1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.2,数学归纳法应用举例,例,1,用数学归纳法证明：,证明：（,1,）当,n,=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立；,（,2,）假设当,n,=,k,时，等式成立，即,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立，,由（,1,）和（,2,）可以断定，等式对任何,n,N,+,都成立。,例,2,证明：平面上,n,个圆最多把平面分成,n,2,n,+2,个区域。,证明：（,1,）一个圆将平面分成,2,个区域，而当,n,=1,时，,n,2,n,+2=2,，因此结论当,n,=1,时成立；,（,2,
2、假设当,n,=,k,时，结论成立，即,k,个圆最多把平面分成,k,2,k,+2,个区域。,在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前,k,个圆都交于两点，于是新增,2,k,个交点，,这,2,k,个交点将新圆分成,2,k,段弧，这,2,k,段弧将所经过的区域一分为二，因此新增,2,k,个区域，这样,k,+1,个圆最多把平面分成,(,k,2,k,+2)+2,k,=(,k,+1),2,(,k,+1)+2,个区域，,这就是说，当,n,=,k,+1,时，结论也正确，,由（,1,）和（,2,）可以断定，结论对任何,n,N,+,都正确。,例,3,求证：当,n,5,时，,2,n,n,2,，,证明：（,1,
3、当,n,=5,时，,2,5,=32,，,5,2,=25,，因此,2,5,5,2,，即,n,=5,时，结论正确；,（,2,）假设当,n,=,k,(,k,5),时，这个命题是正确的，那么由,2,k,k,2,得,这就是说，当,n,=,k,+1,时，命题也是正确的,.,由（,1,）和（,2,）可以断定，这个命题对于所有大于或等于,5,的正整数,n,都正确。,例,4,求证：凸,n,边形的对角线的条数为,证明：（,1,）当,n,=4,时，四边形的对角线有,2,条，,f,(4)=2,，所以对于,n,=2,，命题成立,.,（,2,）设凸,k,边形的对角线的条数为,当,n,=,k,+1,时，,k,+1,边形比
4、k,边形多了一个顶点,该顶点与原,k,边形中的,(,k,2),个顶点可连成,(,k,2),条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故,(,k,+1),边形比,k,边形增多了,(,k,1),条对角线,所以,即,n,=,k,+1,时，命题成立。,由（,1,）、（,2,）可知，凸,n,边形的对角线的条数为,例,5,求证当,n,为正奇数时,7,n,+1,能被,8,整除,.,证明：,(1),n,=1,时，,7,1,+1=8,能被,8,整除；,(2),假设,n,=,k,(,k,为正奇数,),时,7,k,+1,能被,8,整除,(,设,7,k,+1=8,M,，,M,N,),则当,n,=,k,+2,时，,7,k,+2,+1=7,2,7,k,+7,2,7,2,+1=7,2,(7,k,+1),48,=498,m,86=8(49,M,6),49,M,6,N,命题成立,由（,1,）、（,2,）可知当,n,为正奇数时,7,n,+1,能被,8,整除,
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