第二章物体几何要素的投影.ppt

第一章制图的基础知识,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 物体几何要素的投影,2.1,投影法的基本知识,2.2,点的投影,2.3,直线的投影,2.4,平面的投影,2.5,直线与平面、两平面的相对位置,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,2.1,投影法的基本知识,一、,投影法,投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法叫投影法。所得图形叫投影，选定的平面叫投影面。,二、投影法分类,画透视图,画斜轴测图,画,工程图样,及正轴测图,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。不适于绘制机械图样。,优点：直观性好、立体感强，适于绘制建筑物的透视图,投影特性,:,中心投影法,斜角投影法,投影特性：,投影大小与物体和投影面之间的距离无关,;,度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制,。,直角（正）投影法,平行投影法,三种投影法的比较：,三、正投影的基本特性,（,1,）平行性。,空间平行两直线，在其同一投影面上的投影一定相互平行。,（,2,）从属性。,点在直线（或平面）上，则该点投影一定在直线（或平面）的同面投影上,（,3,）定比性。,点分割线段之比投影后该比例不变；空间平等的两线段之比投影后该比例不变,（,4,）,不变性。,当平面或直线与投影面平行时，其投影反映实形,(,或实长),，这种投影特性称为不变性。如,:P,、,AB,（,5,）积聚性。,当平面或直线与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一条线或一个点，这种投影特性称为积聚性。如：面,B,、线,CD,（,6,）类似性（形）。,当平面或直线与投影面倾斜时,其投影的面积变小或长度变短，但投影的形状仍与原来形状类似,这种投影特性称为类似性。如：面,R,注意：,（,1),投影不等于影子,（,2),仅有一个投影不能准确、真实地表达物体的形状。,P,b,A,P,解决方法：采用三面投影。,过空间点,A,的投射线与投影面,P,的交点即为点,A,在,P,面上的投影。,B,1,B,2,B,3,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、,点在三投影面体系中的投影,a,2.2,点的投影,点的投影仍为点,1.,三投影面体系,以三个相互垂直的平面作为投影面，便组成了三投影面的体系。,正平面,V,：正立放置，即正立投影面,水平面,H,：水平放置，即水平投影面,侧平面,W,：侧立放置，即侧立投影面,三个面的交点为投影原点,O,，,V,与,H,面的交线为,OX,投影轴，,V,与,W,面的交线为,OZ,投影轴，,H,与,W,面的交线为,OY,投影轴，如图所示。,H,W,V,O,X,Z,Y,两种投影体系的比较,第三角画法也是以正投影法为主，与第一角的区别在于观察者、投影面和物体三者之间的相对位置关系不同。,第一角画法是将物体置于第一角内，物体在人与投影面之间，保持,“,人,物体,投影面,”,的相互位置关系。而第三角画法是将物体置于第三分角内，投影面在人与物体之间，保持,“,人,投影面,物体,”,的位置关系。假想投影面是透明的，是一种透视效果。,W,H,V,O,X,a,点,A,的正面投影,a,点,A,的水平投影,a,点,A,的侧面投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,a,a,a,A,Z,Y,2.,点的三面投影,W,V,H,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,向右翻,向下翻,不动,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,H,Y,W,O,a,z,x,投影面展开,画图时，不必画出投影面的边框线和投影轴上的,a,x,、,a,y,H,、,a,y,W,、,a,z,；,其中,W,面上的一段垂直,OY,W,，,H,面上的一段垂直,OY,H,，中间可用折线、,45,。,斜线或以,O,为圆心的圆弧联系起来。,Z,a,a,X,Y,H,Y,W,a,x,a,a,z,y,a,a,y,O,V,H,W,将三投影面体系看直角坐标系，空间点,A,的位置用三个坐标（,X,A,、,Y,A,、,Z,A,）表示。,3.,点的投影与直角坐标的关系,X,Y,Z,O,V,H,W,A,(X,A,Y,A,Z,A,),a,a,a,x,a,a,z,Y,Z,a,z,a,(,Y,A,Z,A,),X,Y,a,YWO,a,(,X,A,Y,A,),a,x,a,YH,a,(,X,A,Z,A,),a,Y,x,y,z,A,a,=,oa,x,=,aa,x,=,a,a,z,=,Y,A,Aa,=,oa,z,=,a,a,x,=,a,a,y,=,Z,A,Aa,=,oa,x,=,aa,y,=,a,a,z,=,X,A,可知：,a,由,X,A,、,Y,A,确定,a,由,X,A,、,Z,A,确定,a,由,Y,A,、,Z,A,确定,4.,点的三面投影特性,1.,a,a,O,X,轴,3.,aa,y,H,O,Y,H,a,a,y,W,O,Y,W,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,Y,Z,a,z,a,XY,a,y,W,O,a,a,x,a,y,H,a,2.,a,a,O,Z,轴,（,1,）点的投影连线垂直于投影轴,aa,x,=a,a,z,=Y,A,=,A,到,V,面的距离,a,a,x,=a,a,y,=Z,A,A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=X,A,A,到,W,面的距离,a,a,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,H,Y,W,O,a,z,x,（,2,）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也等于该点到相邻投影面的距离,:,根据点的投影特性，由点的任意两个投影，即可确定点的,3,个坐标，并求出第,3,个投影；或由空间坐标确定点的三面投影,5.,特殊位置点的投影,（,1,）,投影面上的点有一个坐标为零，其在该投影面上的投影与该点重合，另两个投影在相应的投影轴上（如点,B,、,C,）。,（,2,）,投影,轴上的点有两个坐标为零，其在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，另一个投影在原点,O,（如点,D,）。,（,3,）,处于原点的点，三个投影都与原点重合，坐标为（,0,0,0,）,1,、点的投影连线垂直于相应的投影轴。,2,、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。,小 结：,Z,a,a,X,Y,H,Y,W,O,a,x,a,a,z,y,a,a,y,X,Z,Y,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,c,例,1,已知点,C,的两个投影,c,和,c,，求作其水平投影,c,。,c,c,c,z,通过作,45,转宽线使,c,c,z,=,cc,x,X,Z,Y,H,Y,w,c,y,w,c,y,H,o,c,x,a,a,a,x,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,解法二,a,例,2,已知点的两个投影，求第三投影。,X,o,Y,H,Y,w,Z,X,Y,w,Z,Y,H,o,练习：,1.,已知点,A,的两面投影（,H,面、,W,面）求点,A,的第三面投影；,2.,已知点,B,的坐标为（,25,，,20,，,30,），求点,B,的三面投影。,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x,坐标大的在左；,y,坐标大的在前；,z,坐标大的在上。,二、两点的相对位置,点,A,在点,B,的左前上方。,例：如图，已知点,A,的三投影，另一点,B,在点,A,上方,8mm,，左方,12mm,，前方,10mm,处，求点,B,的三个投影。,作图步骤：,1),在,a,左方,12mm,，上方,8mm,处确定,b,；,2),作,b,b,OX,，且在,a,前,10mm,处确定,b,；,3),按投影关系求得,b,空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。,A,、,C,为,V,面的重影点（被挡的加括号）,H,面重影点，上者可见（上遮下）,V,面重影点，前者可见（前遮后）,W,面重影点左者可见（左遮右）,重影点,练习：,习题集,P132.,习题集,P146.,a,a,a,b,b,b,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。,一、直线及直线上点的投影特性,A,B,a,b,直线垂直于投影面,投影重合为一点,积聚性,线段平行于投影面,投影反映线段实长,ab=AB,反映实形,线段倾斜于投影面,投影比空间线段短,ab=Ab,cos,类似性,A,B,a,b,A,M,B,abm,2.3,直线的投影,Y,W,Y,H,Z,X,O,由正投影的基本特性可知：,（,1,）直线的投影,一般,仍为直线：,（,2,）直线上点的投影，必在直线的同名投影上；,CAB,，,则有,c ab,，,cab,，,cab,。,即，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在图中，,C,点在直线,AB,上，而,D,、,E,两点均不满足上述条件，所以都不在,AB,直线上。,若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。,判别方法,：,AC/CB=ac/cb=,a,c,/c,b,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,X,O,（,3,）直线上点分割直线段之比等于其投影之比。,点,C,不,在直线,AB,上,a,b,c,a,b,c,c,a,b,c,a,b,点C,在直线,AB,上,例,1,判断点,C,是否在线段,AB,上。,X,O,X,O,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，,故点,K,不在,AB,上。,方法二：应用定比定理,a,b,k,a,b,k,例,2,判断点,K,是否在线段,AB,上。,Y,H,X,Z,O,Y,W,例,2,1,（,P30,）,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,二、三投影面体系中各种位置直线的投影特性,投影特性：,三个投影都缩短，且都倾斜于投影轴。,都不反映空间线段的实长及与三个投影面的真实倾角。,1.,一般位置直线,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,在所平行的投影面上的投影反映,实长,，该投影与投影轴的夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。,另两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度,小于实长,。,水平线,侧平线,正平线,投影特性：,与,H,面的夹角,:,；,与,V,面的角,:,;,与,W,面的夹角,:,。,实长,实长,实长,b,a,a,a,b,b,2.,投影面平行线,Y,H,Y,W,X,Z,O,Y,H,Y,W,Z,O,X,Y,H,Y,W,Z,O,X,一投影反映实长,另两投影平行投影轴,铅垂线,正垂线,侧垂线,另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,，,且长度反映空间线段的,实长,。,在所垂直的投影面上，投影,积聚,为,一点,。,投影特性,:,c,(,d,),c,d,d,c,a,b,a(b),a,b,e,f,e,f,e,(,f,),3.,投影面垂直线,Y,H,Y,W,X,Z,O,Y,H,Y,W,X,Z,O,Y,H,Y,W,X,Z,O,一投影具有积聚性,另两投影垂直投影轴且为实长,AB,、,BC,为水平线；,AC,为侧垂线；,SB,为侧平线；,SA,、,SC,为一般位置直线,练习,1,：判断下列立体中的,AB,、,BC,、,AC,、,SA,、,SBSC,线段属于那类线段。,AB,为正平线；,AC,为正垂线；,AD,为铅垂线,练习,2,：判断线段,AB,、,AC,和,AD,属于那类线段,空间两直线的相对位置分为三种：,（,1,）两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,三、两直线的相对位置,X,O,平行,相交,交叉,同面直线,异面直线,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,例,1,判断图中两条直线是否平行。,X,O,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行,。,例,2,判断图中两条直线是否平行,Y,H,X,Z,O,Y,W,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,判别方法：,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,（,2,）两直线相交,X,O,X,O,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,先作正面投影,例过点,C,作水平线,CD,与,AB,相交。,X,O,d,b,a,a,b,c,d,c,X,O,1,(,2,),3(4)投影特性：,同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是,面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,1,2,3,4,两直线相交吗？,（,3,）两直线交叉,练习：习题集,P17,，,2,四、一边平行于投影面的直角的投影,直角投影定理：,1.,空间两直线成直角（相交或交叉），若两边都与某投影面平行，则在该投影面的投影成直角；,2.,若两边都与某投影面倾斜，则在该投影面上的投影不是直角；,3.,若其中一边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影仍是直角。,反之，若相交（包括交叉）两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中一条为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。,见,P36,图,2,14,A,B,V,H,b,b,a,A,0,B,0,Z,B,-Z,A,Y,B,-Y,A,Z,B,-Z,A,a,b,a,b,实长,直角三角形法：,利用一般位置直线的投影求作实长和倾角的方法,即：以直线在某一投影面上的投影长为一直角边，以直线两端点与这个投影面的距离差为另一直角边，形成的直角三角形的斜边是直线的实长，投影长与斜边的夹角就是直线对这个投影面的倾角。,|z,A,-z,B,|,AB,A,B,b,b,a,a,C,X,O,|z,A,-z,B,|,X,a,a,b,b,AB,ab,|z,A,-z,B,|,AB,|z,A,-z,B,|,ab,对面倾角和实长,A,B,b,b,a,a,C,X,O,|Y,A,-Y,B,|,a,X,a,b,b,a,b,AB,|,Y,A,-Y,B,|,AB,|Y,A,-Y,B,|,对面倾角与实长,X,Z,Y,O,A,B,b,b,a,b,a,a,Z,X,a,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,|X,A,-X,B,|,|X,A,-X,B,|,对面倾角与实长,例：求线段,CD,的实长及,角,c,d,c,d,Y,d,-Y,c,实长,d,c,c,d,实长,例,2,2,试过点,A,作一等腰直角三角形,ABC,。,AB,、,BC,为直角边，,BC,属于已知正平线,MN,。,直角三角形法要点,2,、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个,1,、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系,角,水平投影,z,坐标差,线段实长,角,正面投影,y,坐标差,线段实长,角,侧面投影,x,坐标差,线段实长,3,、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错,一、平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,a,b,c,a,b,c,平面图形,2.4,平面的投影,X,O,X,O,X,O,X,O,X,O,平行,垂直,倾斜,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、三投影面体系中各种位置平面的投影特性,投 影 特 性,平面平行投影面,投影反映实形,平面垂直投影面,投影积聚成直线,平面倾斜投影面,投影类似原平面,平面对于三投影面的位置可分为三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,平面在三投影面体系中的投影特性,a,b,c,a,c,b,a,b,c,三个投影都类似，且面积缩小，不反映平面对投影面的倾角。,投影特性：,1.一般位置平面,Y,H,X,Z,O,Y,W,*,无论平面处于什么位置，三个投影中至少有一个是线框。而这一线框表示物体上表面的投影。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂 面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,2.,投影面垂直面,Y,H,X,Z,O,Y,W,在垂直的投影面上的投影积聚成与投影轴倾斜的直线；另两个投影面上的投影为空间平面的类似形。,正垂面,:,垂直,V,面,铅垂面,:,垂直,H,面,侧垂面,:,垂直,W,面,各种位置垂面的投影特点,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,3.,投影面平行面,Y,H,X,Z,O,Y,W,平行投影面上的投影反映实形；另两投影面上的投影积聚为直线，且平行于投影轴。,各种位置平行面的投影特点,正平面,:,平行,V,面,水平面,:,平行,H,面,侧平面,:,平行,V,面,判断,直线,在平,面内,的方,法,定理一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定理二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,三、平面内的点和直线,两点定一线,一点一线定一线,（,1,）平面上取任意直线：,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,例,1,已知平面由直线,AB,、,AC,所确定，试在平面内任作一条直线。,X,O,X,O,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,例,2,在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距离为,10 mm,。,X,O,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,已知点,K,在平面,ABC,上，求点,K,的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,bk,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,（,2,）平面上取点,X,O,X,O,b,c,k,a,d,a,d,b,c,a,d,a,d,b,c,k,b,c,解法一,解法二,例,2,已知,AC,为正平线，补全平行四边形,ABCD,的水平投影。,X,O,X,O,见,P41,例,2,5,2.5,直线与平面、两平面的相对位置,一、平行问题,1.,若直线平行某平面内一直线，则直线与该平面平行。,这是作直线平行于平面或判断直线是否平行于平面的依据。,(1),直线与一般面相互平行,H,G,C,D,AB,平行于平面,P,EF,平行于平面,P,例,.,过已知点,K,作一水平线平行于已知平面CDE,。,b,a,a,f,f,b,例,.,试判断已知直线,AB,是否平行于定平面,CDE,。,f,g,f,g,结论：直线,AB,不平行于定平面,(2),直线与垂直于投影面的平面相互平行,当直线与垂直投影面的平面平行时，则直线的投影平行于平面具有积聚性的同面投影，或者直线、平面在同一投影面上投影都有积聚性。,AB/CDEF,，,ab/cdef,；,MN/CDEF,，,mn,、,cdef,都有积聚性,这是作平面平行于平面或判断平面是否平行于平面的依据。,E,F,D,A,C,B,2.,如果两个平面内各有一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。,例,：,试判断两平面是否平行,m,n,m,n,r,r,s,s,结论：两平面平行,3.,若两特殊位置平面相互平行，则它们有积聚性的那组同面投影必然相互平行。,ABCD/EFGH,，,abcd/efgh,二、相交问题,1.,直线与平面相交,（,1,）直线与特殊位置平面相交,当直线与特殊位置平面相交时，平面的有积聚性的投影与直线的同面投影的交点，就是交点的一个投影。,（,2,）投影面垂直线与一般位置平面相交,当投影面垂直线与一般位置平面相交时，投影面垂直线与平面的交点的一个投影，就积聚在该直线投影积聚成一点的同面投影上。,1.,平面与平面相交,（,1,）两特殊位置平面相交,两个垂直于同一个投影面的平面的交线，一定是这个投影面的垂直线，两平面的有积聚性的投影的交点，就是交线有积聚性的投影。,（,2,）特殊位置平面与一般位置平面相交,平面图形与垂直投影面的平面相交，可以作出前者的任意两直线与后者的交点，然后连接成交线。,三、垂直问题,1.,直线与平面垂直,例,2,6,当直线与特殊位置平面垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直于平面有积聚性的同面投影。,2.,平面与平面垂直,（,1,）一般位置平面与投影面垂直面垂直,一般位置平面上必定包含投影面垂直面的垂线，根据直线与投影面垂直面垂直的情况，垂线一定是投影面垂直面所垂直的投影面的平行线，且垂线的投影垂直于投影面垂直面有积聚性的同面投影。,（,2,）两投影面垂直面垂直,两平面必定垂直于同一投影面，且两平面有积,聚性的投影相互垂直。,（,3,）投影面平行面与投影面垂直面垂直,投影面平行面必定平行于投影面垂直面所垂直的投影面,（,4,）两投影面平行面垂直,一个平面必定平行于另一平面所垂直的投影面,