高数习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习 题 课,一、主要内容,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,函 数,的定义,函 数,的性质,奇偶性,单调性,有界性,周期性,反函数,隐函数,反函数与直接,函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,（一）函数,1.,函数的定义,函数的分类,2.,函数的性质,有界、单调、奇偶、周期,3.,反函数,4.,隐函数,5.,基本初等函数,幂、指、反、对、三,6.,复合函数,7.,初等函数,数列极限,函 数 极 限,左右极限,极限存在的,充要条件,无穷大,两者的,关系,无穷小,的性质,极限的性质求极限的常用方法,无穷小,判定极限,存在的准则,两个重要,极限,无穷小的比较,等价无穷小,及其性质,唯一性,（二）极限,1,、极限的定义：,单侧极限,2,、无穷小与无穷大,无穷小；,无穷大；,无穷小与无穷大的关系,无穷小的运算性质,3,、极限的性质,四则运算、复合函数的极限,极限存在的条件,4,、求极限的常用方法,a.,多项式与分式函数代入法求极限,;,b.,消去零因子法求极限,;,c.,无穷小因子分出法求极限,;,d.,利用无穷小运算性质求极限,;,e.,利用左右极限求分段函数极限,.,5,、判定极限存在的准则,夹逼定理、单调有界原理,6,、两个重要极限,7,、无穷小的比较,8,、等价无穷小的替换性质,9,、极限的唯一性、局部有界性、保号性,（三）连续,左右连续,连续的,充要条件,间断点定义,振荡间断点,无穷间断点,跳跃间断点,可去间断点,第一类,第二类,在区间,a,b,上连续,连续函数的,运算性质,初等函数,的连续性,非初等函数,的连续性,连续函数,的 性 质,1,、连续的定义,单侧连续,连续的充要条件,闭区间的连续性,2,、间断点的定义,间断点的分类,第一类、第二类,3,、初等函数的连续性,连续性的运算性质,反函数、复合函数的连续性,4,、闭区间上连续函数的性质,最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理,二、典型例题,例,1,解,利用函数表示法的无关特性,代入原方程得,代入上式得,解联立方程组,A,、数列极限的求法,利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。,例,5,求下列数列极限：,解,2,、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求,极限的方法。,对通项式有理化得,解,3,、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的,前,n,项和公式求和，再求极限。,解,4,、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项,放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。,解,例,9,求下列极限：,解,五、函数极限的求法,函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变,量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首,先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法,.,一般地，函数极限有以下几种求法：,解,例,11,已知,解,解,解,利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极,限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无,穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为,无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。,例,14,求下列函数的极限：,解,(2),利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。,常用等价无穷小,:,解,解,例,2,求下列极限,P59 5(2),P59 5(3),例,3,解一,解二,例,4,解,解法讨论,例,5,求极限,分析,要用夹逼定理，须进行放缩,不能这样用夹逼定理，,解,注意到分子成等差数列,例,10,求下列极限,只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质,例,11,解,因,f,(,x,),在,x,=0,处为无穷间断，即,又,x,=1,为可去间断，,有无穷间断点,及可去间断点,解,:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,P60 11.,设函数,试确定常数,a,及,b.,P60 14.,设,f,(,x,),定义在区间,上,若,f,(,x,),在,连续,提示,:,且对任意实数,证明,:,f,(,x,),对一切,x,都连续,.,上连续,且,a,c,d,b,P60 16.,设,在,必有一点,证,:,使,即,由介值定理,证明,:,故,即,阅读与练习,1.,求,的间断点,并判别其类型,.,解,:,x,=1,为第一类可去间断点,x,=1,为第二类无穷间断点,x,=0,为第一类跳跃间断点,2.,求,解,:,原式,=1,(2000,考研,),3,解,例,4,解,从而由等价无穷小的代换性质得,