高阶线性微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,12-7 高阶线性微分方程,1/61,设,y,1,=,y,1,(,x,),y,2,=,y,2,(,x,),y,n,=,y,n,(,x,),是一组定义在区间I上函数，假如存在n个不全为零常数,k,1,k,2,k,n,使得,x,I,恒成立,k,1,y,1,+,y,2,+,+,k,n,y,n,=0,则称,y,1,y,2,y,n,是线性相关.不然称它们是线线性无关.,线性无(相)关定义:,2/61,例1.,sin,2,x,cos,2,x,1,在R上线性相关.,因 sin,2,x,+cos,2,x,1=0,3/61,例2.,1,x,x,2,x,n-1,在R上线性无关.,证:,若,k,0,k,1,k,n-1,使,k,0,+,k,1,x+,+,k,n-1,x,n1,=0,在,R,上成立,必有,k,0,=,k,1,=,=,k,n-1,=0.,两个非零函数,y,1,y,2,在区间 I上线性无关,4/61,假如,y,1,y,2,是齐次方程(2)两个解,则,(i),y,=,y,1,+,y,2,也是(2)解.,(ii),y,=,k,y,1,也是(2)解.,证:,(i)因,L,n,(,y,1,)=0,L,n,(,y,2,)=0,所以,L,n,(,y,)=,L,n,(,y,1,)+,L,n,(,y,2,)=0.,即,y,是(2)解同理可证(ii).,定理1(叠加原理),5/61,若,y,1,y,2,是二阶方程(2)两个线性无关解,则方程(2)通解为,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,其中,C,1,C,2,为任意常数.,同理,若,L,n,(,y,)=0,有,n,个线性无关解,y,1,y,2,y,n,则通解为,y,=,C,1,y,1,+,C,2,y,2,+,+,C,n,y,n,定理 2,6/61,例3.,给定方程,y,y,=0,y,1,=,e,x,y,2,=,e,x,是该方程两个解,线性无关.,故其通解为,y,=,C,1,e,x,+,C,2,e,x,C,1,C,2,为任意常数.,7/61,定理 4,设,y,*是,方程(1)解,y,是(2)解,则,也是(1)解.,y,*+,y,证:,L,(,y,*+,y,)=,L,(,y,*)+,L,(,y,),=,L,(,y,*),=,f,(,x,),8/61,定理 4,设,y,*是,方程(1)一个特解,y,是对应齐次方程(2)通解,是方程(1)通解.,y=y,*+,y,则,9/61,定理 5,L,(,y,)=,f,1,(,x,),和,L,(,y,)=,f,2,(,x,),解,L,(,y,)=,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,),解.,10/61,对于二阶方程,y,+,p,1,(,x,),y,+,p,2,(,x,),y,=,f,(,x,)(4),对应齐次方程y,+,p,1,(,x,),y,+,p,2,(,x,),y,=,0(3),怎样求(3)和(4)通解?,11/61,步骤一:先找出(3)一个特解,y,1,:,当,p,1,(,x,)+,x,p,2,(,x,),=,0时,y,1,=,x,当 1+,p,1,(,x,)+,p,2,(,x,),=,0时,y,1,=,e,x,当,2,+,p,1,(,x,)+,p,2,(,x,),=,0时,y,1,=,e,x,当,1,p,1,(,x,)+,p,2,(,x,),=,0时,y,1,=,e,x,12/61,例4.,故方程有解,y,1,=,x,有解,y,1,=,x,13/61,定理 3,步骤二:找出,y,1,后再找y,2,.,假如,y,1,是方程(3)一个非零特解,则,是方程(3)一个与,y,1,线性无关解.,14/61,证:,用常数变易法,代入(3),得,设,y,2,=,C,(,x,),y,1,15/61,令,z,(,x,)=,C,(,x,),则,即,简化为,16/61,取,C,=1.,故,17/61,例4.,解:,y,1,=,x,方程通解为,18/61,例5.,求方程,(,x,2,+1),y,2,xy,(9,x,2,6,x,+9,y,)=0,通解.,解：,这里,由,得,=3.,(,2,9),x,2,2(,3),x+,(,2,9),=0,故,y,1,=,e,3,x,是方程一个特解.,19/61,再由定理3得方程另一线性无关特解为,故原方程通解为,20/61,定理,步骤三:求方程(4)特解,y,*,设方程(3)两个线性无关特解,y,1,y,2,已知时,y*,由下式给出,此时,(4)通解为,y=y,*+,C,1,y,1,+,C,2,y,2,21/61,例6.,求方程,xy,y,=,x,2,通解.,解：,由,方程,xy,y,=0,解.,从而由公式(4.6)并取积分后任意常数为0,得,又由定理3可求得,y,2,=,x,2,也是方程,xy,y,=0,与,y,1,线性无关一个特解.,22/61,故所求通解为,23/61,12-8 常系数齐次线性微分方程,24/61,普通形式,(8),二阶,(9),构想(9)有形式解,y=e,rx,(,为何?,),25/61,(10),r,2,+pr+q,=0,故有,(10)式称为(9)特征方程,分三种情形讨论,(i),=,p,2,4,q,0,(10),有两个不等实根,r,1,r,2,.,(9)通解为,代入得,(,r,2,+pr+q,),e,rx,=0,26/61,(ii),=0,r,1,=,r,2,(=,r,),此时,y,1,=e,rx,.,(9)通解为,27/61,(iii),0,r,1,2,=,i,为一对共轭复根.,得(9)两个复数形式解,Y,1,=,e,(,+,i,),x,Y,2,=,e,(,i,),x,由叠加原理,知,也是(9)解,且线性无关,故9)通解为,28/61,特征根,方程通解,一对共轭复根,r,1,2,=,i,两个不等实根,r,1,r,2,两个相等实根,r,1,=,r,2,=,r,(,0),例7.,求解方程,y,y,6,y,=0,通解.,解：,特征方程是,r,2,r,6=0,其根,r,1,=3,r,2,=,2,是两个相异实根,故所求通解为,y,=,C,1,e,3,x,+,C,2,e,2,x,.,29/61,例8.,求解方程 4,y,+12,y,+9,y,=0.,解：,特征方程是,4,r,2,+12,r,+9=0.,此方程有二重实根,故所求通解为,30/61,例9.,求解方程,y,6,y,+13,y,=0.,解：,特征方程是r,2,6,r,+13=0.,其根,r,1,2,=3,2,i,为一对共轭复根,故所求通解为,31/61,例题.,设,为实数,求方程,y,+,y,=0,通解.,解:,特征方程为,2,+,=0,(i),0时,通解为,32/61,(ii),=0时,上述方法可推广到解,n,阶常系数齐次线性方程(8)情形,此时特征方程为,(11),特征方程(11)根对应微分方程(8)解情况以下表,通解为,33/61,特征根,对应线性无关特解,(1)单实根,r,r,1,2,=,i,(2),k,重实根,r,(3)一对单复根,r,=,i,(4)一对,k,重复根,(,0),(,0),表12-1,34/61,例10.,求解方程y,(4),2,y,+5,y,=0.,解：,特征方程为,r,4,2,r,3,+5,r,2,=0.,对应线性无关特解为,y,1,=1,y,2,=,x,y,3,=,e,x,cos2,x,y,4,=,e,x,sin2,x,故所求通解为,其根为,r,1,=,r,2,=0,r,3,4,=1,2,i,.,35/61,解：,特征方程,对应线性无关特解为,y,1,=,e,2,x,y,2,=,e,x,y,3,=,xe,x,y,4,=,x,2,e,x,故所求通解为,例11.,求解方程,其根为,r,1,=,2,r,2,=,r,3,=,r,4,=,1.,36/61,例.,求解方程,y,(4),+,y,=0,解:,特征方程为,r,4,+1=0,即,37/61,r,0,r,3,共轭,对应,r,1,r,2,共轭,对应,38/61,故原方程通解为,39/61,12-9、常系数非齐次线性微分方程,40/61,类型 I,(13),设方程(13)特解含有形式,则,41/61,代入(13)并消去,e,x,(i),当,不是特征根,即,2,+,p,1,+,p,2,0,Q,(,x,),为,m,次多项式,42/61,(ii),当,是单实根,即,2,+,p,1,+,p,2,=0,但2,+,p,2,0.,Q,(,x,),是,m,+1,次多项式,取常数项为零.,Q,(,x,),=,x,Q,m,(,x,),43/61,(iii),是重根,即,2,+,p,1,+,p,2,=0,2,+,p,2,=0.,Q,(,x,),是,m,+2,次多项式,取常数项和一次项系数为零,Q,(,x,),=,x,2,Q,m,(,x,),总之,k,取0,1 或 2 视,不是特征根,是一重根或是二重根而定,Q,m,(,x,),与,P,m,(,x,),次数相同,为待定多项式.,44/61,例12.,求方程,y,+9,y,=,xe,5,x,特解.,解：,特征方程是,r,2,+9=0,因为,=5不是特征方程根,P,m,(,x,)=,x,可设特解为,y,*=(,ax,+,b,),e,5,x,代入原方程得,34,ax,+(10,a,+34,b,)=,x.,其根为r,1,2,=,3,i,.,45/61,比较等式两边同次幂系数，得,34,a,=1,10,a+,34,b=,0,解得,于是求得一个特解为,46/61,例13.,求方程,y,2,y,+,y,=,e,x,(1+,x,),通解.,解：,特征方程是,r,2,2,r,+1=0,其根为,r,1,=,r,2,=1，,对应齐次线性方程通解为,因,=1是特征方程重根，,P,m,(,x,)=,x,+1,故特解形式为,47/61,代入原方程中得,所以,从而有一特解为,故原方程通解为,48/61,例14.,写出以下方程特解形式.,(1),y,2,y,+,y,=1+,x,+,x,2,(2),y,3,y,+3,y,+,y,=,e,x,(,x,5),解:,(1)特征方程是,r,2,2,r,+1=0,因,=0不是特征根，故有特解形式为,其根为,r,1,=,r,2,=1.,49/61,(2)特征方程为,因,=1是特征方程三重根,故有特解形式为,其根为,r,1,=,r,2,=,r,3,=,1.,50/61,类型 II,(14),当,i,不是特征根时,k,=0;,当,i,是一重特征根时,k,=1;,在不加推导情况下,给出,y,*形式,(15),51/61,例15.,求方程,y,+,y,=,x,cos2,x,通解.,解：,特征方程为,r,2,+1=0,其根为,r,1,2,=,i,所以对应齐次线性方程通解为,y,=,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x,.,因,i,=2,i,不是特征方程根,P,1,(,x,)=,x,Q,n,(,x,)0,故可设特解为,y,*=(,ax,+,b,)cos2,x,+(,cx,+,d,)sin2,x,y,*,=(4,ax,+4,c,4,b,)cos2,x,+(4,cx,4,a,4,d,)sin2,x,52/61,y,*,代入原方程，得,比较两端同类项系数，得,53/61,解之得,于是求得一个特解为,所以方程通解为,54/61,例16.,设连续函数,f,(,x,),满足方程,上式两边关于,x,求导得,解：,将方程写为,55/61,再求导，得,设,y,=,f,(,x,),则问题可化为求解初值问题：,y,+,y,=,sin,x,y|,x,=0,y,x,=0,=1.,因特征方程,r,2,+1=0,根为,r,1,2,=,i,，,故对应应齐次线性方程通解为,y,=,C,1,cos,x,+,C,2,sin,x,.,56/61,又因,i,=,i,是特征方程根，可设特解为,y,*=,x,(,a,cos,x,+,b,sin,x,).,代入原方程后解得,于是,故原方程通解为,57/61,将初始条件代入上式，得,C,1,=0，,从而,即,58/61,例17.,写出方程,y,4,y,+4,y,=8,x,2,+,e,2,x,+sin2,x,一个特解,y,*,形式.,解：,令,f,1,(,x,)=8,x,2,f,2,(,x,)=,e,2,x,f,3,(,x,)=sin2,x,.,r,2,4,r,+4=0,其根为,r,1,=,r,2,=2.,于是方程,y,4,y,+4,y,=,f,1,(,x,),对应齐次方程特征方程是,59/61,特解形式是,方程,y,4,y,+4,y,=,f,2,(,x,),特解形式是,60/61,方程,y,4,y,+4,y,=,f,3,(,x,),特解形式是,由本节定理5知方程特解形式为,61/61,