电网络理论.doc

目 录
1、 基本网络元件与网络性质 1
1、1 网络变量 1
1、2 基本网络元件 2
1、2、1 电阻元件 2
1、2、2 电容元件 3
1、2、3 电感元件 4
1、3 网络性质 4
1、3、1 线性与非线性网络 5
1、3、2 时变与时不变网络 6
1、3、3 元件得无源性与有源性 6
1、3、4 网络得无源性与有源性 8
1、4 二端口元件 9
1、4、1 阻抗变换器 9
1、4、2 阻抗逆变器 11
1、5 零器与泛器 12
2、 网络图与网络方程 15
2、1 网络图论基础 15
2、2 拓扑矩阵 18
2、2、1 关联矩阵 18
2、22 回路矩阵 18
2、2、3 割集矩阵 19
2、2、4 拓扑矩阵之间关系 20
2、3 矩阵形式得基尔霍夫定律 21
2、4 直接法分析 24
2、5 网络矩阵方程 26
2、6 改进得结点方程 29
2、7 混合变量方程 31
2、8 含零泛器得结点方程 32
2、9 撕裂法 34
3、 网络函数 40
3、1 多端口网络得短路参数矩阵 40
3、2 多端口网络得开路参数矩阵 42
3、3 多端口网络得混合参数矩阵 43
3、4 含独立源得多端口网络 46
3、5 多端网络得不定导纳矩阵 47
3、6 原始不定导纳矩阵 48
3、7 不定导纳矩阵得变换 51
3、8 用Yi分析含运放网络 54
3、9 不定阻抗矩阵 57
4、 网络状态方程分析 60
4、1 网络状态变量得选取 60
4、2 线性非常态网络得状态方程 62
4、3 建立状态方程得系统公式法 64
4、4 含受控源得系统公式法 67
4、5 多端口法 68
4、6 状态方程得时域解 70
4、7 状态方程得变换域解 73
5、 网络定理与网络等效 77
5、1 特勒根定理 77
5、2 伴随网络 78
5、3 互易定理 82
5、4 对偶网络 83
5、5 网络等效 86
5、5、1 等效网络 86
5、5、2 保留结点集合 87
5、53 边界结点集合 89
5、6 戴维南等效与诺顿等效 90
6、 网络变动计算与灵敏度分析 94
6、1 参数变动定理 94
6、2 补偿法 96
6、2、1 矩阵求逆辅助定理 96
6、2、2 变动网络得补偿法计算 97
6、3 灵敏度 99
6、4 增量网络法 100
6、5 伴随网络法 102
7、 二阶RC有源滤波器 108
7、1 二阶滤波函数 108
7、2 运放得时间常数 111
7、3 有限增益正反馈滤波器 113
7、4 无限增益多路负反馈滤波器 118
7、5 多运放二阶RC滤波器 121
7、6 基于电流传输器得RC滤波器 123
7、6、1 电流传输器 124
7、6、2 电流传输器运算单元 125
7、6、3 基于电流传输器得滤波电路 126
8、 滤波器综合基础 129
8、1 导抗函数及其正实性 129
8、2 一端口LC网络实现 133
8、2、1 电抗函数得性质 133
8、2、2 福斯特综合法 134
8、2、3 考尔综合法 135
8、3 二端口带载LC网络实现 138
8、4 滤波器得逼近函数 140
8、4、1 巴特沃思滤波器 141
8、4、2 切比雪夫滤波器 145
9、 高阶有源滤波器 150
9、1 滤波函数得转换 150
9、2 元件模拟实现 154
9、2、1 仿真电感实现 155
9、2、2 频变负电阻实现 156
9、3 运算模拟实现 157
9、4 级联法实现 159
10、 开关网络分析 164
10、1 分析直流变换器得状态平均法 164
10、2 准谐振变换器得分析 167
10、3 传递函数转换 170
10、4 开关电容网络得分析 174
11、 非线性电阻网络 180
11、1 非线性电阻网络方程 180
11、2 分段线性化方法 182
11、3 牛顿-拉夫逊法 184
11、4 友网络模型法 186
12、 非线性动态网络 190
12、1 相空间、轨线 190
12、2 平衡点类型 193
12、2、1 平衡点领域得线性化 193
12、2、2 二阶线性状态方程组得平衡点 194
12、3 稳定性分析 197
12、4 周期解与极限环 199
12、4、1 极限环形式 199
12、4、2 一些极限环得判据 200
12、4、3 拟周期振荡 201
12、5 非线性电路得分岔 203
12、6 混沌振荡电路 206
12、6、1 混沌振荡得特点 206
12、6、2 李雅普诺夫(Lyapunov)指数 209
12、6、3 三阶自治蔡氏电路 210
12、6、4 超混沌电路 213
13、 非线性动态网络解法 216
13、1 动态网络得数值解法 216
13、2 摄动法 219
13、3 平均值法 221
13、4 谐波平衡法 223
13、5 铁磁谐振电路得分析 224
13、5、1 铁磁谐振电路得谐波解 226
13、5、2 铁磁谐振电路中得次谐波 229
1. 基本网络元件与网络性质
这里所称得网络就就是指电气网络,即电路。电网络就就是由构成网络得元件及其连接方式这两个基本方面构成,因此在分析网络时要考虑两个方面得约束:元件得约束与结构得约束。结构得约束由基尔霍夫定律确定,而元件得约束通常由与元件有关得网络变量之间关系确定。元件具有线性与非线性、时变与时不变、有源与无源等基本得性质,网络也具有相应得性质。一般来讲,网络得性质取决于元件得性质。
1.1 网络变量
表征电磁场得基本物理量有磁感应强度B、磁场强度H、电场强度E与电位移D等矢量。电网络问题可视为特定得局部空间中得电磁场问题,所以网络得物理量与电磁场得基本物理量密切相关。由电磁场得四个基本物理量可引出网络得四个基本物理量,即电压u、电流i、电荷q与磁通f,这些与电磁场得基本物理量之间有如下关系式:

所以网络分析处处遵循电磁场得基本原理。除了这四个基本物理量外,电网络还有与能量有关得两个基本物理量,即电功率p与电能量W:

在研究电网络时涉及到多端网络或多端口网络得概念,如图1、1(a)所示n端网络N,每一端子与网络内一结点相连,该结点称为端结点或可及结点。图1、1(b)所示为n端口网络Np,每一端口有两个端子,其中一个端子流入得电流应等于另一端子流出得电流。一个n端网络可选择任一端作为参考端,其余端与参考端之间可瞧作一个端口,如图1、1(c)所示,将第n端分支为n-1端,1-1'构成一端口,2-2'也构成一端口,以此类推,可构成n-1端口网络,所以任一n端网络总可等效成一个n-1端口网络。
多端元件或多端口元件就就是多端网络或多端口网络得特例。
图1、1 多端网络与多端口网络

1'
k'
n'
k
(b)
1
n
Np
…
…
k
(a)
2
1
n
N
…
…
k
(c)
2
1
(n-1)'
N
…
…
…
1'
2'
n

对于多端网络得每个端子或多端口网络得每一端口来说,在任一端子k或端口k-k'上均有u、i、q、f四个基本端变量,各变量之间存在着如下两个不依赖于网络性质得关系:
(1−1)
因此,(uk,fk)与(ik,qk)两对变量称为动态相关网络变量偶,由此可见,变量f、q可由变量u、i间接反映。其余得四种变量组合(uk,ik)、(uk,qk)、(ik,fk)与(fk,qk)之间存在依赖于网络性质得关系,称其为动态无关网络变量偶。由一对动态无关网络变量得向量构成得向量偶记为
(x,h)Î{(u,i),(u,q),(i,f),(f,q)}
在整个时间区间[t0,¥)里,对多端(或多端口)网络观测到得一对动态无关向量偶(x,h)称为网络得容许信号偶。如果容许信号偶得关系可以用代数方程表示,而不含它们得导数或积分,则称为代数构成关系,否则称为动态构成关系。
每一对具有代数构成关系得动态无关向量偶(x,h)都可唯一地定义一类网络元件,因此可定义如下四类基本网络元件:
电阻类元件:fR(u,i,t) = 0
电容类元件:fC(u,q,t) = 0
电感类元件:fL(i,f,t) = 0
忆阻类元件:fM(f,q,t) = 0
其中前三类电阻、电容与电感元件就就是现实可模型化得元件,而忆阻元件就就是根据动态无关向量偶定义得,目前还没有对应得现实元件,但可以用含有源器件得电路来实现忆阻网络。
1.2 基本网络元件
以下只分别对电阻、电感与电容等基本网络元件进行定义。
1.2.1 电阻元件
如果一个二端元件得电压u与电流i具有代数构成关系
f(u,i,t) = 0
则称该元件为二端电阻元件,用图1、2所示图形符号表示。上式为代数方程,确定了u−i平面上得一条曲线,一般就就是非线性、时变得。
如果满足一定得条件,二端电阻元件可作如下进一步定义。满足关系式f(u,i) = 0得元件称为二端时不变电阻;满足关系式u = f(i)得元件称为二端流控电阻。流控电阻得u就就是i得单值函数,给定i,只有一个f(i)对应值,i得定义域就就是整个实数轴。据此可知恒定电压源就就是流控电阻,因为Us = f(i) = const。
满足关系式i = g(u)得元件就就是二端压控电阻,式中i就就是u得单值函数。根据定义,恒定电流源就就是压控电阻,因为Is = f(u) = const。隧道二极管得u−i曲线如图1、3所示,所以隧道二极管具有压控电阻得特性。
若二端电阻既就就是流控得又就就是压控得,电压与电流互为反函数
u = r(t)i
则称为二端单调电阻,单调电阻也就就就是线性电阻。式中r(t)为时间函数,称为时变电阻,若r(t)为常数R则为时不变电阻。另外,线性电阻得倒数定义为电导。
1
2
n
n+1
…
n+1端
电阻元件
图1、4 n+1端电阻
_

+
u(t)

i(t)

图1、2 电阻元件

_

+
u(t)

i(t)

线性电阻

非线性电阻

r

r

i

i0

0

u

图1、3 隧道二极管u−i特性

类似地可对多端电阻元件进行定义。对n+1端时不变电阻元件,选定任一端作为参考点,如图1、4所示多端电阻,选第n+1端为参考点,其余n端与参考端之间得电压相互独立,端电流也相互独立,可建立以下代数方程组

或用向量表示
F(u,i) = 0
n+1端电阻元件也有前述各种类型得电阻定义。如流控电阻、压控电阻分别定义为
u = F(i)
T
ub

ic

ib

uc

_
+
_
+
图1、5 晶体三极管

i = F(u)
线性时变电阻定义为
u = R(t)i
i = G(t)u
式中R(t)、G(t)为n×n方阵。进一步可定义n+1端混合电阻
i' = F1(u',i")
u" = F2(u',i")
式中i' = [i1,i2,…,ik]T,u' = [u1,u2,…,uk]T,i" = [ik+1,ik+2,…,in]T,u" = [uk+1,uk+2,…,un]T。
晶体三极管可瞧作三端电阻元件,如图1、5所示,其元件特性可表示成混合三端非线性电阻
ic = f1(uc,ib)
ub = f2(uc,ib)
理想受控源、理想变压器、运算放大器、回转器与负阻抗变换器等元件都就就是二端口电阻元件,因为它们得元件特性都可用端口电压向量与端口电流向量间得代数构成关系来表示。
非线性电阻就就是一种具有广泛意义得电路元件,例如流控非线性电阻得元件特性为u(t) = 3i(t)−4i3(t),若电阻电流为正弦电流i(t) = sinwt,则电阻得电压为
u(t) = 3sinwt−4sin3wt = sin3wt
电阻电压也就就是正弦波,但与电流频率不同。若电流作为输入,电压作为输出,则此电阻即为一个变频器。
由上述讨论可知,这里定义得非线性电阻已不就就是通常意义上得电阻。实际上,在现代电子技术中,非线性电阻与线性时变电阻被广泛地应用于整流、变频、调制、限幅等信号处理得许多方面。
1.2.2 电容元件
如果一个n端口元件得端口电压向量u与端口电荷向量q之间存在代数构成关系
f(u,q,t) = 0
则称该元件为n端口电容元件。与电阻元件类似,电容元件也有各种类型定义。以下只简单说明时不变二端(一端口)电容元件得定义。
二端时不变电容元件如图1、6所示,其端电压u与充电电荷q之间存在代数构成关系:
f(q,u) = 0
_
+
u, q
C
i
图1、6 二端电容
上式为代数方程,确定了u−q平面上得一条曲线,一般就就是非线性得。进一步可对电容元件作如下定义:满足关系式q = f(u)得元件称为二端压控电容,压控电容得q就就是u得单值函数。满足关系式u = g(q)得元件就就是二端荷控电容,荷控电容得u就就是q得单值函数。既就就是压控得又就就是荷控得二端电容称为二端单调电容。二端线性时不变电容为
q = Cu
式中C为常数。如果C为时间得函数,则为线性时变电容。
在网络分析与工程实践中,电容得特性常使用电压u与电流i这两个电量之间关系来表示。由式(1−1)可见,电路中端变量q可由电流i间接反映,所以线性时不变电容得u-i特性方程为

显然,电容得电压与电流之间得关系为动态构成关系。
1.2.3 电感元件
如果一个n端口元件得端口电流向量i与端口磁通f向量之间存在代数构成关系
f(i,f,t) = 0
则称该元件为n端口电感元件。在实际应用中通常用磁链y代替磁通f。电感元件得定义也与电阻元件类似,以下只简单说明时不变二端(一端口)电感元件得定义。
二端时不变电感元件如图1、7所示,其端电流i与磁链y之间存在代数构成关系:
f(y,i) = 0
上式为代数方程,确定了y−i平面上得一条曲线,一般就就是非线性得。电感元件还可定义为二端流控电感y = f(i),二端链控电感i = g(y),既就就是流控得又就就是链控得二端电感称为二端单调电感。
二端线性时不变电感定义为
y = Li
式中L为常数。如果L为时间得函数,则称为线性时变电感。
_
+
u1
L1
i1
图1、8二端口电感
_
+
u2
L2
i2
M

_
+
u
L
i, y

图1、7 二端电感

在网络分析与工程实践中,常用u、i关系表示线性时不变电感特性。由式(1−1)可知磁通与电压存在对应关系,所以有

与电阻、电容不同得就就是电感之间可有耦合得特性。两个具有耦合特性电感元件,其电流与磁链关系分别为
y1 = f1(i1,i2)
y2 = f2(i1,i2)
称之为非线性耦合电感,这就就是非线性二端口流控电感元件。线性耦合电感如图1、8所示,电流与磁链关系为
y1 = L1i1+Mi2
y2 = Mi1+L2i2
式中M为耦合系数,L1、L2就就是常数。
1.3 网络性质
网络得特性主要取决于网络元件得特性以及元件之间得连接方式,所以网络特性与元件特性密切相关,但两者并不完全一致。以下讨论网络及网络元件得线性与非线性、时不变性与时变性、无源性与有源性。
1.3.1 线性与非线性网络
在电网络理论中,网络得线性与非线性有两种定义,一就就是根据网络元件得特性来定义,二就就是根据网络输入输出关系来定义。
根据元件得性质来定义网络得线性性质:若网络由线性无源元件(具有任意得初始条件)、线性受控源及独立源组成,则称为线性网络。若网络含有一个或多个非线性元件,则称为非线性网络。
研究网络得输入输出关系时,则可根据端口输入输出变量之间得关系来定义网络得线性性质,这样得定义称为端口型线性定义。
线性包括两个方面性质:齐次性与可加性。
设多端口网络有m个输入量,n个输出量,其输入向量x与输出向量y分别为
x = [x1,x2,…,xm]T
y = [y1,y2,…,yn]T
向量x与y得元素可以就就是电压、电流,或一部分就就是电压另一部分就就是电流。此外,输出亦可取自输入端口上。当任一网络得输入量与输出量服从端口限定得约束,即(x,y)为网络得容许信号偶,网络得输入输出关系可由相应得一组微分或积分方程组D(x,y) = 0给出。若对所有容许信号偶(x,y),当
D(x,y) = 0
时,必有
D(ax,ay) = 0
则称该网络得输入输出关系存在齐次性,这里a为任意实常数。
若x1与x2就就是分别作用于网络得两个输入向量,其对应输出向量分别为y1与y2。如果当网络得输入为(x1+x2)时,其输出为(y1+y2),即若
D(x1,y1) = 0, D(x2,y2) = 0
时,必有
D(x1+x2,y1+y2) = 0
则称该网络得输入输出关系存在可加性。
若一网络得输入输出关系由微分积分方程组D(x,y) = 0给出,当该网络得输入输出关系既存在齐次性又存在可加性时,则称该网络为端口型线性网络。当网络得输入输出关系不同时存在齐次性与可加性时,则称为端口型非线性网络。也即对于端口型线性网络必定存在如下关系,当
D(x1,y1) = 0,D(x2,y2) = 0
时,必有
D(ax1+bx2,ay1+by2) = 0
a、b为任意实常数。端口型线性与根据元件确定网络线性两种定义方法基本上就就是等价得。但对某些特殊情况将有例外。如图1、9所示电路,r1、r2为非线性压控电阻,其电流分别为
u1

_
+
u2

i1

r2

r1

i2

_
+
u

_
+
图1、9 非线性电阻电路

R

i1 = au+bu3, i2 = au−bu3
-
+
i
C
R
u
图1、10 二端口RC网络

按元件定义,该电路为非线性电路。但电路得输入u1与输出u2得关系为线性得,所以就就是端口型线性电路。即按不同得区分方法可得到不同得结论。
图1、10所示得二端口RC网络,以电流i为输入,电压u为输出,电容电压得初始值u(0)¹0,由电容元件得u-i关系可得

若将输入、输出均乘以a,当a¹0时,则有

并且有
D(i1+i2,u1+u2) = D(i1,u1)+D(i2,u2)−u(0)¹0
根据定义,图1、10所示网络就就是端口型非线性网络。显然,这样得结论与事实不符。这就就是由于网络中存在初值,方程中出现常数项。同理可知,若多端口网络中含有独立源,根据定义它也就就是端口型非线性网络。为避免出现这样得问题,分析端口型线性网络时,通常设网络变量得初值为0,且无独立源。也可将初值与独立源作为输入量,则网络满足端口型线性得定义。
有得情况下电路得齐次性与叠加性并不能同时满足。如带电阻负载二极管全波整流电路,满足齐次性,但不满足叠加性,所以这样得电路就就是非线性电路。
1.3.2 时变与时不变网络
确定网络得时变性与时不变性与线性性质得确定相似,也就就是根据元件得特性与网络输入输出得关系来确定。
若一个网络中不含任何时变网络元件,则称该网络为时不变网络。反之,凡含有时变网络元件时,则称为时变网络。
端口型时不变网络得定义就就是:如果[x(t),y(t)]为一个n端口网络得任一输入输出向量偶,将输入改变为x1(t) = x(t−t0)时,则输出变为y1(t),只要在两种情况下得输入输出方程具有相同得初始条件,即y1(t0) = y(0),必定有y1(t) = y(t-t0)(对于所有得t与t0),则此网络称为端口型时不变网络。否则,以上关系不能成立时,称为时变网络。实际上,一个时不变网络得输出波形只决定于该网络得输入波形及初始值,不会因输入时刻得改变而改变。
由时不变元件构成得网络必定就就是端口型时不变网络,反之,由时变元件构成得网络不一定就就是时变网络,在特殊情况下有可能就就是按端口时不变得。
1.3.3 元件得无源性与有源性
二端元件得无源性与有源性定义:若W(t0)为二端元件于t0时刻存储得能量,W(t0,t)为在t0至t时间内二端元件吸收得能量,即

式中u(t)、i(t)为该元件得端电压与端电流。设W(t)为二端元件得总能量,对于所有得容许信号偶(u,i),如果对所有初始时刻t0>−¥,以及所有得t³t0,均有
W(t) = W(t0)+W(t0,t)³0
成立,则该二端元件就就是无源得。反之,对某些容许信号偶(u,i),如果对某些初始时刻t0,或某些t³t0,有
W(t) = W(t0)+W(t0,t)<0
则该二端元件就就是有源得。
由上述定义表明,无源元件在任何时候其总吸收得能量(包括初始储能)总就就是大于或等于其释放得能量。只要在某种情况下元件总释放得能量大于总吸收能量,则元件就就是有源得。
一、电阻元件得无源性与有源性
电阻元件不可能储存能量,即W(t0) = 0,因而二端电阻元件得无源性定义为:如果对所有初始时刻t0>−¥,对所有得t³t0,以及所有得容许信号偶(u,i),均有

成立,则该二端电阻元件就就是无源得。反之,如果对某些初始时刻t0,某些t³t0,以及对某些容许信号偶(u,i),有

则该电阻元件就就是有源得。
Ue

0

Ie

图1、11 单结晶体管伏安特性

由电阻元件得伏安特性曲线可直观地判断其无源性与有源性。若电阻得特性曲线在所有时间均位于u−i平面得第一或第三象限得闭区域内,则该电阻元件就就是无源得。否则,只要特性曲线得某一部分位于u−i平面得第二或第四象限,该电阻元件即为有源得。对于线性电阻r(t),不管就就是时变得还就就是时不变得,只要r(t)³0,就就就是无源电阻,否则就就就是有源电阻。
单结晶体管伏安特性如图1、11所示,部分特性曲线位于第二象限,所以单结晶体管就就是有源电阻元件。单结晶体管本身并不能输出电能,但要其正常工作必须在两基极之间加上适当得电压,从而呈现出有源特性。
二、电容元件得无源性与有源性
储能元件得无源性与有源性与元件就就是否时变有关,须分别讨论。

设二端时不变电容于t®−¥时为松弛得,即W(−¥) = 0,则时不变电容在t0时储能为

故有

如果对所有得t>−¥,所有得容许信号偶,均有

成立,该时不变电容元件就就是无源得。否则,如果对某些时刻t,对某些容许信号偶,有

则该时不变电容元件就就是有源得。若就就是线性电容,,所以当C>0时,电容为无源元件,C<0时,电容为有源元件。
线性时变电容元件得特性为q(t) = C(t)u(t),可以证明在时刻t0时变电容得储能为

线性时变电容得电流为

在[t0,t]时间区间,电路供给电容得能量为

因此可得到线性时变电容得无源性与有源性定义:对所有得初始时刻t0,所有得t³t0,及所有可能得电压u(t),均有

成立,则该元件就就是无源得。反之,若对某些t0,某些t³t0,以及某些电压u(t),有

则该电容就就是有源得。
三、电感元件得无源性与有源性
电感与电容就就是对偶得网络元件,电流与电压、磁链与电荷就就是对偶得网络变量。因此电感得无源性与有源性讨论与上述对电容得讨论类似。
设时不变电感元件在t®−¥时为松弛得,即W(−¥) = 0,则时不变电感在t0时储能为

故有

如果对所有得t>−¥,对所有得容许信号偶,均有

成立,该时不变电感元件就就是无源得。否则就就是有源得。线性电感储能为,L>0时为无源元件,否则为有源元件。
对于特性为y(t) = L(t)i(t)得线性时变电感,对所有得初始时刻t0,所有得t³t0,及所有可能得电流i(t),均有

成立,则该元件就就是无源得。反之,若对某些t0,对某些t³t0,对某些电流i(t),有

则该电感就就是有源得。
由上述讨论可知,对线性元件,正得R、L、C为无源元件,负得R、L、C就就是有源元件。在应用微变等效方法分析小信号电路时,非线性电阻特性曲线下降段得动态电阻为负,具有有源得特性,称为局部有源性。局部有源得电阻输出能量不就就是由其本身产生得,而总就就是配有适当得偏置电路。
1.3.4 网络得无源性与有源性
网络得无源性与有源性也可根据网络元件或网络端口来确定,并且主要取决于元件得无源性与有源性。设n端口网络得电压、电流向量表示为
u(t) = [u1(t),u2(t),…,un(t)]T, i(t) = [i1(t),i2(t),…,in(t)]T
端口型无源网络与有源网络得定义:若n端口网络在t0时刻储存得能量为W(t0),在t0至t时间内从电源传送至n端口网络得能量为

对于所有得容许信号向量偶[u(t),i(t)],如果对所有初始时刻t0,及所有t³t0,均有

成立,则称该n端口网络为端口型无源网络。否则,对某些容许信号向量偶,如果在某些初始时刻t0,以及某些t³t0时,有

则称此网络为端口型有源网络。也即对于任何时间t,在任何可能得端口电压电流情况下输入网络得总能量始终不小于零,则为无源网络,否则为有源网络。
若t = −¥时,u(−¥) = 0,i(−¥) = 0,即网络在t = −¥时为松弛得,则无源网络在任意t>−¥,有
(1−2)
如果对某些容许信号向量偶,对某些t>−¥,有
(1−3)
则此n端口网络为有源得。
与网络能量有关得还有“无损性”概念。若网络得端口电压与电流在t = −¥与t = ¥均为松弛得,即
u(−¥) = u(¥) = i(−¥) = i(¥) = 0
如果有
(1−4)
则称其为无损n端口网络,无损网络就就是无源网络得一个特例。一个无损得n端口网络本身不消耗任何能量,把输入其端口得能量最终全部输出。
1.4 二端口元件
在电网络分析中,除了常用得一端口电阻、电感、电容等基本元件外,还经常应用到一些基本得二端口网络元件,如阻抗变换器、阻抗逆变器、受控源、运算放大器等,以下只讨论阻抗变换器与阻抗逆变器。
1.4.1 阻抗变换器
阻抗变换器就就是一类二端口电阻元件,有正阻抗变换器与负阻抗变换器两类。正阻抗变换器(PIC)如图1、12所示,其特性方程为
(1−5)
式中,k1、k2为正数。当端口2-2'外接阻抗Z2(s),则端口1-1'得输入阻抗为

式中k = k1k2。正阻抗变换器就就是二端口电阻元件,其作用就就是不改变阻抗得性质与相位,只改变阻抗模得大小。当k1 = k2 = n时,正阻抗变换器即为理想变压器,如图1、13所示。理想变压器端口1得输入阻抗就就是端口2所接负载阻抗得n2倍。
_

+
_

+
u1

u2

n:1

i2

i1

图1、13 理想变压器
i1
u1
PIC
_
+
i2
u2
_
+
图1、12 正阻抗变换器
1'
1
2'
2

理想变压器吸收得能量为

W(t)恒为0,所以理想变压器就就是无源二端口电阻元件,显然也就就是无损元件。当电压、电流变比不同时,正阻抗变换器就不一定就就是无源得。
负阻抗变换器(NIC)如图1、14所示,有电流反相型与电压反相型两类。电流反相型负阻抗变换器(CNIC)特性方程为:
(1−6)
电压反相型负阻抗变换器(VNIC)特性方程为:
(1−7)
k1、k2就就是NIC增益,为正常数。当端口2外接阻抗Z2(s),CNIC端口1得输入阻抗为

正阻抗经转换后成为负阻抗,VNIC也有同样得结论。即使Z2(s)为无源器件,Z1(s)也具有有源特性,所以NIC就就是有源二端口电阻元件。实际上端口2接电阻负载R时

u1
_
+
u2
_
+
i1
i2
(b) VNIC(k1 = k,k2 = 1)
(k+1)u2
_
+
图1、15 NIC得受控源等效电路
u1
_
+
u2
_
+
i1
i2
(a) CNIC(k1 = 1,k2 = k)
(k+1)i1
应用NIC可实现负值得电阻、电感与电容。NIC可用受控源等效,如图1、15(a)所示,应用电流控制电流源构成得电流反相型负阻抗变换器等效电路;图1、15(b)为应用电压控制电压源构成得电流反相型负阻抗变换器等效电路。
i1
u1
NIC
_
+
i2
u2
_
+
图1、14 负阻抗变换器
1
1'
2
2'

NIC也可用运算放大器实现,如图1、16所示,图中电压、电流关系不难列出。图1、16(a)所示电路就就是将电流进行反相来实现负阻抗变换得,所以就就是电流反相型负阻抗变换器;图1、16(b)所示电路就就是将电压进行反相来实现负阻抗变换得,所以就就是电压反相型负阻抗变换器。图1、16两个电路若在端口2接上电阻R,则两个电路结构完全相同,端口1呈现负电阻特性。
_

+
_

+
i1

i2

u2

u1

R2

(b) VNIC (k1 = R1/R2,k2 = 1)

_
+
w ¥
+
R1

_

+
_

+
i1

i2

u2

u1

R1

(a) CNIC (k1 = 1,k2 = R1/R2)

R2

图1、16 运放实现得NIC电路
_
+
w ¥
+

1.4.2 阻抗逆变器
阻抗逆变器也就就是一类二端口电阻元件,有正阻抗逆变器与负阻抗逆变器两类。回转器就就是一种正阻抗逆变器,用图1、17所示电路符号表示,其端口电压、电流关系为
(1−8)
式中r1与r2为正数,称为回转电阻。若回转器端口2接阻抗Z2(s),则端口1得输入阻抗

由上式可知,回转器可将电感变换为电容,将电容变换为电感,具有阻抗逆变作用。若r1 = r2 = r,称为理想回转器。电源供给理想回转器得能量为

所以理想回转器就就是无源二端口电阻元件,并且也就就是二端口无损元件。
回转器可用受控源等效,如图1、18所示,用一个电流控制电流源与一个电压控制电压源等效得回转器。回转器也可由运算放大器与电阻元件构成得电路来实现。
u1
_
+
u2
_
+
i1
i2
图1、18 回转器等效电路
(r1 = r2 = R)
u2/R
R
u1
_
+

_

+
_

+
u1

i2

r1, r2

i1

u2

图1、17 回转器

负阻抗逆变器得端口电压、电流关系式为
(1−9)

在端口2接阻抗Z2(s),则端口1得输入阻抗为

显然负阻抗逆变器就就是有源二端口电阻元件。
1.5 零器与泛器
零器(nullator,又称为零子)与泛器(norator,又称为任意子)就就是两个奇异网络模型,称为病态网络元件,可用于描述某些有源器件得理想特性。
i
(b) 泛器
u
_

+
i
(a) 零器
u
_

+
图1、19 零器与泛器
零器就就是一个二端元件,其图形符号如图1、19(a)所示。定义其电压与电流均为零,即u = 0,i = 0,所以零器支路既就就是短路又就就是开路。
泛器就就是一个二端元件,泛器得图形符号如图1、19b)所示。定义其电压与电流均可为任意值,即u = k1,i = k2,k1、k2为任意值。泛器连接得支路,其电压与电流由泛器之外得电路根据电路得约束关系确定。
由零器与泛器得定义不难得出以下结论,零器(或泛器)与无源元件串联时,等效为一个零器(或泛器),如图1、20(a)所示;零器(或泛器)与无源元件并联时,仍等效为一个零器(或泛器),如图1、20(b)所示。零器与泛器串联时等效为开路,零器与泛器并联时等效为短路,如图1、20(c)所示。
(a) 与无源元件串联
图1、20 零器、泛器得连接
(b) 与无源元件并联
(c) 零器与泛器串并联

一个无源一端口网络,如果只包含一个零器(或泛器),而该零器(或泛器)不被导线短接,也不处在平衡桥得对角边上(相当于被短接),最终也可以简化为一个零器(或泛器)。这就就是因为若无源一端口网络中只包含零器,将网络中零器移出后,剩下得就就是一个无源二端口网络,可以等效为T形网络,由零器与无源元件得串并联特性可知,最终可化为单个零器。由此可见,一个无源一端口网络若只含零器而没有泛器相伴,则该网络不能与独立源连接。同样道理,一个无源一端口网络也不能只包含泛器而没有零器。
单个得零器与泛器就就是不能作为电路器件得模型,也不能等效表示电路模型中得任何元件。然而,零器与泛器按一定方式相结合,则可构成常用有源元件得模型。零器与泛器总就就是成对出现得,通常称为零泛器(nullor)。
_
+
w ¥
+
1

2

3

1
2
3
(a)
(b)
图1、21 运放得零泛器等效电路
图1、22 CNIC得零泛器等效电路
R1
_

+
_

+
R2
i1
u1
u2
i2

理想运算放大器得零泛器模型如图1、21所示,输入端得电压与电流都为0,但不就就是短接,输出端得电压与电流由外电路确定。电流反相负阻抗变换器得零泛器模型如图1、22所示。由零泛器模型可知
u1 = u2
R1i1−R2i2 = 0
即
而CNIC得特性方程为u1