用样本的数字特征估计总体的数字特征.docx

2、2、2用样本得数字特征估计总体得数字特征 (两课时）
零号作业
一、众数、中位数、平均数
１、众数:(1)定义：一组数据中出现次数最多得数称为这组数据得众数、
（2）特征:一组数据中得众数可能不止一个，也可能没有,反映了该组数据得集中趋势
[破疑点]　众数体现了样本数据得最大集中点,但她对其她数据信息得忽视使其无法客观地反映总体特征、
（3)在直方图中为最高矩形下端中点得横坐标
2、中位数：
（1)定义：一组数据按从小到大得顺序排成一列，处于中间位置得数称为这组数据得中位数、
(2)特征:一组数据中得中位数就就是唯一得,反映了该组数据得集中趋势、在频率分布直方图中,中位数左边和右边得直方图得面积相等、
[破疑点］　中位数不受少数几个极端值得影响,这在某些情况下就就是优点，但她对极端值得不敏感有时也会成为缺点、
（３) 　 直方图面积平分线与横轴交点得横坐标、左右两边面积各占一半
3、平均数:(1）定义:一组数据得和与这组数据得个数得商、数据x1,x２,…,ｘn得平均数为n=　
（2)特征:平均数对数据有“取齐”得作用，代表该组数据得平均水平、任何一个数据得改变都会引起平均数得变化,这就就是众数和中位数都不具有得性质、所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多得关于样本数据全体得信息,但平均数受数据中极端值得影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低、
(３) 直方图中每个小矩形得面积与小矩形底边中点得横坐标得乘积之和、
二、标准差、方差
1、标准差
(1)定义:标准差就就是样本数据到平均数得一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
ｓ＝可以用计算器或计算机计算标准差、
(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动得大小，反映了一组数据变化得幅度和离散程度得大小、标准差较大,数据得离散程度较大;标准差较小，数据得离散程度较_ 小、　
2、方差
(1）定义：标准差得平方，
即ｓ２＝[（x１－)2+(x2－)2＋…＋（xn-)2]
(2）特征:与标准差得作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程度得大小、
（３)取值范围:[０,+∞）
3、数据组x1，ｘ２,…,xn得平均数为，方差为ｓ2，标准差为ｓ,则数据组ａx１＋b,ａｘ2＋b，…，axn＋b(ａ,ｂ为常数)得平均数为a+ｂ,方差为a2s2,标准差为
4、规律总结
（1)用样本得数字特征估计总体得数字特征,就就是指用样本得众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应得统计数据、
样本得众数、中位数和平均数常用来表示样本数据得“中心值”，其中众数和中位数容易计算,不受少数几个极端值得影响,但只能表达样本数据中得少量信息、　平均数代表了数据更多得信息,但受样本中每个数据得影响,越极端得数据对平均数得影响也越大、当样本数据质量比较差时使用众数、中位数或平均数描述数据得中心位置,可能与实际情况产生较大得误差,难以反映样本数据得实际状况,因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据得离散程度、
用样本得数字特征估计总体得数字特征,就就是指用样本得众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应得统计数据
（2)平均数对数据有“取齐”得作用,代表一组数据得平均水平、标准差描述一组数据围绕平均数波动得幅度、在实际应用中，我们常综合样本得多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题作出决策、
（3)标准差越大离散程度越大,数据较分散；标准差越小离散程度越小,数据较集中在平均数周围、
列出一组样本数据得频率分布表步骤
说明１、对同一个总体,可以抽取不同得样本,相应得平均数与标准差都会发生改变、如果样本得代表性差,则对总体所作得估计就会产生偏差;如果样本没有代表性,则对总体作出错误估计得可能性就非常大，由此可见抽样方法得重要性、
2、在抽样过程中,抽取得样本就就是具有随机性得，如从一个包含6个个体得总体中抽取一个容量为3得样本就有２0中可能抽样,因此样本得数字特征也有随机性、
用样本得数字特征估计总体得数字特征,就就是一种统计思想，没有惟一答案、
3、在实际应用中,调查统计就就是一个探究性学习过程,需要做一系列工作,我们可以把学到得知识应用到自主研究性课题中去、
一号作业１
1、众数(１)定义:一组数据中出现次数_＿_＿＿_得数称为这组数据得众数、
(２）特征:一组数据中得众数可能＿_____一个,也可能没有,反映了该组数据得_____＿＿_____、在直方图中为最高矩形下端中点得____＿__＿___＿
最多 不止　 　集中趋势　 　横坐标
2、中位数(1)定义:一组数据按从小到大得顺序排成一列,处于_＿__＿_位置得数称为这组数据得中位数、
(２）特征:一组数据中得中位数就就是_＿＿___得,反映了该组数据得_____＿__＿_____、在频率分布直方图中，中位数左边和右边得直方图得面积__＿＿__、
、 中间 唯一 集中趋势　 　相等
3、平均数(1)定义:一组数据得和与这组数据得个数得商、数据x１,x2,…,xｎ得平均数为ｎ＝_＿＿______＿_______、
(２)特征:平均数对数据有“取齐”得作用,代表该组数据得_＿_____＿＿_＿＿＿、任何一个数据得改变都会引起平均数得变化,这就就是众数和中位数都不具有得性质、所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多得关于样本数据全体得＿____＿,但平均数受数据中＿________得影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低、直方图中每个小矩形得面积与小矩形底边中点得横坐标得、　__＿_＿＿
　平均水平 　 信息 　 极端值　　 乘积之和
4、标准差
(1)定义:标准差就就是样本数据到平均数得一种平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来计算ｓ＝________＿＿____＿＿__＿_______、
可以用计算器或计算机计算标准差、
（2)特征:标准差描述一组数据围绕___＿__波动得大小,反映了一组数据变化得幅度和离散程度得大小、标准差较大,数据得离散程度较＿_＿＿__;标准差较小,数据得离散程度较___＿__、　
　平均数 　大 小
5、方差(１)定义:标准差得平方,
即s2=___________＿______________＿______＿＿__＿_＿、
(2)特征:与＿_____＿_____得作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程度得大小、
(3）取值范围:_＿_____＿___、
[(ｘ1-)2+(x２－)2+…+(xn－)2] 标准差 [0,+∞）
数据组ｘ1,ｘ2,…,xn得平均数为，方差为s2,标准差为ｓ，则数据组aｘ1+b,ａx2+b,…,ａｘn+b（ａ，b为常数)得平均数为a+b，方差为a2s2,标准差为as、
典例讲解
中位数、众数、平均数得应用
例１据报道，某公司得33名职工得月工资(以元为单位)如下:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
１
1
２
1
5
３
２0
工资
5 ５00
5 000
３ 5０0
3 000
2 500
2 000
1　50０
(1)求该公司得职工月工资得平均数、中位数、众数；
（２)假设副董事长得工资从5　000元提升到20 ０0０元，董事长得工资从5 500元提升到30 000元，那么新得平均数、中位数、众数又就就是什么？(精确到１元）
（3)您认为哪个统计量更能反映这个公司职工得工资水平？结合此问题谈一谈您得看法、
[解析] (1)平均数就就是
＝1 500＋
≈1 ５00＋59１＝2 0９1（元)、
中位数就就是1　5０0元,众数就就是１　50０元、
(2）平均数就就是′=1 5０0+
≈1 500＋１ 78８＝3 28８(元)、
中位数就就是１ 5０0元，众数就就是1 5０0元、
（3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工得工资水平、因为公司中少数人得工资额与大多数人得工资额差别较大,这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工得工资水平、
练习1:某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民得年龄如下(单位:岁):
甲群 13,13,１4,15，１５，15，１5,1６,17,１７;
乙群　５４,3,4,4,5,5，6,6，6,57、
(1)甲群市民年龄得平均数、中位数和众数各就就是多少岁?其中哪个统计量能较好反映甲群市民得年龄特征？
(2）乙群市民年龄得平均数、中位数和众数各就就是多少岁?其中哪个统计量能较好反映乙群市民得年龄特征?
[答案] (１)甲群市民年龄得平均数为
=1５(岁）,
中位数为15岁,众数为１5岁、
平均数、中位数和众数相等，因此她们都能较好地反映甲群市民得年龄特征、
(2)乙群市民年龄得平均数为
＝15(岁）,
中位数为５岁,众数为６岁、
由于乙群市民大多数就就是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民得年龄特征,而平均数得可靠性较差、
例２：(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶５次，两人成绩得条形统计图如图所示，则（　　)

A、甲得成绩得平均数小于乙得成绩得平均数
B、甲得成绩得中位数等于乙得成绩得中位数
C、甲得成绩得方差小于乙得成绩得方差
D、甲得成绩得极差小于乙得成绩得极差
（2)某校从参加高二年级学业水平测试得学生中抽出８0名学生,其数学成绩(均为整数)得频率分布直方图如图所示、

①求这次测试数学成绩得众数、
②求这次测试数学成绩得中位数、
③求这次测试数学成绩得平均分、
[解析］ (1)甲=(4＋5＋6＋７+8)=6,
乙=（5×3+6＋9）=6,
甲得中位数就就是6，
乙得中位数就就是5、
甲得成绩得方差为(22×2＋12×2)=2,
乙得成绩得方差为(12×3＋３２×１)=２、4、
甲得极差就就是4，乙得极差就就是４、
所以A,B，Ｄ错误，C正确、
(２)①由图知众数为＝75、
②由图知,设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为０、４，第四个矩形面积为0、3，０、3＋０、4>０、５,因此中位数位于第四个矩形内，得0、1=０、０３(x－７0)，所以x≈73、3、
③由图知这次数学成绩得平均分为:
×0、００５×10+×０、0１5×10＋×0、0２×10+×０、03×10+×０、025×１0+×０、０0５×10=72、
[答案] (1）C 　(2)见解析
练习1： 参加市数学调研抽测得某校高三学生成绩分布得茎叶图１和频率分布直方图2均受到不同程度得破坏，但可见部分信息如下,据此解答如下问题：
求参加数学抽测得人数n,抽测成绩得中位数及分数分布在[80,９0),［９0,100]内得人数、

［答案]　分数在［５０,６0)内得频率为２,由频率分布直方图可以看出，分数在[９0,100]内得同样有2人、
由＝10×０、0０8,得n＝２５、
由茎叶图可知抽测成绩得中位数为73、
∴分数在［８0,90)之间得人数为25－(2＋7+１0＋2)=４、
参加数学竞赛人数ｎ=25,中位数为73，分数在[８0,90）,[90,１0０]内得人数分
一号作业2
1、对于数据3,3，2,3,6,3，1０,３，6，３,2、
①这组数据得众数就就是3;
②这组数据得众数与中位数得数值都不相等;
③这组数据得中位数与平均数得数值相等;
④这组数据得平均数与众数得值相等、
其中正确得结论得个数（ ) 　 A、１ Ｂ、２　 　C、3 　　 D、4
2、为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分（十分制）如下图所示,假设得分值得中位数为me,众数为ｍO，平均值为，则(　 )

A、me＝mO=　 Ｂ、ｍe=ｍO< 　　 C、me得中位数大约就就是(　　)
A、31,6岁　 B、３２、6岁 　 　C、33、6岁 Ｄ、3６、6岁
4、阶段考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩得平均分为M,如果把M当成一个同学得分数,与原来得4０个分数一起,算出这４1个分数得平均分为N,那么MN为_＿__＿_＿_、
1、A 　　 2 D　　 　３、C 　　 4、 　1

5、为了比较两种治疗失眠症得药(分别称为A药,B药)得疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用Ｂ药,这4０位患者在服用一段时间后,记录她们日平均增加得睡眠时间（单位:h)、试验得观测结果如下:
服用Ａ药得20位患者日平均增加得睡眠时间:0、6　1、2　2、７　1、５　2、8 1、８　2、２ 2、3 ３、2 3、5 2、5 2、6　１、2 2、7 １、5 ２、９ ３、0 3、1 ２、3 ２、4
服用B药得２0位患者日平均增加得睡眠时间:3、2　1、7　1、9 ０、８ ０、9 2、4 1、２ 2、6　1、３ 1、４ 1、６　０、5 １、8　0、６ 2、1　１、１　2、5　1、2 2、7 0、5
(1)分别计算两组数据得平均数,从计算结果看,哪种药得疗效更好?
(2)根据两组数据绘制茎叶图,从茎叶图看,哪种药得疗效更好?
[解析] (1)设Ａ药观测数据得平均数为,B药观测数据得平均数为、由观测结果可得
=×(0、６+１、2＋1、２＋1、5+1、5+1、8＋2、2+2、3＋2、3+２、4+２、５+２、６＋2、7＋2、７+2、８＋2、9＋３、0+３、1＋3、2＋3、5）=２、3,
=×（0、5＋０、5+0、6＋0、8＋０、9＋１、１＋1、2+１、２+1、3＋1、4＋１、6＋1、7+１、８＋1、9+2、1＋2、4+２、5＋2、6+２、7+３、2）＝１、6、
由以上计算结果可得>，因此可看出A药得疗效更好、
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:　
从以上茎叶图可以看出,Ａ药疗效得试验结果有得叶集中在茎2,3上,而Ｂ药疗效得试验结果有得叶集中在茎0,1上，由此可看出A药得疗效更好、
甲得成绩
环数
7
8
９
10
频数
5
5
5
5
乙得成绩
环数
7
8
９
10
频数
6
4
4
6
丙得成绩
环数
7
8
9
1０
频数
4
6
6
4
标准差、方差得应用
例3、从甲、乙两种玉米得苗中各抽10株,分别测她们得株高如下:(单位:ｃｍ)
甲:25 4１　40 37　22 １4 19　3９ 21　42
乙:27 16　4４ 2７　４4 16 4０　40 1６　40
问:(１)哪种玉米得苗长得高?(2)哪种玉米得苗长得齐?
［解析］ 看哪种玉米得苗长得高,只要比较甲、乙两种玉米得苗得均高即可;要比较哪种玉米得苗长得齐，只要看两种玉米得苗高得方差即可，因为方差就就是体现一组数据波动大小得特征数、(1）甲=（2５+41＋40+3７+２2+14＋19+39＋21+４2)=×300＝3０（cm),
乙＝(27＋1６＋４４＋2７＋４4＋１6＋40+4０+16+4０)＝×31０=3１（ｃｍ）、
所以甲＜乙、
(2）s＝[(２５-3０）2＋(４１－30）2＋(４０-３0)2+(３7-3０)2+(22－３0）2＋(1４-3０)2＋(１９－30)2＋(39-3０）2＋(２1-30)2＋（4２－30)2]=(25＋12１＋10０＋49＋64+25６＋121＋81+81＋144)＝×１04２＝104、2(cｍ2）,
s＝[（2×27２+3×162+3×40２＋2×44２)-10×３1２]=×128８＝128、８(ｃm2）、所以s<ｓ、
［答案] (1)乙种玉米得苗长得高,(2)甲种玉米得苗长得齐、
练习1:甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭
20次,三人得测试成绩如下表：
s1,ｓ2,ｓ３分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩得标准差,则有（　　)
A、s３＞s1>s2ﻩB、s2＞s1>ｓ3ﻩC、ｓ1>s2>s３ﻩD、s２>s３>ｓ1
[答案]　Ｂ
练习2： 一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下表:
分数
5０
60
70
80
9０
100
人数
甲组
２
5
10
１3
１4
6
乙组
4
4
1６
2
12
1２
已经算得两个组得平均分都就就是80分，请根据您所学过得统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由、
[答案]　（1)甲组成绩得众数为90分,乙组成绩得众数为70分,从成绩得众数比较看，甲组成绩好些、
(2)s＝×［2×(50－８0）2+5×(6０-80）2＋10×(70－80)2＋13×(80-80)２+1４×(９0－8０)2+６×(1００-80)２］=×(2×900+5×400+10×100+１3×0＋１4×１00＋6×400）＝172、
ｓ＝×(4×９０0+4×４00+1６×100＋2×0＋１２×100＋1２×４00)=256、
因为ｓ＜ｓ,所以甲组成绩较乙组成绩稳定、
(3)甲、乙两组成绩得中位数、平均数都就就是８０分，其中甲组成绩在80分以上(含8０分)得有33人,乙组成绩在80分以上(含８0分）得有2６人,从这一角度看，甲组成绩总体较好、
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分得人数为20人,乙组成绩大于或等于90分得人数为24人,所以乙组成绩在高分阶段得人数多,同时,乙组得满分得比甲组得满分得多6人,从这一角度看,乙组成绩较好、
一号作业３
１、 若样本数据ｘ1,ｘ2，……,x10得标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1,…,2x10-1得标准差为（　 )
A、8ﻩB、1５
Ｃ、１６ﻩD、３2
2、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份得每月市场收购价格与其前三个月得市场收购价格有关，并使其与前三个月得市场收购价格之差得平方和最小,下表列出得就就是该产品今年前6个月得市场收购价格:
月份
1
2
3
4
5
6
价格(元／担）
６8
78
６7
７１
72
70
则前７个月该产品得市场收购价格得方差为(　　)
A、 　ﻩB、
C、1１ Ｄ、
3、 某班级有5０名学生，其中有30名男生和20名女生、随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中得成绩，五名男生得成绩分别为86,９4,88，９2，90,五名女生得成绩分别为88,９3,93,８8，9３、下列说法一定正确得就就是(　　)
Ａ、这种抽样方法就就是一种分层抽样
B、这种抽样方法就就是一种系统抽样
C、这五名男生成绩得方差大于这五名女生成绩得方差
D、该班男生成绩得平均数小于该班女生成绩得平均数
4、由正整数组成得一组数据x１,ｘ2,x3,x４,其平均数和中位数都就就是２，且标准差等于1,则这组数据为________、(从小到大排列)
1、C 2、B　 3、C 　4、1,1,３，３