大学物理课件9量子力学..ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十九章 量子力学基础,提示,量子力学是描述,微观粒子,运动的基本理论，是近代物理学两大,理论支柱,之一。,主要内容：,量子力学基本概念与原理,在势阱、原子结构等方面应用,量子力学既适用于,微观世界,，也适用于,宏观世界,，经典物理学是其近似,。,相对论量子力学,和,非相对论量子力学,。这里介绍非相对论量子力学基础,。,19.1,波函数及其统计解释,一、波函数,(,wave function,),写成复数形式,1.,平面简谐波的波函数,对振幅,A,、,频率,、,波长,沿,x,轴传播,平面波,式中,波矢,角频率；,一般形式,z,y,x,o,2.,自由粒子波函数,对能量,E,、,动量 实物粒子有,由波粒二象性，比照平面波波函数，得到,自由粒子状态波函数，是振幅。,1,o,波函数是波（）、粒（,p,E,）,二象性统一,可以描述粒子状态，也称为,态函数,。这是量子力学的基本原理（假设）之一。,2,o,在随时间和位置变化,力场空间,里的粒子，其波函数要复杂一些，这时,k,、,随时间空间变化,二、波函数的统计解释,1.,玻恩统计解释,在空间的某一点波函数,模的平方,和该点找到,粒子的,几率成正比,。,德布罗意波,不代表实在的物理量波动，而是,刻画粒子在空间的概率分布的,概率波。,粒子性,:,某处明亮则,某处光子多,即,N,大,波动性,:,某处明亮则,某处光强大,即,I,大,I,大，光子出现概率大；,I,小，光子出现概率小。,光子数,N,I,A,2,2.,数学表示,t,时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为,概率密度,。即,t,时刻在 端点附近,d,内,发现粒子的概率为：,r,d,y,x,z,这是玻恩给出,的统计解释。,不同于经典波的波函数，,它无直接的,。,物理意义，,有意义的是,对单个粒子：,给出粒子的概率密度分布；,对,N,个粒子：,给出粒子数的分布。,三、波函数的要求,波函数的有限性：,根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。,波函数的归一性：,根据波函数统计解释，在空间各点的概率总和必须为,1,。,注意：,若,归一化因子,则,波函数的单值性：,根据统计解释，要求波函数单值，从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。,势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的,波函数的连续性：,对波函数作出的统计解释，,获得,1954,年诺贝尔物理学奖。,玻恩,（,M.Born,，,英籍德国人，,18821970,）,19.2,态叠加原理,一、例子分析,电子衍射,1.,电子双缝干涉实验,只开上缝,P,1,只开下缝,P,2,双缝 齐开,P,12,=P,1,+P,2,（,1,）子弹穿过双缝,（,2,）光波,只开上缝 光强,I,1,只开下缝 光强,I,2,双缝 齐开,双缝 齐开时的光波为,光强为,+,干涉项,干涉项,通过上缝的光波为,通过下缝的光波为,（,3,）电子,电子通过双缝后，其分布,类似光波,情况,而,不是子弹,情况。,电子的状态用,波函数,描述,P,12,c,d,只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝,其状态用,描述,只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝,电子的概率分布为,其状态用,描述,电子的概率分布为,双缝 齐开时,电子可通过上缝也可通过下缝,通过上、下缝各有一定的概率,总的概率幅为,即使只有一个电子，当双缝齐开时,它的状态就要用 来描述,2.,电子一般衍射情况,衍射前：,电子状态用确定的动量和能量的单色平面波（自由粒子波函数 ）描述。,衍射后：,电子状态,表示为,p,取各种可能值的平面波的线性叠加,这是许多,p,平面波相干叠加的结果。,二、态迭加原理,如果一个量子体系的互异可能状态为,也是这个体系的一个可能状态。其中,C,n,2,为该体系处于,n,状态的概率。,c,n,是复数,则它们的线性叠加,若叠加中各状态间的差异无穷小，,积分代替求和：,则应该用,对自由粒子的平面波体系，可以取,则任意波函数,可以看作不同动量平面波叠加。,态叠加原理是粒子波动性体现，是量子力学基本原理之一。,其中,对一维情况，有,薛定谔,Erwin,Schrodinger,奥地利人,1887-1961,创立量子力学,获,1933,年诺贝尔物理学奖,19.3,薛定谔方程,(,Schrodinger,equation,),问题提出,经典粒子,微观粒子,薛定谔方程,一、薛定谔方程建立,1.,自由粒子的薛定谔方程,对自由粒子，波函数是：,微分,得到方程,同样,引入拉普拉斯算符,利用,自由粒子薛定谔方程。,得到,2.,算符规则,作用一个函数而得到另一个函数运算符号,能量算符：,能量,E,能量算符,动量算符：,动量,动量算符,其中哈密顿算符,3.,粒子薛定谔方程,在,势能为 力场中，粒子能量是,相应哈密顿算符为,薛定谔方程,4.,多粒子体系,二、薛定谔方程的特点,对,N,个粒子体系，有,1,0,薛定谔方程是时间的一次微分方程，而牛顿方,程是二次方程2,0,波函数无直接物理意义，虽是复函数，并不影,响薛定谔方程结果的物理意义,。,3,0,薛定谔方程的建立引用了经典结果，是非相对,论结果。且方程不适合 质量,m=0,的结果。,4,0,薛定谔方程的解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,主要原因在于薛定谔方程是,线性,偏微分方程,。,19.5,定态薛定谔方程,定态,：,能量具有确定值的状态（与,t,无关）,左边是,t,的函数，右边是 函数，则满足,可以,分离变量。,与,t,无关，,常数,满足的方程为,定态薛定谔方程,由时间微分方程解得,数学上看：,E,为何值该方程都有解。,满足波函数的条件（,单值,、,有限,连续,、,归一,）,物理上看：,特定的,E,值称为,能量本征值,。,1,0,E,只有取一些特定值该方程的解才能,这些特定的,E,值所对应的波函数称为：,能量本征函数。,这一方程又称为：,能量本征值方程。,这一波函数所描述的量子态称为,定态。,2,0,对自由粒子，,V,=0,，,一维情况下，方程为：,其解为,这正是自由粒子的波函数，,E,正是粒子的能量，,p,正是粒子的动量。,2,0,对应于能量算符第,n,个本征值,E,n,的本征函数,体系的相应,本征波函数,是,则一般薛定谔方程的通解是,式中,c,n,是常系数。,19.6,一维无限深势阱,势阱：,粒子所受力场满足,其,势能曲线象一个无限深的阱，称为,无限深势阱,，,a,是势阱宽度。,a,0,x,势阱外：,一、本征波函数求解,势阱内,:,粒子不能跑到外面，故,方程的通解为,令,由,连续性条件：,粒子能量满足,相应的波函数是,由,归一化条件：,二、讨论,1,.,能量的量子化,能量最小值不是零，且不连续；,势阱尺度是原子大小时，不连续才表现明显。,a,0,E,1,E,n,E,4,E,3,E,2,2.,驻波理解,节点的位置：,n=,1,时,节点位置是,x=,0,a,a,0,n,4,3,2,1,驻波形成：,根据波的叠加思想,视为两个反向传播的平面波合成。,例如：,n=,2,时,节点位置是,x=,0,a/,2,，,a,3.,粒子位置的几率分布,w,max,=2/,a,a,0,|,n,|,2,|,4,|,2,|,3,|,2,|,2,|,2,|,1,|,2,几率密度是,1,0,极值情况,极大：,节点间中心位置,极小：,节点处，,w,min,=0,2,0,宏观粒子位置几率均匀，,n,的微观情况。,19.7,势垒穿透和隧道效应,一、隧道效应和势垒贯穿,（,tunneling effect and barrier,penitration,),粒子所受力场满足,V,V,0,x,o,a,E,P,Q,S,设微观粒子有一定能量,E,(,设,0,E,V,0,),，,这种势场结构称为,势垒,。,粒子能否穿过势垒？,粒子能够穿过大于其动能的势垒的现象，称,为,隧道（贯穿）效应,V,V,0,x,o,a,E,P,Q,S,粒子波函数的薛定谔方程是,P、S区,Q区,令,对,V,0,E,时，,k,1,、,k,2,是正的实数，则,P、S区,Q区,P,区,Q,区,S区,在,P,区，波函数是,入射波,反射波,在,Q,区，波函数是,在,S,区，波函数是,S,区内无反射波，,有限性,C,0,。,故,隧道二极管（略）,扫描隧穿显微镜,若,m,、,a,、,(V,0,-E),越小，则穿透率,D,越大。,实验完全证实了,“量子隧道效应”,现象的存在。,例如：,放射性核的,粒子释放（略,）,定义势垒的透射系数是,P,区,Q,区,S区,二、扫描隧穿显微镜（,STM,）,STM(,Scanning Tunneling Microscope,),是观察固体表面,原子情况的,超高倍显微镜。,原理,:,隧道电流,I,与,样品和针尖间,的距离,S,关系极为敏感。,势能曲线,U,0,U,E,扫描探针,样品,A,B,S,10A,S,A,B,I,s,样品和针尖间的距离,U,加在样品和针尖间的微小电压,A,常数,平均势垒高度,定量关系：,1994,年中国科学院真空物理实验室的研究人员利用表面原子操纵方法，通过,STM,在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为,2,纳米,(3,至,4,个原子,),的线条。从,STM,获得的照片上可以看到这些线条形成,“,100”,字样和硅原子晶格整齐排列的背景。,中国科学院化学研究所的科技人员利用自制的扫描隧道显微镜，在石墨表面上刻蚀出来的图象,由于这一贡献，,宾尼格、罗赫尔,和,鲁斯卡,三人分享了,1986,年度的诺贝尔物理奖。,前两人是,扫描隧穿显微镜,的直接发明者，第三人是,1932,年,电子显微镜,的发明者，以追朔他们的功劳。,图示镶嵌了,48,个,Fe,原子的,Cu,表面的,扫描隧道显微镜照,片。,48,个,Fe,原子,形成“电子围栏”，,19.8,线性谐振子,微观粒子的势能函数是,形成线性谐振子，薛定谔方程是,x,0,V,(x),E,能量量子化、能级等间距。,能量间隔,h,与黑体辐射同。,有零点能。,E,0,E,4,E3,E,1,E,2,E,0,其中：,19.10,氢原子,几个假设,：,(1),原子核视为静止不动，,单体问题,。,(2),势能 与时间无关，,定态问题,。,(3),E,0,，,束缚态,。,一、氢原子的薛定谔方程,电子薛定谔方程是,r,考虑球坐标系，利用坐标关系,z,x,y,电子云,L,L,z,分离变量，有,整理含有,三个常微分方程,式中,l,、,m,l,均为常数，求解时仍应满足标准条件和归一化条件。,1.,主量子数和能量量子化,二、量子化结果,E,C,!,面对按经典图象的理解所给出的“荒谬”结果，,乌、古二人,(,当时不到,25,岁,),曾想撤回自旋的论文，,“,You are both young enough to allow,yourselves some foolishness!”,但是他们的导师,埃伦菲斯特,(,P.,Ehrenfest,),鼓励道：,轨道角动量,自旋角动量,s,自旋量子数，,m,S,自旋磁量子数,根据量子力学，角动量是量子化的：,l,=0,1,2(,n,-1),自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和角动量有关。,相对论量子力学得出：,“,自旋,”,不是一个经典的概念。,电子自旋是电子的一种,“内禀”,运动，,不能视为小球自转。,玻耳磁子,（,Bohr,magneton,）,自旋和物理学的三个方面有关,:,经典的转动概念,角动量量子化,狭义相对论,杨振宁,:“,自旋”,自然杂志,6(1983),247,氢原子的状态必须用四个量子数,才能完全确定。,主量子数 决定电子的能量。,角量子数 决定电子轨道角动量,磁量子数 决定轨道角动量,的空间取向，,自旋磁量子数 决定自旋角动量的空,间取向，。,为正时，称为自旋向上。,为负时，称为自旋向下。,综合,例,1.,若描写状态的波函数为,求：归一化波函数,解：,由归一化条件,利用积分公式：,归一化波函数为：,例,2.,氢原子外电子的基态波函数为,其中：,C,，,为常数，,r,为电子离核的距离。,求：,1,归一化波函数,;,2,在核外厚度为,dr,的球壳内找到电子的几率,;,3,电子几率密度最大的位置。,解1,由归一化条件：,利用积分公式：,2,在核外厚度为,dr,的球壳内找到电子的几率,3,电子几率密度最大的位置,几率密度,:,令,代入电子几率密度表达式,1,a,=,r,=,0,r,a,4,0,2,2,2,/,3,=,e,a,例,3.,态径向几率密度的最大值分别位于距核,4a,和,9a,处,（,a,是玻尔半径,）,证明：,已知,证明氢原子,2p(n=2,，,l=1),和,3d,（,n=3,，,l=2,）,几率密度：,最大,同理：,最大,例,4.,证明,氢原子的电子在,=45,0,和,135,0,的方向上被发现的几率最大。,证明：,由,得：,得：,=45,0,和,135,0,氢原子的电子在,=45,0,和,135,0,的方向上被发现的几率最大。,1,