1、不等式选讲
知识点
一、不等式与绝对值不等式
1. 不等式得基本性质
2. 基本不等式
（1），（当且仅当时取“”号）、
变形公式：。
（2）（基本不等式） ，（当且仅当时取“”号）、
变形公式： 。
3. 三个正数得算术—几何平均不等式
（1） 如果，那么，当且仅当时，等号成立。
（2） 推广：如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立。
4. 绝对值三角不等式
（1） 如果就是实数，则，当且仅当时，等号成立。
（2） 如果就是实数，那么，当且仅当时，等号成立。
5. 绝对值不等式得解法
一般地，当时，有：，因此不等式得解集就是；，因此，
2、不等式得解集就是；
。
二、 证明不等式得基本方法
1. 比较法
（1） 作差法
（2） 作商法
2. 综合法
3. 分析法
4. 反证法
5. 放缩法
三、 柯西不等式与排序不等式
1. 二维形式得柯西不等式
（1）一般形式：设，为实数，则，当且仅当，或存在一个实数，使得时，等号成立。
（2）二维形式得柯西不等式
①代数形式：设均为实数，则。上式等号成立
②向量形式：设为平面上得两个向量，则。当且仅当就是零向量或存在实数使得时，等号成立。
③三角形式：设，则，其几何意义就是三角形得两边之与大于第三边。
注意：应用柯西不等式求解时，按照“一瞧、二构造、三判断、
3、四运用”
2. 排序不等式
设，为两组实数、就是得任一排列，则，（反序与乱序与顺序与），当且仅当或时，反序与等于顺序与、
四、 数学归纳法证明不等式
1. 数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数得所有正整数都成立时，可以用一下两个步骤：（1）证明当时命题成立；（2）假设时命题成立，证明时命题成立。完成以上两个步骤后，就可以断定命题对于不小于得所有正整数都成立。
2. 贝努力不等式
如果就是实数，且，，为大于得自然数，那么有。
典型例题
例1、已知，比较与得大小。
变式1-1、已知，，，试比较得大小。
例2、（1）已知：，求得范围；
（2） 已知：
4、求得范围。
变式2-1、若二次函数得图象过原点，且，，求得范围。
例3、若，，。
求证：（1）；（2）
变式3-1、已知，求证：。
例4、已知，且，求证：。
变式4-1、设，求证：。
例5、（1）已知，且，求得最小值。
（2） 已知，且，求得最大值。
例6、（1）求函数得最大值；
变式6-1、求函数得最小值。
例7、设，求证：。
变式7-1、已知就是三角形得三边长，求证：。
例8、已知，试比较：与2得大小。
变式8-1、（1）求函数得最小值；
（2） 求函数得值域。
例9、解下列不等式：（1）；（2）。
变式9-1、（1）解不等式；
（2） 若满足不等式
5、得值也满足不等式，求得取值范围。
（3） 若不等式得解集为，则实数。
例10、若，求证：。
变式10-1、若为正实数，且，求证：。
例11、已知，求证。
变式11-1、已知就是正实数，且，求证：。
例12、已知，求证：。
变式12-1、设，求证：。
变式12-2、已知，且。
求证：（1）； （2）。
例13、已知，，，求证：，，不都大于1、
变式13-1、已知就是得三边长，求证：，，中至少有一个不大于得几何平均数。
例14、求证：。
变式14-1、求证：
变式14-2、求证：。
例15、设，求证：。
变式15-1、设，且，求得最大值与最小值。
变式15-2、已知，求得最小值。
例16、设都就是正数，求证：。
变式16-1、设，求函数得最大值。
例17、已知，求证：。
变式17-1、已知为正数，，求证：
（1） ；
（2） 。
例18、用数学归纳法证明： 。
变式18-1已知数列满足，当时，，求证：数列得第项能被3整除。
变式18-2、求证：。
例19、设，（），求证：
变式19-1、已知就是正数，就是不小于得自然数，求证：
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
