广东省汕头市潮阳区高中2025年数学高三第一学期期末监测模拟试题.doc

广东省汕头市潮阳区高中 2025 年数学高三第一学期期末监测模拟试题 考生须知：考生须知：1 1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合设集合2560Ax xx，20Bx x，则，则AB()A32xx B22xx C62xx D12xx 2已知已知12,F F是双曲线是双曲线222:1(0)xCyaa的两个焦点的两个焦点，过点，过点1F且垂直于且垂直于x轴的直线与轴的直线与C相交于相交于,A B两点，若两点，若2AB，则，则2ABF的内切圆半径为的内切圆半径为（）A23 B33 C3 23 D2 33 3已知向量已知向量a，b，b=(1，3)，且，且a在在b方向上的投影为方向上的投影为12，则，则a b等于（等于（）A2 B1 C12 D0 4函数函数2()ln(1)xxeef xx在在 3,3的图象大致为的图象大致为()A B C D 5若若,x a b均为任意实数，且均为任意实数，且22231ab，则，则22lnxaxb 的最小值为（的最小值为（）A3 2 B18 C3 2 1 D19 6 2 6上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛骨笛”（图（图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图图 2 为骨笛测量为骨笛测量“春（秋）分春（秋）分”，“夏（冬）至夏（冬）至”的示意图，图的示意图，图 3 是某是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代年代 公元元年公元元年 公元前公元前 2000 年年 公元前公元前 4000 年年 公元前公元前 6000 年年 公元前公元前 8000 年年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A公元前公元前 2000 年到公元元年年到公元元年 B公元前公元前 4000 年到公元前年到公元前 2000 年年 C公元前公元前 6000 年到公元前年到公元前 4000 年年 D早于公元前早于公元前 6000 年年 7已知命题已知命题p：,xR 使使1sin2xx成立成立 则则p为（为（）A,xR 1sin2xx均成立均成立 B,xR 1sin2xx均成立均成立 C,xR 使使1sin2xx成立成立 D,xR 使使1sin2xx=成立成立 8已知复已知复数数z满足满足1zii，(i为虚数单位为虚数单位)，则，则z()A2 B3 C2 D3 9设复数设复数z满足满足31iiz，则，则z（）A1122i B1122i C1122i D1122i 10在在ABC中，角中，角,A B C所对的边分别为所对的边分别为,a b c，已知，已知4 cossin3bBCc，则，则B（）A6或或56 B4 C3 D6或或3 11函数函数2|sin|2()61xxf xx的图象大致为（的图象大致为（）A B C D 12已知已知O为坐标原点，角为坐标原点，角的终边经过点的终边经过点(3,)(0)Pm m 且且10sin10m，则，则sin2()A45 B35 C35-D45 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13若函数若函数()(sin0,02)f xx 满足：满足：f x是偶函数；是偶函数；f x的图象关于点的图象关于点,03对称对称.则则同时满足同时满足的的，的一组值可以分别是的一组值可以分别是_.14已知等边三角形已知等边三角形ABC的边长为的边长为 12AMMB,点点N、T分别为线段分别为线段BC、CA上的动点上的动点,则则AB NTBC TMCA MN取取值的集合为值的集合为_ 15已知正方形已知正方形ABCD边长为边长为3，空间中的动点，空间中的动点P满足满足2PA，2PCPD，则三棱锥，则三棱锥APCD体积的最大值是体积的最大值是_.16在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，若函数中，若函数 f xlnx ax在在1x处的切线与圆处的切线与圆22210Cxxya：存在公共点，存在公共点，则实数则实数a的取值范围为的取值范围为_ 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，点如图，点C是以是以AB为直径的圆为直径的圆O上异于上异于A、B的一点，直角梯形的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆所在平面与圆O所在平面垂所在平面垂直，且直，且/,DEBC DCBC，12,32DEBCACCD.（1）证明：）证明：/EO平面平面ACD；（2）求点）求点E到平面到平面ABD的距离的距离.18（12 分）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线l的的参数方程为的的参数方程为2 343xatyt（其中（其中t为参数），以坐标原点为参数），以坐标原点O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为的极坐标为2,6，直线，直线l经过点经过点A曲线曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为2sin4cos.（1）求直线）求直线l的普通方程与曲线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）过点）过点3,0P作直线作直线l的垂线交曲线的垂线交曲线C于于,D E两点两点(D在在x轴上方轴上方)，求，求11PDPE的值的值.19（12 分）已知函数已知函数222()e1e()xxf xaxaxaR.（1）证明：当）证明：当2ex 时，时，2exx；（2）若函数）若函数()f x有三个零点，求实数有三个零点，求实数a的取值范围的取值范围.20（12 分）设数列设数列 na，其前，其前n项和项和23nSn，又，又 nb单调递增的等比数列，单调递增的等比数列，1 2 3512bb b，11ab 33ab.()求数列求数列 na，nb的通项公式；的通项公式；()若若21nnnnbcbb，求数列，求数列 nc的前的前 n 项和项和nT，并求证：，并求证：213nT.21（12 分）如图，如图，EFGH是矩形，是矩形，ABC的顶点的顶点C在边在边FG上，点上，点A，B分别是分别是EF，GH上的动点（上的动点（EF的长的长度满足需求）度满足需求）.设设BAC，ABC，ACB，且满足，且满足sinsinsin(coscos).（1）求）求；（2）若）若5FC，3CG，求，求53ACBC的最大值的最大值.22（10 分）设设aR，函数，函数2 1()(1)xf xx ea x.（1）当）当1a 时，求时，求()f x在在3(,2)4内的极值；内的极值；（2）设函数）设函数1()()(1)xg xf xa xe，当，当()g x有两个极值点有两个极值点1212,()x x xx时，总有时，总有211()()x g xfx，求实数，求实数的值的值.参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】【解析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合16Axx,2Bx x,由集合的交运算可得,12ABxx.故选:D 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2B【解析】【解析】首先由2AB 求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意1b将xc代入双曲线C的方程,得1ya 则22,2,3aca,由212122 2AFAFBFBFa,得2ABF的周长为 2211|22|42|6 2AFBFABaAFaBFABaAB,设2ABF的内切圆的半径为r,则1136 22 32,223rr,故选：B 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.3B【解析】【解析】先求出b，再利用投影公式a bb求解即可.【详解】解：由已知得1 32b，由a在b方向上的投影为12，得12a bb，则112a bb.故答案为：B.本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.4C【解析】【解析】先根据函数奇偶性排除 B，再根据函数极值排除 A；结合特殊值即可排除 D，即可得解.【详解】函数2()ln(1)xxeef xx，则2()()ln(1)xxeefxf xx，所以()f x为奇函数，排除 B 选项；当x 时，2()lnxef xx，所以排除 A 选项；当1x 时，112.720.37(1)3.4ln(1 1)ln20.69eeeef，排除 D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C.本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.5D【解析】【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线lnyx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线lnyx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线lnyx上的点与以2,3C 为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线lnyx上的点与圆心2,3C 的距离的最小值，在曲线lnyx上取一点,lnM mm，曲线有lnyx在点M 处的切线的斜率为1km，从而有1CMkk，即ln3 112mmm，整理得2ln230mmm，解得1m，所以点1,0满足条件，其到圆心2,3C 的距离为222 13 03 2d ，故其结果为23 21196 2，故选 D.本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.6D【解析】【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图 3 近似画出如下平面几何图形：则16tan1.610，169.4tan0.6610，tantan1.60.66tan()0.4571tantan1 1.60.66 0.4550.4570.461，估计该骨笛的大致年代早于公元前 6000 年 故选：D 本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题 7A【解析】【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p,sin2xxx R 考点：全称命题.8A【解析】【解析】11ziii，故2z，故选 A.9D【解析】【解析】根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】3(1)1111(1)(1)222iiiiziiii .故选：D.本题考查复数的四则运算，属基础题.10D【解析】【解析】根据正弦定理得到4sincossin3sinBBCC，化简得到答案.【详解】由4 cossin3bBCc，得4sincossin3sinBBCC，3sin22B，23B或23，6B或3 故选：D 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.11A【解析】【解析】用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用()0f 排除B,用()42f排除D.故只能选A.【详解】因为22|sin()|sin|22()()66()1()1xxxxfxf xxx ,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|2421()61111f 111 101122 ,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2f4216164421616444446662425由图象知,排除D.故选:A 本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.12C【解析】【解析】根据三角函数的定义，即可求出1m，得出(3,1)P，得出sin和cos，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，210sin109mmm，解得1m，所以(3,1)OP，所以103 10sin,cos1010，所以3sin22sincos5.故选：C.本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。1332，2【解析】【解析】根据 f x是偶函数和 f x的图象关于点,03对称，即可求出满足条件的和.【详解】由 f x是偶函数及0，可取2，则 sincos2fxxx，由 f x的图象关于点,03对称，得32k，kZ，即332k，kZ，可取32.故，的一组值可以分别是32，2.故答案为：32，2.本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.146【解析】【解析】根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出NT,TM,MN,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则0,3A,1,0B,1,0C,23,33M,则1,3AB ,2,0BC uuu r,1,3CA,设,0N t,ATAC,(0,3)(1,3)(,3(1)OTOAATOAAC,即点T的坐标为(,3(1),则,3(1)NTt,23,3(1)33TM,23,33MNt,所以AB NTBC TMCA MN 231()(3)3(1)203(1)33t 23(1)3633t 故答案为:6 本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.153 64【解析】【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设点,P a b c，根据题中条件得出35ab，进而可求出c的最大值，由此能求出三棱锥APCD体积的最大值.【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，3,3,0C，0,3,0D，设点,P a b c，空间中的动点P满足2PA，2PCPD，所以22222222223323abcabcabc，整理得35ab，222223344351022cabbbb，当32b，12a 时，c取最大值62，所以，三棱锥APCD的体积为211163 6333224A PCDP ACDACDVVSc.因此，三棱锥APCD体积的最大值为3 64.故答案为：3 64.本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 0,12,【解析】【解析】利用导数的几何意义可求得函数 f xlnx ax在1x处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.【详解】解：由条件得到 1fxax 又 1,11fa fa 所以函数在1x处的切线为1111yaxaa x -,即11 0a x y 圆C方程整理可得：221xya 即有圆心1,0C且0a 所以圆心到直线的距离22112211aadaaaa,即222aaa.解得2a或01a,故答案为：0,12,本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）6 4141【解析】【解析】（1）取BC的中点M，证明/,/OM AC EMCD,则平面/OME平面ACD，则可证/EO平面ACD.（2）利用E ABDA EBDVV，AC是平面BED的高，容易求.112 3322BDESDECD ，再求ABDS，则点E到平面ABD的距离可求.【详解】解：（1）如图：取BC的中点M，连接OM、ME.在ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，,OMAC AC平面 EMO MO,平面 EMO,故 AC平面 EMO 在直角梯形BCDE中，DECB，且DECM，四边形MCDE是平行四边形，EMCD同理 CD平面 EMO 又 CD AC=C,故平面 EMO平面ACD，又EO平面,EMOEO平面ACD.（2）ABQ是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的一点，ACBC 又平面BCDE 平面ABC，平面BCDE平面ABCBC AC平面BCDE，可得AC是三棱锥ABDE的高线.在直角梯形BCDE中，112 3322BDESDECD .设E到平面ABD的距离为h，则E ABDA EBDVV，即1133ABDEBDShSAC 由已知得5,5,3 2ABBDAD，由余弦定理易知：16cos25ABD，则13 41sin22ABDSAB BDABD 解得6 4141h，即点E到平面ABD的距离为6 4141 故答案为：6 4141.考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.18（1）32yx，24yx；（2）12【解析】【解析】(1)利用代入法消去参数可得到直线l的普通方程，利用公式cossinxy可得到曲线C的直角坐标方程；(2)设直线DE的参数方程为33212xtyt，（t为参数），代入24yx得28 316 30tt，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由题意得点A的直角坐标为3,1，将点A代入2 343xatyt，得13at，则直线l的普通方程为32yx.由2sin4cos得22sin4 cos，即24yx.故曲线C的直角坐标方程为24yx2）设直线DE的参数方程为33212xtyt，（t为参数），代入24yx得28 316 30tt 设D对应参数为1t，E对应参数为2t则128 3tt，1 216 3tt，且120,0tt.1212121 211111112ttPDPEttttt t 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cossin1等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cossinxy，222tanxyyx等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题 19（1）见解析；（2）2e(,)4【解析】【解析】（1）要证明22(e)exxx，只需证明2lnxx即可；（2）2e0 xax有 3 个根，可转化为2exax有 3 个根，即ya与2e()xh xx有 3 个不同交点，利用导数作出()h x的图象即可.【详解】（1）令()2lng xxx，则2()1g xx，当2xe时，()0g x，故()g x在2e,)上单调递增，所以22()(e)e40g xg，即2lnxx，所以2xex.（2）由已知，2222(e)()()e1ee1xxxxf xaxaaxx，依题意，()f x有 3 个零点，即2e0 xax有 3 个根，显然 0 不是其根，所以2exax 有 3 个根，令2e()xh xx，则3e(2)()xxh xx，当2x 时，()0h x，当02x 时，()0h x，当0 x时，()0h x，故()h x在(0,2)单调递减，在(,0)，(2,)上 单调递增，作出()h x的图象，易得2e4a.故实数a的取值范围为2e(,)4.本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.20（1）63nan，12nnb；（2）详见解析.【解析】【解析】（1）当1n 时，13naS，当2n时，2213 3(1)63nnnaSSnnn ，当1n 时，也满足63nan，63nan，等比数列 nb，21 32bbb，31 2 3225128bb bbb，又1133abab，831582qqq 或12q （舍去），2122nnnbb q；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121nnnnnnnnnc，123nnTcccc2231111111()()()2 12121212121nn 111121n，显然数列 nT是递增数列，123nTT，即213nT.）21（1）2（2）2【解析】【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简sinsinsin(coscos)，根据勾股定理逆定理求得.（2）设CAF，由此求得53,AC BC的表达式，利用三角函数最值的求法，求得53ACBC的最大值.【详解】（1）设BCa，ACb，ABc，由sinsinsin(coscos)，根据正弦定理和余弦定理得22222222bcaacbabcbcac.化简整理得222abc.由勾股定理逆定理得2.（2）设CAF，02，由（1）的结论知BCG.在Rt ACF中，sinACFC，由5FC，所以5sinAC.在Rt BCG中，cosBCCG，由3CG，所以3cosBC.所以53sincos2sin4ACBC，由3444，所以当42，即4时，53ACBC取得最大值，且最大值为2.本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.22（1）极大值是(1)1f，无极小值；（2）21ee【解析】【解析】（1）当1a 时，可求得211(2)()xxxxefxe，令21()(2)xh xxxe，利用导数可判断()h x的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；（2）表示出()g x，并求得21()(2)xg xxxa e，由题意，得方程220 xxa有两个不同的实根1x，212()xxx，从而可得440a及122xx，由12xx，得11x则211()()x g xfx可化为111112(1)0 xxxee对任意的1(,1)x 恒成立，按照10 x、1(0,1)x、1(,0)x三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；【详解】（1）当1a 时，211(2)()xxxxefxe.令21()2xh xxxe，则1()22xh xxe，显然()h x在上3(,2)4单调递减，又因为4311()042he，故3(,2)4x时，总有()0h x，所以()h x在3(,2)4上单调递减.由于(1)0h，所以当3(,1)4x时，()0h x；当(1,2)x时，()0h x.当x变化时，()()fxf x、的变化情况如下表：x 3(,1)4 1(1,2)()fx+-()f x 增 极大 减 所以()f x在3(,2)4上的极大值是(1)1f，无极小值.（2）由于21()()xg xxa e，则21()(2)xg xxxa e.由题意，方程220 xxa有两个不等实根12,x x，则4 40a，解得1a，且2112221220202xxaxxaxx，又12xx，所以11x.由211()()x g xfx，21()(2)xfxxx ea，可得1111222111()(2)xxxxa exxea 又221112,2xx axx.将其代入上式得：1111221111112(2)(2)(2)xxxx exxexx.整理得111112(1)0 xxxee，即1111112(1)0,(,1)xxxeex 当10 x 时，不等式111112(1)0 xxxee恒成立，即R.当1(0,1)x 时，11112(1)0 xxee恒成立，即111121xxee，令11112()1xxek xe，易证()k x是R上的减函数.因此，当(0,1)x时，2()(0)1ek xke，故21ee.当1(,0)x时，11112(1)0 xxee恒成立，即111121xxee，因此，当(,0)x 时，2()(0)1ek xke所以21ee.综上所述，21ee.本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高