1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2.2,单位圆与三角函数线,前面我们研究了,三角函数在各象限内的符号,，学习了将任意角的三角函数,化成,0,到,360,角,的三角函数的一组公式，,由三角函数的定义我们知道，对于角,的各种三角函数我们都是用,比值,来表示的，或者说是用,数,来表示的，今天我们再来学习,正弦、余弦、正切函数,的另一种,表示方法,几何表示法,我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车,转轮中心为原点,，以水平线为,x,轴，以,转轮半径为单位长,建立直角坐标系。,设,P,点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的
2、位置，记,，则由正弦函数的定义可知，,1.,单位圆的概念,一般地，我们把,半径为,1,的圆,叫做,单位圆,，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与,x,轴的交点分别为,A(1,，,0),，,A(,1,，,0).,而与,y,轴的交点分别为,B(0,，,1),，,B(0,，,1).,2.,有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段；,有向线段的,数值,由其长度,大小,和,方向,来决定。,如在数轴上，,|,OA,|=3,，,|,OB,|=3,设任意角,的顶点在原点，始边与,x,轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点,P,(,x,，,y,），过,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M,；做,PN,垂直,y,
3、轴于点,N,，,则点,M,、,N,分别是点,P,在,x,轴、,y,轴上的正射影,.,3.,三角函数线,根据三角函数的定义有点,P,的坐标为,(,cos,sin,),其中,cos,=,OM,，,sin,=,ON,.,这就是说，,角,的余弦和正弦,分别等于角,的终边与单位圆,交点的横坐标与纵坐标,.,以,A,为原点建立,y,轴与,y,轴同向，,y,轴与,角的终边,(,或其反向延长线,),相交于点,T,(,或,T,),，则,tan,=,AT,(,或,AT,),我们把轴上的向量,分别叫做,的,余弦线、正弦线和正切线,.,例,1.,分别作出 、的正弦线、余弦线、正切线。,例,2.,比较大小：,(1)si
4、n1,和,sin1.5;(2)cos1,和,cos1.5;,(3)tan2,和,tan3.,解：由三角函数线得,sin1cos1.5,tan2tan3,例,3.,已知,sin,x,=0.5,，求角,x,的大小,.(0,x,360),解：由在,y,轴上找到,y,=0.5,的点，做,x,轴的平行线，交单位圆于点,P,和,P,两点，由三角函数线知,x,1,=30,x,2,=150.,例,4.,利用三角函数线证明,|sin,|+|cos,|1.,证明：在,OMP,中，,OP,=1,，,OM,=|,cos,|,MP,=,ON,=|,sin,|,，,因为三角形两边之和大于第三边，所以,|sin,|+|co
5、s,|1,。,例,5.,已知,(0,，,),，试证明,sin,tan,.,证明：,sin,=|ON|=|MP|,=,tan,=|AT,|.,又,所以,即,sin,tan,.,小结：,1.,给定任意一个角,，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2.,三角函数线的位置：,正弦线,为从原点到,的终边与单位圆的交点在,y,轴上的射影的,有向线段,；,余弦线,为从原点到,的终边与单位圆的交点在,x,轴上的射影的,有向线段,；,正切线,在过单位圆与,x,轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3.,特殊情况：,当角的终边在,x,轴上时，点,P,与点,M,重合，点,T,与点,A,重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线,OM=1,或,1,。,当角的终边在,y,轴上时，正弦线,MP=1,或,1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零，,正切线不存在,。,
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