求瞬时速度(shn sh s d),例,4,第34页/共76页,第三十四页，共76页。,常见函数(hnsh)的求导公式：,(1),(2),(4),(5),(3),(6),导数的运算(yn sun)法则：,加减(ji jin),积,商,5,、导数的常用公式及运算规则,第35页/共76页,第三十五页，共76页。,例5：求 y=x sinx 的导数(do sh)。,解：,第36页/共76页,第三十六页，共76页。,例6：，求 导数(do sh)。,解：,第37页/共76页,第三十七页，共76页。,复合(fh)函数求导：,二阶导数(do sh)：,N 阶导数(do sh)：,d f,(),n,x,n,dxy f,(,x,),n,=,n,=,第38页/共76页,第三十八页，共76页。,例7,解：,第39页/共76页,第三十九页，共76页。,矢量(shling)的导数：,几点推论(tuln)：,注意(zh y)：对矢量的求导有两项：一是大小的变化产生的，二是方向的变化产生的。,第40页/共76页,第四十页，共76页。,三、函数(hnsh)的微分,在实际应用中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求(yoqi)计算函数的相应的增量。这一函数的增量称为微分。,第41页/共76页,第四十一页，共76页。,实例:正方形金属薄片受热后面积(min j)的改变量.,问题(wnt)的提出,的二阶项，可以(ky)忽略。,(,相对,x,0,很小,),。,既简化了计算又,有很好的近似值,在计算函数增量时，当自变量增量很小时，,自变量增量的高阶项一般可以忽略,，这样得到的函数增量是其精确值的较好近似。,这是微分的一个很重要的应用,。,第42页/共76页,第四十二页，共76页。,若函数(hnsh)f(x)在 x 处有导数 f(x),则,微分(wi fn)的定义：,dy 称为函数(hnsh)f(x)在点 x 处的微分。,dx,称为自变量的微分。,即导数等于函数的微分与自变量的微分之商,所以导数又称微商,计算函数的导数,乘以自变量的微分,.,微分的求法：,第43页/共76页,第四十三页，共76页。,基本初等函数(hnsh)的微分公式,函数的微分(wi fn)法则（与导数的相同）,第44页/共76页,第四十四页，共76页。,例,2,解,例,1,解,第45页/共76页,第四十五页，共76页。,函数(hnsh)的变化率问题,导数(do sh),函数(hnsh)的增量问题,微分,求导数与微分的方法,叫做,微分法,。,微分在近似计算中的应用,这里 不是严格意义的无穷小，但,仍然较小,。,这个式子可方便地计算一个函数在某点,x,0,附近的近似值。,第46页/共76页,第四十六页，共76页。,例3：为使摆长为20cm的单摆振动周期(zhuq)增大0.05s，则摆长应增加多少？（g=981cm/s2）,解,;,即，摆长应调整(tiozhng)为22.23 cm,第47页/共76页,第四十七页，共76页。,例4 一个半径为1厘米(l m)的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜，铜层厚度为0.01厘米(l m)，估计每只球需要用铜多少克（铜的密度为8.9g/cm3）,解：,每只球需用(x yn)铜约,第48页/共76页,第四十八页，共76页。,以下是常用的近似公式(gngsh)（|x|很小时):,(x为弧度(hd),(x为弧度(hd),第49页/共76页,第四十九页，共76页。,四、积分(jfn),问题(wnt)的提出,定积分、不定积分(b dn j fn)的定义,定积分的几何意义,定积分的计算,不定积分的计算,第50页/共76页,第五十页，共76页。,如何求图形中的面积？,数方格(fn)。,x,0,y,x,y=f(x),面积？,如何(rh)求x0,x区间内曲线下的面积？,问题(wnt)的提出,第51页/共76页,第五十一页，共76页。,用矩形(jxng)面积近似取代曲边梯形面积。,求曲边梯形(txng)的面积,a,b,x,y,o,（四个小矩形(jxng)）,a,x,y,o,b,a,b,x,y,o,（九个小矩形）,显然,小矩形越多,小矩形,上边界带来的近似越小,，,得到的总面积,越接近,曲边梯形的,精确面积,.,如何减小这个差别？,第52页/共76页,第五十二页，共76页。,曲边梯形(txng)总面积的近似值为：,上面(shng min)方法的一般化：,将区间(q jin)a,b分 n 等份，,每一个小区间宽度为,区间,x,i,x,i+1,对应的小矩形高取为,，其面积为：,第53页/共76页,第五十三页，共76页。,所得到的矩形求和面积(min j)即为曲边梯形的精确面积(min j)：,当分割无限加细，,即小区间的宽度,时，,第54页/共76页,第五十四页，共76页。,（1）分割(fng),变速(bin s)直线运动中由速度求路程,t,v,t,0,0,i,上述(shngsh)思路完全适用变速直线运动中由速度求路程问题,（,2,）,求和,路程的精确值,（,3,）,取极限,第55页/共76页,第五十五页，共76页。,问题(wnt)：,共性(gngxng)：,它们求的都是在某个区间(q jin)上的总量（总面积或总路程）。,解决方法：,通过无限分割的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限。,以上两个例子，一个是,几何问题,，求的是曲边梯形的面积；一个是,物理问题,，求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程。,第56页/共76页,第五十六页，共76页。,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分(jfn)的定义,这种给出积分上、下限(xixin)的积分称为定积分；,不给出积分(jfn)上、下限的积分(jfn)称为不定积分(jfn)。,积分上线,f(x),对,x,的积分,第57页/共76页,第五十七页，共76页。,曲边梯形(txng)的面积,曲边梯形的面积(min j)的负值,定积分的几何(j h)意义,第58页/共76页,第五十八页，共76页。,定积分(jfn)的计算,如果函数,f,(,x,),在,a,b,区间是,连续的,，且如果在,a,b,区间内,，则 称为 的,原函数,。,即，求一个函数的定积分关键(gunjin)是要找出其原函数，原函数在积分区间的增量即为其定积分值。,牛顿,-,莱布尼兹公式,),(,),(,),(,a,b,dx,f,b,a,x,j,j,-,=,有,如：,第59页/共76页,第五十九页，共76页。,所以，积分(jfn)是微分的无限求和，它是微分的逆运算。,第60页/共76页,第六十页，共76页。,2、积分(jfn)的性质,第61页/共76页,第六十一页，共76页。,解,原函数式,例,1,求,解 面积(min j),例,2,计算曲线 在,上与,x,轴所围成的平面图形的面积。,第62页/共76页,第六十二页，共76页。,0,x,A B,dx,例,3,棒,AB,长,6,厘米，与棒,A,端相距,x,处的分布密度为,求棒总质量。,解：,例4 弹簧从原有长度(chngd)被拉长a，求拉力做功。,解：,X,F,0,a,x,第63页/共76页,第六十三页，共76页。,第二次作业(zuy)（9月14日）,4,第64页/共76页,第六十四页，共76页。,回顾,一、导数(do sh),常用(chn yn)公式,解析：当区间(q jin)间隔 x 0 时的f(x)在x0处的变化率。,物理:非均匀变化量在某点的变化率。,几何:函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。,运算法则,复合函数求导,N,阶导数,矢量的导数：,第65页/共76页,第六十五页，共76页。,微分(wi fn)公式,微分(wi fn)法则,二、微分(wi fn)：,解决,函数的增量问题,微分在近似计算中的应用,微分公式及微分法则与求导相似,第66页/共76页,第六十六页，共76页。,例,2,解,例,1,解,第67页/共76页,第六十七页，共76页。,三、积分(jfn),通过无限(wxin)分割的方法，把总量归结为求一种 特定和式的极限,几何意义：曲边梯形的面积（有正、负）,1、定积分(jfn),如果函数,f,(,x,),在,a,b,区间是,连续的,，且,第68页/共76页,第六十八页，共76页。,2、积分(jfn)的性质,第69页/共76页,第六十九页，共76页。,不定积分(b dn j fn)的计算,不定积分(b dn j fn)是不定出上、下限的积分,（2）C是常数，可由积分(jfn)上、下限或初始条件确定。,（,1,）求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数,C,即可。,如 则：,即,第70页/共76页,第七十页，共76页。,常见(chn jin)积分公式：,(a,-1),(,k,C:,const.),第71页/共76页,第七十一页，共76页。,矢量(shling)积分公式：,（线积分(jfn)）,（面积(min j)分）,第72页/共76页,第七十二页，共76页。,例,1,求,解,求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数(hnsh)的原函数(hnsh)可以有无穷多个，即要求的是全体原函数(hnsh)，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数(hnsh)。,第73页/共76页,第七十三页，共76页。,例2 设曲线通过(tnggu)点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。,解,设曲线(qxin)方程为,根据(gnj)题意知,由曲线通过点（,1,，,2,）,所求曲线方程为,第74页/共76页,第七十四页，共76页。,9月19日作业(zuy),第75页/共76页,第七十五页，共76页。,感谢您的观看(gunkn)！,第76页/共76页,第七十六页，共76页。,