河北省承德市第一中学2025年数学高三第一学期期末联考模拟试题.doc

河北省承德市第一中学2025年数学高三第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．若直线经过抛物线的焦点，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
4．定义，已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是增函数
C．不是函数的最小值 D．对于，都有
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．函数图像可能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是_______
14．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
15．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________
16．四边形中，，，，，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
18．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴）垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.
19．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
温度/℃
14
16
18
20
22
24
26
繁殖数量/个
25
30
38
50
66
120
218
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：

20
78
4.1
112
3.8
1590
20.5
其中，.
（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.
20．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.
（参考数据：）
21．（12分）设抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.
22．（10分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
2．B
【解析】
计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.
【详解】
可化为，焦点坐标为，故.
故选：.
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
3．B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
4．A
【解析】
根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得，，则,
(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，
故选：A.
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
5．D
【解析
构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数，，
则，，
所以，函数、在区间上均为减函数，
当时，则，；当时，，.
由得.
①若，则，即，不合乎题意；
②若，则，则，
此时，，
由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；
③若，则，则，
此时，
由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.
综上所述，.
故选：D.
本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
6．B
【解析】
根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．
【详解】
由得关于对称，
若关于对称，则函数在上不可能是单调的，
故错误的可能是或者是，
若错误，
则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件．
故错误的是，
故选：．
本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．
7．C
【解析】
由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.
【详解】
余弦函数在区间上单调递减，且，，
由，可得，，由正弦定理可得.

因此，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
8．C
【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.
【详解】
因为正方形为朱方，其面积为9，
五边形的面积为，
所以此点取自朱方的概率为.
故选：C
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
9．A
【解析】
根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若有且仅有3个零点，
则等价为有且仅有3个根，
即与有三个不同的交点，
作出函数和的图象如图，
当a=1时，与有无数多个交点，
当直线经过点时，即，时，与有两个交点，
当直线经过点时，即时，与有三个交点，
要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，
即，
故选：A．

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
10．D
【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.
【详解】
,
,
即函数为偶函数，
故排除选项A,C，
当正数越来越小，趋近于0时，，
所以函数，故排除选项B,
故选：D
本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.
11．D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】

连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
12．B
【解析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论．
【详解】
循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．
故选：B．
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。
【详解】
因为，所以，因为，所以.
当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意；
当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得.
令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是.
故答案为：.
本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
14．8 （写为也得分）
【解析】
由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
15．1
【解析】
令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，
令，可得，
所以.
故答案为：1.
本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．
【解析】
在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.
【详解】
，
如图，在中，由正弦定理可得，

即，故当时，取到最小值为.
故答案为：.
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）； （2）证明见解析，.
【解析】
（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.
（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.
【详解】
（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.
（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.
设，，直线的方程为
联立，整理得
则，.
因为直线与直线的斜率之和为1，所以，
所以，
将，代入上式，整理得.
所以，即，
则直线的方程为.
故直线恒过定点.
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.
【详解】
（1）设的极坐标为，在中，有，
点的轨迹的极坐标方程为；
（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，
由得：，
由得：，

，

，
当，即时，，
的最大值为.
本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.
19．（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245
【解析】
（1）由散点图即可得到答案；
（2）把两边取自然对数，得，由 计算得到，再将代入可得，最终求得，即；
（3）将代入中计算即可.
【详解】
解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：

由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；
（2）把两边取自然对数，得，
即，
由
.
∴，
则关于的回归方程为；
（3）当时，计算可得；
即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.
本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.
20．（1）（2）2
【解析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.
（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）已知函数，则处即为，
又，，
可知函数过点的切线为，即.
（2）注意到，
不等式中，
当时，显然成立；
当时，不等式可化为
令，则，
，

所以存在，
使.
由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.
且在区间上，递减，在区间上，递增，
即的最小值为，令，
则，将的最小值设为，则，
因此原式需满足，即在上恒成立，
又，可知判别式即可，即，且
可以取到的最大整数为2.
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
21．（1）（2）
【解析】
(1)代入计算即可.
(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.
【详解】
解：
（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.
本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.
22．（1）；（2）．
【解析】
(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；
（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.
【详解】
解：（1）直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与的交点为，，则．
（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．
本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.