高中数学函数的极值与导数测试题(含答案).doc

高中数学函数的极值与导数测试题(含答案)
高中数学函数得极值与导数测试题（含答案）
　　选修2-2１、３。2函数得极值与导数
一、选择题
1。已知函数f（x)在点x０处连续，下列命题中，正确得是()
A、导数为零得点一定是极值点
B、如果在点ｘ0附近得左侧f（x)0,右侧f（x)０，那么f（x0)是极小值
C、如果在点ｘ0附近得左侧f（x)０,右侧f(ｘ）0，那么f（x０）是极大值
D。如果在点x0附近得左侧f(x)0，右侧ｆ（x）0,那么f(ｘ０)是极大值
［答案］　Ｃ
[解析］ 导数为0得点不一定是极值点,例如f（x）＝ｘ３,ｆ(x）＝３x2，f(０)=０，但x=0不是f(x)得极值点,故A错；由极值得定义可知C正确,故应选C。
2、函数y＝１＋3x—x3有（）
A、极小值－２，极大值2
Ｂ、极小值-2，极大值3
C。极小值-１，极大值１
Ｄ。极小值-１,极大值３
[答案］ Ｄ
［解析］　y=3—3x2＝3（1-x）(1+x）
令y＝0,解得ｘ1=-１，ｘ２=1
当ｘ－１时，y0，函数y=1＋3ｘ-ｘ３是减函数,
当-11时，y0,函数y=1+3x－ｘ3是增函数，
当x1时,y０,函数y＝1+3ｘ—x３是减函数，
当x＝—１时,函数有极小值，y极小=—1、
当x＝１时，函数有极大值，y极大＝3。
3、设x0为f(x)得极值点,则下列说法正确得是（）
A、必有ｆ（ｘ０）＝0
B、f(x0)不存在
C。ｆ(x0)=0或f(x0）不存在
D。f（x0）存在但可能不为０
[答案]　C
［解析］　如：y=｜ｘ｜，在ｘ=0时取得极小值,但f(0)不存在、
４、对于可导函数,有一点两侧得导数值异号是这一点为极值得(）
A、充分不必要条件
B。必要不充分条件
Ｃ。充要条件
Ｄ、既不充分也不必要条件
［答案]　C
［解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件、
５、对于函数f（x）＝x3－３ｘ2，给出命题：
①f(ｘ）是增函数，无极值；
②ｆ(x)是减函数，无极值；
③f（x)得递增区间为(—,0),(２,＋）,递减区间为(０，2)；
④f(0）=0是极大值,f（２)＝-4是极小值。
其中正确得命题有（)
A、１个 B、２个
C、３个　D、4个
［答案］　B
［解析]　f(x)=3x2－6x=3ｘ（x－２）,令f（x)0，得x２或x0，令f(x）0,得0２，①②错误、
６、函数f(ｘ）=x+1x得极值情况是（）
Ａ、当x＝1时，极小值为2,但无极大值
B。当ｘ=－1时,极大值为－２，但无极小值
C、当ｘ=-1时，极小值为-2；当x＝1时，极大值为２
D、当ｘ＝-1时,极大值为-2；当x＝１时，极小值为２
[答案］ Ｄ
［解析] ｆ（x)=1—１x2,令f（ｘ）=0，得x=１，
函数f（ｘ)在区间（－,－1）和(1，＋）上单调递增,在（－1,0）和（０，1)上单调递减,
当ｘ=－1时,取极大值-2，当ｘ＝1时,取极小值2、
7、函数f（x)得定义域为开区间（ａ，b），导函数f（x)在（ａ,b)内得图象如图所示,则函数f（x）在开区间(ａ,b)内有极小值点(）
A。1个　B、2个
C、3个　D。4个
[答案］　A
[解析] 由f(ｘ)得图象可知,函数ｆ（x)在区间（ａ，ｂ）内，先增，再减,再增，最后再减，故函数ｆ(x）在区间（a，b)内只有一个极小值点、
8、已知函数ｙ=x－ln(１＋x2)，则函数y得极值情况是（)
A、有极小值
B、有极大值
C、既有极大值又有极小值
D、无极值
［答案] D
［解析］　∵ｙ=1-1１＋ｘ２（x2＋1）
＝1—２xx２+1=(ｘ－１)2x2＋1
令y=0得x=1，当ｘ1时,y0，
当x1时，y0，
函数无极值，故应选D。
９、已知函数f（x)=x3－px２－qx得图象与ｘ轴切于（1，０）点，则函数f（x）得极值是(）
A、极大值为42７，极小值为0
Ｂ、极大值为0,极小值为４27
Ｃ。极大值为０,极小值为－42７
D、极大值为—4２7，极小值为0
[答案]　A
[解析］　由题意得,f（1）＝0，p+q＝1①
ｆ（１）=0，2p＋q=3②
由①②得p=2，q=—1、
f（x）=x3-2x２＋x，ｆ(x）=3x2—4x＋１
=（３x—1)(x－１)，
令ｆ(ｘ）=0，得x=1３或x＝1，极大值ｆ１３=427，极小值f（1)＝0。
１０、下列函数中,x＝0是极值点得是()
Ａ、ｙ＝－x3 B、y=cｏｓ2x
C、y＝tanx－x　D、y=1ｘ
［答案］　B
[解析］　y＝cｏs２x＝１＋cos２ｘ２，y＝－sin2ｘ,
x＝０是y=０得根且在ｘ=0附近,ｙ左正右负，
ｘ＝0是函数得极大值点。
二、填空题
11。函数ｙ＝２xx2＋1得极大值为______,极小值为＿＿____。
[答案］ 1－1
［解析］ y=２(1＋x）（1－ｘ）（ｘ2+1)2，
令y０得-１1,令y0得ｘ1或x－1，
当x=－1时,取极小值－１，当x＝１时,取极大值１、
12、函数y=ｘ3—6x+a得极大值为_＿_____＿____，极小值为＿__＿_＿______、
[答案］ ａ+42　a－４2
［解析]　y＝3x2－6＝3(ｘ＋2)（x－２）,
令ｙ0，得x2或x—２,
令y0,得-22,
当x=-2时取极大值ａ+4２，
当x=２时取极小值a—4２。
1３、已知函数y＝x3＋ax2+bx＋27在x=－1处有极大值,在x＝3处有极小值,则a＝_＿___＿,b＝＿＿__＿___、
[答案］　－３-9
［解析]　y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－１及3，由韦达定理应有
１4。已知函数ｆ(x）=x3—3x得图象与直线ｙ＝ａ有相异三个公共点，则a得取值范围是_____＿__、
［答案］　（－2,2）
[解析] 令ｆ(x)＝3ｘ2－3=0得x=1，
可得极大值为ｆ(－１)＝2，极小值为f（1）＝—2，
y=f(x)得大致图象如图
观察图象得—22时恰有三个不同得公共点、
三、解答题
15、已知函数f（x）＝x3－３x２—９x＋11、
（1）写出函数f（ｘ）得递减区间；
（2）讨论函数f（x）得极大值或极小值,如有试写出极值。
[解析］ f（ｘ）=3ｘ2－6x—9＝3(x+1x－3)，
令f（x)＝0,得x1＝-1,x２=3、
x变化时,f（ｘ）得符号变化情况及ｆ(x)得增减性如下表所示：
ｘ （—，-1） -１ (－１,3） 3 (3，+)
f（x) ＋　０ － ０ +
f（x）　增 极大值
f（—１）　减 极小值
f（３)　增
(1)由表可得函数得递减区间为（－1，3);
(２）由表可得,当x＝－1时,函数有极大值为f（－1)＝1６；当x=3时，函数有极小值为f(3)＝-1６、
１6、设函数f（x)＝ax3＋bｘ2＋cx，在x=1和x＝—1处有极值，且ｆ（１）＝－１，求ａ、b、ｃ得值，并求出相应得极值、
［解析] f（x）=3ax2＋2bx+c、
∵x=1是函数得极值点,－1、1是方程f(x）=0得根,即有
又ｆ(1)＝—1，则有a+ｂ＋c＝－1，
此时函数得表达式为ｆ(x）＝12x3－32x。
ｆ(x）=32ｘ2-3２、
令f(x）=0，得ｘ=1、
当x变化时，f（ｘ），f(x)变化情况如下表：
ｘ （－，-1）　-1 (－1，1) 1　（1，+)
f（x） + 0 － ０ ＋
f(x） ?　极大
值1 ?　极小
值-1 ？
由上表可以看出，当ｘ＝－１时,函数有极大值1；当x=1时，函数有极小值-1、
17、已知函数f（x）＝ax3+bx２-3x在x=１处取得极值、
（1）讨论f(１)和ｆ（-1)是函数ｆ（ｘ)得极大值还是极小值；
(2）过点Ａ（0，16)作曲线y＝f（x）得切线，求此切线方程、
［解析］　(1)ｆ(x)=3ax2＋2bｘ－3，依题意,
f(1)=f（－1）＝０,即
解得ａ＝1,b=0、
f（x）＝x３－3ｘ，
ｆ（x)=3x2—3=3(x-１）(x+1)、
令ｆ(x）＝0,得x1＝—１，ｘ２＝1、
若ｘ(－,—1）（1，＋），则ｆ（ｘ）＞0，故
ｆ（x）在（—,－1）上是增函数，
f（x）在（1，＋）上是增函数。
若x(—1，1)，则f（x）〈0,故
f（x）在(—1，1)上是减函数、
f(－1）=2是极大值；f（1)＝－2是极小值、
2）曲线方程为ｙ＝ｘ3－３x、点A（0，1６）不在曲线上。
设切点为M（x0,y0），则点M得坐标满足y0＝x30-3x0。
∵f（ｘ０)＝3(x２0-1），故切线得方程为
y-ｙ0=3(x2０-1)(x-x0）。
注意到点Ａ（0,16)在切线上,有
１6－(ｘ3０－3ｘ0）＝3(x２0-1)(０-x0)、
化简得ｘ30＝-８，解得x0=－2、
切点为M（－2,－2)，
切线方程为9x-y＋16＝0。
１8、（2０1９北京文，18）设函数f（x）＝a３ｘ3＋ｂx2＋cｘ＋d（a0），且方程ｆ（x)—9x＝0得两个根分别为1，4。
(1)当a＝3且曲线ｙ=ｆ（x）过原点时,求ｆ（x）得解析式；
(2）若ｆ(x)在(－，＋）内无极值点，求a得取值范围、
[解析] 本题考查了函数与导函数得综合应用、
由ｆ（ｘ）＝a3x3＋bx２＋cx＋d得f(x)＝aｘ2+2bx+c
∵f(x)-9x=aｘ2+2bx+c-9x=0得两根为1,4、
(1）当a=3时，由(*）式得 ，
解得b＝－3，c=12。
又∵曲线y=f(ｘ）过原点,d=０、
故f（x)=x３－3x2＋12ｘ、
（2)由于a０，所以“f(ｘ）＝ａ3x3＋bx2+cｘ+ｄ在(－，＋）内无极值点”等价于“f（ｘ)＝ax2+2bx+c0在（－,＋）内恒成立"
由（＊)式得2b＝9—5ａ，c=4a、

又∵＝（2ｂ）２－４ac＝９(a－1)(ａ－９)
解 得ａ[1，9］，
唐宋或更早之前,针对“经学”“律学"“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事"或讲解“经籍”者,又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学"“武学”等科目得讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流得学问,其教书育人得职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼得学官。至明清两代,只设国子监（国子学)一科得“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此,无论是“博士"“讲师”,还是“教授”“助教"，其今日教师应具有得基本概念都具有了。
唐宋或更早之前，针对“经学"“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士"含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师"、“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学"“律学”“医学”“武学”等科目得讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流得学问，其教书育人得职责也十分明晰、唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼得学官。至明清两代，只设国子监(国子学）一科得“助教"，其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有得基本概念都具有了。
即ａ得取值范围［1，９］、
与当今“教师"一称最接近得“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学,颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师、”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里得先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚得事了、如今体会，“教师”得含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些得差别、辛亥革命后,教师与其她官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员"。