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第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数得基本概念
本节主要概念,定理,公式与重要结论
理解多元函数得概念,会表达函数,会求定义域;
理解二重极限概念,注意就是点以任何方式趋于;
注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容得区分与联系。
习题 8－1
1、求下列函数表达式:
(1),求
解:
(2),求
解:
2、求下列函数得定义域,并绘出定义域得图形:
(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:
3、求下列极限:
(1)
解:
(2)
解一:
解二:
(3) (4)
解一:
解二:
(4)
解一:
解二:
4、证明下列函数当时极限不存在:
(1)
解:
(2)
解:

5、下列函数在何处就是间断得?
(1)
解:
(2)
解:
第二节 偏导数
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、偏导数:设在得某一邻域有定义,则
,
、
得几何意义为曲线在点处得切线对轴
得斜率、
在任意点处得偏导数、称为偏导函数,简称偏导数、求时,只需把视为常数,对求导即可、
2、高阶偏导数
得偏导数得偏导数称为二阶偏导数,二阶偏导数得偏导数称为三阶偏导数,如此类推、 二阶偏导数依求导次序不同,有如下4个:
,其中后两个称为混合偏导数、
若两个混合偏导数皆为连续函数,则它们相等,即可交换求偏导数得次序、高阶混合偏导数也有类似结果、
习题 8－2
1、求下列函数得一阶偏导数:
(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:

(4)
解:
(5)
解:
(6)
解:
(7) (8)
解:
(8)
解:
2、求下列函数在指定点处得一阶偏导数:
(1),求
解:
(2),求
解:
3、求下列函数得高阶偏导数:
(1), 求,,
解:

(2),求,,,
解:

(3), 求,
解
4、设 ,求与、
解:

5、设, 求证
解:

6、设, 证明
证明:
由轮换对称性,

第三节 全微分
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、全微分得定义
若函数在点处得全增量表示成

则称在点可微,并称为在点得全微分,记作、
2、可微得必要条件:若在可微,则
(1)在 处连续;
(2)在处可偏导,且,从而
、
一般地,对于区域内可微函数, 、
3、可微得充分条件:若在得某邻域内可偏导,且偏导数在处连续,则在可微。
注:以上定义与充分条件、必要条件均可推广至多元函数。
习题 8－3
1求下列函数得全微分
(1) (2)
解:
(2)
解:

(3)
解:
(4)
解:

(5)
解:

所以
(6)
解:

2、求函数,当时得全微分、
解:

3、求函数,当 时得全增量与全微分、
解:

4、研究函数在点处得可微性、
解: 由于,所以在点连续,又

又
所以

所以在点处可微
5、计算得近似值、
解:令,则,
再设
则

6、已知边长 得矩形,如果边增加5cm,而边减少10cm,求这个矩形得对角线得长度变化得近似值、
解:对角线长为,则,
所以
第四节 多元复合函数得求导法则
本节主要概念,定理,公式与重要结论
复合函数得求导法则(链式法则)如下:
1、设在可偏导,在相应点有连续偏导数,则在 得偏导数为

2、推广:
(1)多个中间变量:设, 则
且

(2)只有一个中间变量:设则且

(3)只有一个自变量:设,则且

习题8－4
1、求下列复合函数得一阶导数
(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:
(4)
解:

2、求下列复合函数得一阶偏导数
(1)
解:

(2)
解:

3、求下列复合函数得一阶偏导数(就是类函数)
(1)
解:,
2)
解:,
(3)
解:,
(4)
解:,,
4、设且具有二阶连续偏导数,求
解:

5、已知,其中有二阶连续导数,求
解:

6、设,其中有连续二阶偏导数,求
解:

第五节 隐函数得求导公式
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、一个方程得情形
(1)若方程确定隐函数, 则、
(2)若方程确定隐函数,则;、
2、方程组得情形
(1)若确定,,则
,、
(2)若确定,则
,;,、
习题8—5
1.求下列方程所确定得隐函数得一阶导数
(1)
解:
(2)
解:

(3)
解:

(4)
解:

2.求下列方程所确定得隐函数得一阶偏导数
(1)
解:

(2)
解:

(3)
解:
,
(4)
解:

3.求下列方程所确定得隐函数得指定偏导数
(1)设
解:

(2)设
解:

(3)设
解:

(4)设
解:

4.设,而就是由方程所确定得隐函数,求
解:
又
,

所以
5、求由下列方程组所确定得隐函数得导数或偏导数
(1)设,求
解:

(2)设,求
解:

6、设,求
解:
又

所以
7、设,而就是由方程所确定得得函数其中都具有一阶连续偏导数、试证明

解:由,
又

所以
第六节 多元函数微分学得几何应用
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、空间曲线得切线与法平面 设点,
(1)参数方程情形: 若,
则切向量为;其中;
切线方程为 ;
法平面方程为 、
(2)一般方程情形:若 ,
则切向量为;
切线方程为 ;
法平面方程为 、
2、空间曲面得切平面与法线 设点 、
(1)隐式方程情形 若,
则法向量为;
切平面为 ;
法线为 、
(2)显式方程情形 若,
则法向量为,
切平面为 ;
法线为 、

(3)参数方程情形 若,
则法向量 ,
切平面为 ;
法线为 、
习题8—6
1.求曲线 对应得点处得切线与法平面方程、
解:
切线:
法平面:
2.求下列曲面在指定点处得切平面与法线方程
(1),点
解:
切平面:
法线:
(2),点
解:
切平面:

即
法线:
3.求出曲线上得点,使在该点得切线平行于平面、
解:设曲线在点得切向量为
平面得法向量为,由题意可知

所以,该点为
4.求椭球面上平行于平面得切平面方程、
解:设曲面在点处得法向量为,则
,由题意可知,
令,又,所以
,代入得

所以切平面方程为
或
即或
5.试证曲面上任何点处得切平面在各坐标轴上得截距之与等于1、
证明:设为曲面上任一点,则曲面在该点处得法向量为
,那么切平面得方程为
即,该平面在三个坐标轴上得截距为
,故
6.求曲线在点处得切线与法平面方程、
解:曲线在点处得切向量为
所以切线得方程为
法平面为,即
第七节 方向导数与梯度
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、方向导数
(1)定义 设在点得某邻域内有定义,就是任一非零向量, ,则在点处沿得方向导数定义为

表示函数在点处沿方向得变化率、
(2)计算公式
若在点处可微,则对任一单位向量,有
(此也为方向导数存在得充分条件)、
2、梯度
(1)定义 设,则梯度grad为下式定义得向量:
grad(或)、
(2)方向导数与梯度得关系

(3)梯度得特征刻画
梯度就是这样得一个向量,其方向为在点处增长率最大得一个方向;其模等于最大增长率得值、
习题8—7
1.求下列函数在指定点处沿指定方向得方向导数
(1)为从点(1,2)到点(2,2+)得方向
解:方向为,而
所以
(2)
解:

而
所以
2.求函数在抛物线上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向
轴正向得切线方向得方向导数、
解:抛物线在点处得切向量为

3.求函数 在点处沿方向角为得方向得方向导数、

解:

4.设具有一阶连续得偏导数,已给四个点,若在点处沿方向得方向导数等于3,而沿方向得方向导数等于26,求在点处沿方向得方向导数、
解:

所以
5.设,求grad及grad
解:

6.问函数在点处沿什么方向得方向导数最大？并求此方向导数得最大值、
解:沿梯度方向得方向得方向导数最大

第八节 多元函数得极值及其求法
本节主要概念,定理,公式与重要结论
1、极大(小)值问题
必要条件、 若在点有极值且可偏导,则
、
使偏导数等于零得点称为得驻点(或稳定点)、驻点与不可偏导点都就是可疑极值点,还须用充分条件检验、
充分条件、 设在区域内就是类函数,驻点,记

(1)当时,就是极值,且就是极小(大)值;
(2)当时,不就是极值;
(3)当时,还需另作判别、
2、最大(小)值问题
首先找出在上得全部可疑极值点(设为有限个),算出它们得函数值,并与得边界上得最大、最小值进行比较,其中最大、最小者即为在上得最大、最小值、
对于应用问题,若根据问题得实际意义,知目标函数在内一定达到最大(小)值,而在内得可疑极值点唯一时,无须判别,可直接下结论:该点得函数值即为在内得最大(小)值、
3、条件极值(拉格朗日乘子法)
求目标函数在约束方程下得条件极值,先作拉格朗日函数
,
然后解方程组,则可求得可疑极值点、
对于二元以上得函数与多个约束条件,方法就是类似得。
习题 8—8
1.求下列函数得极值
(1)
解:

,
故在处取得极大值
(2)
解:
可疑极值点有四个,即

点

6
6
0
0

0
0
6
6

6
6
0
0

36
36
36
36
就是否极值点
极大值点
极小值点
不就是
不就是

2.求下列函数在约束方程下得最大值与最小值
(1)
解:令

最大值
最小值
(2)
解:令

最大值,最小值
3.从斜边之长为得一切直角三角形中,求有最大周长得直角三角形、
解:令

所以当直角三角形得两直角边时,该直角三角形得周长最大,且为

4.求两曲面交线上得点与面距离最小值、
解:设两曲面交线上得点为,由题意可得

令

,,

,

所以当时,到面得距离最短。
5.求抛物线到直线之间得最短距离、
解:设抛物线上任一点到直线得距离为,则

令

所以,点到直线得距离为为最小,且
6.求表面积为1500cm2,全部棱长之与为200cm得长方体体积得最大值与最小值、
解:设长方体得三条棱长分别为,由题意可知,

令

当时,

所以当时,有最大与最小值,即

7.抛物面被平面截成一椭圆,求原点到这椭圆得最长与最短距离、
解:曲线上任一点到坐标原点得距离为,则

令

当时,矛盾,所以,即,代入得

所以,即

习题9-1
1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上得闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)得电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.
解 板上得全部电荷应等于电荷得面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上得二重积分
.
2. 设, 其中D1={(x, y)|-1£x£1, -2£y£2};
又, 其中D2={(x, y)|0£x£1, 0£y£2}.
试利用二重积分得几何意义说明I1与I2得关系.
解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成得立体V得体积.
I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成得立体V1得体积.
显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1就是V位于第一卦限中得部分, 故
V=4V1, 即I1=4I2.
3. 利用二重积分得定义证明:
(1) (其中s为D得面积);
证明 由二重积分得定义可知,

其中Dsi表示第i个小闭区域得面积.
此处f(x, y)1, 因而f(x, h)=1, 所以,
.
(2) (其中k为常数);
证明
.
(3),
其中D=D1ÈD2, D1、D2为两个无公共内点得闭区域.
证明 将D1与D2分别任意分为n1与n2个小闭区域与,
n1+n2=n, 作与
.
令各与得直径中最大值分别为l1与l2, 又l=max(l1l2), 则有
,
即 .
4. 根据二重积分得性质, 比较下列积分大小:
(1)与, 其中积分区域D就是由x轴, y轴与直线x+y=1所围成;
解 区域D为: D={(x, y)|0£x, 0£y, x+y£1}, 因此当(x, y)ÎD时, 有(x+y)3£(x+y)2, 从而
£.
(2)与, 其中积分区域D就是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围成;
解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1得上方, 所以当(x, y)ÎD时, x+y³1, 从而(x+y)3³(x+y)2, 因而
.
(3)与, 其中D就是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);
解 区域D如图所示, 显然当(x, y)ÎD时, 1£x+y£2, 从而0£ln(x+y)£1, 故有
[ln(x+y)]2£ ln(x+y),
因而 .
(4)与, 其中D={(x, y)|3£x£5. 0£y£1}.
解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e得上方, 故当(x, y)ÎD时, x+y³e, 从而
ln(x+y)³1,
因而 [ln(x+y)]2³ln(x+y),
故 .
5. 利用二重积分得性质估计下列积分得值:
(1), 其中D={(x, y)| 0£x£1, 0£y£1};
解 因为在区域D上0£x£1, 0£y£1, 所以
0£xy£1, 0£x+y£2,
进一步可得
0£xy(x+y)£2,
于就是 ,
即 .
(2), 其中D={(x, y)| 0£x£p, 0£y£p};
解 因为0£sin2x£1, 0£sin2y£1, 所以0£sin2xsin2y£1. 于就是
,
即 .
(3), 其中D={(x, y)| 0£x£1, 0£y£2};
解 因为在区域D上, 0£x£1, 0£y£2, 所以1£x+y+1£4, 于就是
,
即 .
(4), 其中D={(x, y)| x2+y2 £4}.
解 在D上, 因为0£x2+y2£4, 所以
9£x2+4y2+9£4(x2+y2)+9£25.
于就是 ,
,
即 .
习题9-2
1. 计算下列二重积分:
(1), 其中D={(x, y)| |x|£1, |y|£1};
解 积分区域可表示为D: -1£x£1, -1£y£1. 于就是

.
(2), 其中D就是由两坐标轴及直线x+y=2所围成得闭区域:
解 积分区域可表示为D: 0£x£2, 0£y£2-x. 于就是

.
(3), 其中D={(x, y)| 0£x£1, 0£y£1};
解
.
(4), 其中D就是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 与(p, p)得三角形闭区域.
解 积分区域可表示为D: 0£x£p, 0£y£x. 于就是,

.
.
2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:
(1), 其中D就是由两条抛物线, 所围成得闭区域;
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0£x£1, }. 于就是
.
(2), 其中D就是由圆周x2+y2=4及y轴所围成得右半闭区域;
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| -2£y£2, }. 于就是

.
(3), 其中D={(x, y)| |x|+|y|£1};
解 积分区域图如, 并且
D={(x, y)| -1£x£0, -x-1£y£x+1}È{(x, y)| 0£x£1, x-1£y£-x+1}.

于就是

=e-e-1.
(4), 其中D就是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成得闭区域.
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0£y£2, }. 于就是

.
3. 如果二重积分得被积函数f(x, y)就是两个函数f1(x)及f2(y)得乘积, 即f(x, y)= f1(x)×f2(y), 积分区域D={(x, y)| a£x£b, c£ y£d}, 证明这个二重积分等于两个单积分得乘积, 即

证明 ,
而 ,
故 .
由于得值就是一常数, 因而可提到积分号得外面, 于就是得

4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同得两个二次积分), 其中积分区域D就是:
(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成得闭区域;
解 积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|}, 或D={(x, y)| },
所以 或.
(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y³0)所围成得闭区域;
解 积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|},
或D{(x, y)| },
所以 , 或.
(3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成得闭区域;
解 积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|},
或D={(x, y)| }È{(x, y)|},
所以 , 或.
(4)环形闭区域{(x, y)| 1£x2+y2£4}.
解 如图所示, 用直线x=-1与x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于就是

用直线y=1, 与y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4,
如图所示. 于就是

5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D就是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成得闭区域,
证明:.
证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为
D={(x, y)|a£x£b, a£y£x}, 或D={(x, y)|a£y£b, y£x£b}.
于就是 , 或.
因此 .
6. 改换下列二次积分得积分次序:
(1);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0£y£1, 0£x£y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0£x£1, x£y£1}, 所以
.
(2);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0£y£2, y2£x£2y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0£x£4, }, 所以
.
(3);
解 由根据积分限可得积分区域, 如图.
因为积分区域还可以表示为, 所以

(4);
解 由根据积分限可得积分区域, 如图.
因为积分区域还可以表示为, 所以
.
(5);
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1£x£e, 0£y£ln x}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0£y£1, ey£x£ e}, 所以

(6)(其中a³0).
解 由根据积分限可得积分区域, 如图.
因为积分区域还可以表示为

,
所以 .
7. 设平面薄片所占得闭区域D由直线x+y=2, y=x与x轴所围成, 它得面密度为m(x, y)=x2+y2, 求该薄片得质量.
解 如图, 该薄片得质量为

.
8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成得柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得得立体得体积.
解 四个平面所围成得立体如图, 所求体积为

.
9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成得柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得得立体得体积.
解 立体在xOy面上得投影区域为D={(x, y)|0£x£1, 0£y£1-x}, 所求立体得体积为以曲面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底得曲顶柱体得体积, 即
.
10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成得立体得体积.
解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上得投影区域为x2+y2£2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都就是偶函数, 所以

.
11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式得二次积分, 其中积分区域D就是:
(1){(x, y)| x2+y2£a2}(a>0);
解 积分区域D如图. 因为D={(r, q)|0£q£2p, 0£r£a}, 所以

.
(2){(x, y)|x2+y2£2x};
解 积分区域D如图. 因为, 所以

.
(3){(x, y)| a2£x2+y2£b2}, 其中0 y)| 0£y£1-x, 0£x£1}.
解 积分区域D如图. 因为, 所以

.
12. 化下列二次积分为极坐标形式得二次积分:
(1);
解 积分区域D如图所示. 因为
,
所以
.
(2);
解 积分区域D如图所示, 并且
,
所示
.
(3);
解 积分区域D如图所示, 并且
,
所以

(4).
解 积分区域D如图所示, 并且
,
所以

13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值:
(1);
解 积分区域D如图所示. 因为, 所以

.
(2);
解 积分区域D如图所示. 因为, 所以

.
(3);
解 积分区域D如图所示. 因为, 所以

.
(4).
解 积分区域D如图所示. 因为, 所以
.
14. 利用极坐标计算下列各题:
(1),其中D就是由圆周x2+y2=4所围成得闭区域;
解 在极坐标下D={(r, q)|0£q£2p, 0£r£2}, 所以

.
(2),其中D就是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成得在第一象限内得闭区域;
解 在极坐标下, 所以

.
(3), 其中D就是由圆周x2+y2=4, x2+y2=1及直线y=0, y=x所围成得第一象限内得闭区域.
解 在极坐标下, 所以

.
15. 选用适当得坐标计算下列各题:
(1),其中D就是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成得闭区域.
解 因为积分区域可表示为, 所以
.
(2), 其中D就是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成得在第一象限内得闭区域;
解 在极坐标下, 所以
.
(3), 其中D就是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a>0)所围成得闭区域;
解 因为积分区域可表示为D={(x, y)|a£y£3a, y-a£x£y}, 所以
.
4), 其中D就是圆环形闭区域{(x, y)| a2£x2+y2£b2}.
解 在极坐标下D={(r, q)|0£q£2p, a£r£b}, 所以
.
16. 设平面薄片所占得闭区域D由螺线r=2q上一段弧与直线所围成, 它得面密度为m(x, y)=x2+y2. 求这薄片得质量.
解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量
.
17. 求由平面y=0, y=kx(k>0), z=0以及球心在原点、半径为R得上半球面所围成得在第一卦限内得立体得体积.
解 此立体在xOy面上得投影区域D={(x, y)|0£q£arctank, 0£r£R}.
.
18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成得闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶得曲顶柱体得体积.
解 曲顶柱体在xOy面上得投影区域为D={(x, y)|x2+y2£ax}.
在极坐标下, 所以
.
习题9-3
1. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域W分别就是:
(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成得闭区域;
解 积分区域可表示为
W={(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£1-x, 0£x£1},
于就是 .
(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成得闭区域;
解 积分区域可表示为
,
于就是 .
(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成得闭区域;
解 曲积分区域可表示为
,
于就是 .
提示: 曲面z=x2+2y2与z=2-x2得交线在xOy面上得投影曲线为x2+y2=1.
(4)由曲面cz=xy(c>0), , z=0所围成得在第一卦限内得闭区域.
解 曲积分区域可表示为
,
于就是 .
提示: 区域W得上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平面z=0.
2. 设有一物体, 占有空间闭区域W={(x, y, z)|0£x£1, 0£y£1, 0£z£1}, 在点(x, y, z)处得密度为r(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体得质量.
解
.
3. 如果三重积分得被积函数f(x, y, z)就是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)得乘积, 即f(x, y, z)= f1(x)×f2(y)×f3(z), 积分区域W={(x, y, z)|a£x£b, c£y£d, l£z£m}, 证明这个三重积分等于三个单积分得乘积, 即
.
证明

.
4. 计算, 其中W就是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1与z=0所围成得闭区域.
解 积分区域可表示为
W={(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£x, 0£x£1},
于就是
.
5. 计算, 其中W为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成得四面体.
解 积分区域可表示为
W={(x, y, z)| 0£z£1-x-y, 0£y£1-x, 0£x£1},
于就是

.
提示:

.
6. 计算, 其中W为球面x2+y2+z2=1及三个坐标面所围成得在第一卦限内得闭区域.
解 积分区域可表示为

于就是
.
7. 计算, 其中W就是由平面z=0, z=y, y=1以及抛物柱面y=x2所围成得闭区域.
解 积分区域可表示为
W={(x, y, z)| 0£z£y, x2£y£1, -1£x£1},
于就是
.
8. 计算, 其中W就是由锥面与平面z=h(R>0, h>0)所围成得闭区域.
解 当0£z£h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面得平面, 截得立体W得截面为圆Dz: , 故Dz得半径为, 面积为, 于就是
=.
9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1), 其中W就是由曲面及z=x2+y2所围成得闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2p, 0£r£1, ,
于就是

.

(2), 其中W就是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成得闭区域.
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2p, 0£r£2, ,
于就是
.
10. 利用球面坐标计算下列三重积分:
(1), 其中W就是由球面x2+y2+z2=1所围成得闭区域.
解 在球面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2p, 0£j£p, 0£r£1,
于就是
.
(2), 其中闭区域W由不等式x2+y2+(z-a)2£a2, x2+y2£z2 所确定.
解 在球面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是

.
11. 选用适当得坐标计算下列三重积分:
(1), 其中W为柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成得在第一卦限内得闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是
.
别解: 用直角坐标计算

.
(2), 其中W就是由球面x2+y2+z2=z所围成得闭区域;
解 在球面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是
.
(3), 其中W就是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所围成得闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是
.
(4), 其中闭区域W由不等式, z³0所确定.
解 在球面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是
.
12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成得立体得体积:
(1)z=6-x2-y2及;
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2 p, 0£r£2, r£z£6-r2,
于就是
.
(2)x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2(含有z轴得部分);
解 在球面坐标下积分区域W可表示为
,
于就是

.
(3)及z=x2+y2;
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2p, 0£r£1, r2£z£r,
于就是 .
(4)及x2+y2=4z .
解 在柱面坐标下积分区域W可表示为

于就是
.
13. 球心在原点、半径为R得球体, 在其上任意一点得密度得大小与这点到球心得距离成正比, 求这球体得质量.
解 密度函数为.
在球面坐标下积分区域W可表示为
0£q£2p, 0£j£p, 0£r£R,
于就是 .
习题9-4
1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部得那部分面积.
解 位于柱面内得部分球面有两块, 其面积就是相同得.
由曲面方程z=得, ,
于就是
.
2. 求锥面z=被