1.3二项式定理PPT幻灯片课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式定理,1,(,a,+b),2,=(,a,+b)(,a,+b)=,aa,+,a,b+b,a,+b,b=,a,2,+2,a,b+b,2,(,a,+b),3,=(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b),=,aaa,+,aa,b+,a,b,a,+b,aa,+,a,b,b+b,a,b+b,b,a,+b,b,b,=,a,3,+3,a,2,b+3,a,b,2,+b,3,还能写出,(,a,+b),4,的展开式吗？,写出二项式,(,a,+b),2,、,(,a,+b),3,展开式,2,(a+b),2,(,a,+b)(ab)=aa+ab+ba+bb=a,2,+2ab+b,2,展开后其项的形式为：,a,2,，,a,b,，,b,2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑,b,恰有,1,个取,b,的情况有,C,2,1,种,，,则,a,b,前的系数为,C,2,1,恰有,2,个取,b,的情况有,C,2,2,种，则,b,2,前的系数为,C,2,2,每个都不取,b,的情况有,1,种，即,C,2,0,则,a,2,前的系数为,C,2,0,(,a,+b),2,=,a,2,+2,a,b+b,2,C,2,0,a,2,+C,2,1,a,b+C,2,2,b,2,3,即每一项的形式是,a,4-k,b,k,，,从上述过程中可以发现，a+b),n,是,n,个,(a+b),相乘，,根据多项式乘法法则，,每个,(a+b),相乘时有两个选择，选,a,或选,b,，,而且每个,(a+b),中的,a,或,b,选定后，才能得到展开式的一项，,由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。,探索,(a+b),4,的展开式的形式。,4,个括号中取,a,和取,b,的个数和为,4,，,4,每个都不取,b,的情况有,1,种，即,C,4,0,则,a,4,前的系数为,C,4,0,恰有,1,个取,b,的情况有,C,4,1,种，则,a,3,b,前的系数为,C,4,1,恰有,2,个取,b,的情况有,C,4,2,种，则,a,2,b,2,前的系数为,C,4,2,恰有,3,个取,b,的情况有,C,4,3,种，则,a,b,3,前的系数为,C,4,3,恰有,4,个取,b,的情况有,C,4,4,种，则,b,4,前的系数为,C,4,4,则,(,a,+b),4,C,4,0,a,4,C,4,1,a,3,b,C,4,2,a,2,b,2,C,4,3,a,b,3,C,4,4,b,4,(,a,+b),4,(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b),？,k=0,时,k=4,k=3,k=2,k=1,5,(,a,+b),2,=,C,2,0,a,2,+C,2,1,a,b+C,2,2,b,2,(,a,+b),3,=C,3,0,a,3,+C,3,1,a,2,b+C,3,2,a,b,2,+C,3,3,b,3,(,a,+b),4,C,4,0,a,4,C,4,1,a,3,b,C,4,2,a,2,b,2,C,4,3,a,b,3,C,4,4,b,4,猜想,(,a,+b),n,的展开式,(,n,N*),6,然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，,(,n,N*),证明：对,(a+b),n,分类，按,b,可以分,n+1,类，,不取,b,：,C,n,0,a,n,；,取,1,个,b,：,C,n,1,a,n-1,b,1,；,取,2,个,b,：,C,n,1,a,n-2,b,2,；,(k+1),取,k,个,b,：,C,n,k,a,n-k,b,k,；,(n+1),取,n,个,b,：,C,n,n,b,n,；,7,(,a,+b),n,C,n,0,a,n,C,n,1,a,n-1,b,C,n,2,a,n-2,b,2,C,n,k,a,n-k,b,k,C,n,n,b,n,(nN*),T,k+1,=C,n,k,a,n-k,b,k,右边的多项式叫做,(,a,+b),n,的二项展开式,共,n+1,项,C,n,k,a,n-k,b,k,：,二项展开式的通项,记作,T,k+1,，表示,k+1,项,C,n,k,：,二项式系数,若令,a,=1,b=,x,，则得到：,(1+,x,),n,=C,n,0,+C,n,1,x,+C,n,2,x,2,+,+C,n,k,x,k,+,+,C,n,n,x,n,8,(,a,+b),n,C,n,0,a,n,C,n,1,a,n-1,b,C,n,2,a,n-2,b,2,C,n,k,a,n-k,b,k,C,n,n,b,n,(nN*),(4),二项式系数为,C,n,0,，,C,n,1,，,C,n,2,，,C,n,k,C,n,n,是一组与二项式次数,n,有关的组合,数,，,与,a,b,无关,二项展开式的特点：,(1),共有,n+1,项,(2),各项的次数都等于二项式的次数,n,(3),字母,a,按降幂排列，次数由,n,递减到,0,字母,b,按升幂排列，次数由,0,增加到,n,9,例,1,：,(1),写出,(1+2x),5,的展开式中的第,4,项,(2),写出,(1+2x),5,的展开式,(3),求 的展开式,10,例,2,（,1,）求 的展开式的第,4,项的系数；,（,2,）求 的展开式中,x,3,的系数及二项式系数,9-2r=3,r=3,11,例,3,求 的展开式中的倒数第,4,项；,求 的展开式常数项；,解：,展开式中共,13,项，它的倒数第,4,项是第,10,项，,，,；,当,时展开式是常数项，即常数项为,12,的展开式中的第,3,项,求 的展开式的中间两项,练习 求,，,的展开式中的第,3,项,，,13,“,杨辉三角,”,与,二项式系数性质,14,(a+b),1,(a+b),2,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(ab),6,二项式系数表,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,15,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家,杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，这个表称为,杨辉三角，杨辉指出这个方法出于,释锁,算书，且,我国北宋数学家贾宪（约公元,11,世纪）已经用过它。这表明,我国发现这个表不晚于,11,世纪。杨辉三角的发现要比欧洲,早五百年左右,，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,杨辉 三角,详解九章算法,记载的表,杨辉,16,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,11,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,能得出哪些性质？,会证明这些性质吗？,17,a),表中每行两端都是,1,。,b),除,1,外的每一个数都等,于它肩上两个数的和,。,c,r,n,c,r-,1,n,+,c,r,n+,1,=,当,n,不大时，可用该表来求二项式系数。,C,2,3,C,2,2,C,1,2,+,=,=3,C,2,5,C,2,4,C,1,4,+,=,=10,因为：,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,2,1,3,4,6,10,18,第,1,行,第,2,行,第,6,行,-,第,5行,-,第,4,行,第,3,行,-,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,对称,c),与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,19,7,个,孤立的点,O,r,f,(r),6,3,6,14,20,可以看成以,r,为自变量的函数,f(r),，,其定义域是,0,1,n,。,函数角度：,当,n=6,时，二项式系数 （,0r6,）用图象表示：,20,f(r),f,（,r,）,r,n,O,6,15,20,1,20,10,30,35,O,n,7,4,3,关于,r=n/2,对称,r=3,和,r=4,时取得最大值,n,为偶数；,如,n=6,n,为奇数；,如,n=7,21,增减性与最大值,相对于,的增减情况由,决定,当,时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；,22,(a+b),1,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(a+b),2,(a+b),6,(a+b),n,C,n,0,C,n,1,C,n,2,C,n,r,C,n,n,1,6,15,20,15,6,1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,d),当,n,为偶数如,2,、,4,、,6,时，中间一项最大,当,n,为奇数如,1,、,3,、,5,时，中间两项最大,23,1+,x,),n,=C,n,0,+C,n,1,x,+C,n,2,x,2,+,+C,n,k,x,k,+,+,C,n,n,x,n,令,x=1,则,2,n,=C,n,0,+C,n,1,+C,n,2,+,+C,n,k,+,+,C,n,n,即,(a+b),n,展开式的二项式系数和为,2,n,赋值法,24,二项式系数的性质,总结,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,r=n/2,将函数,f(r),的图象分成对称的两部分。,二项式系数先增大后减小，且在中间取得最大值；,即,(a+b),n,展开式的二项式系数和为,2,n,当,n,为偶数如,2,、,4,、,6,时，中间一项最大,当,n,为奇数如,1,、,3,、,5,时，中间两项最大,C,n,0,+C,n,1,+C,n,2,+,+C,n,k,+,+,C,n,n,=2,n,25,n-1,例,1,证明：在,(a,b),n,展开式中,奇数项的二项式系,数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,(1+,x,),n,=C,n,0,+C,n,1,x,+C,n,2,x,2,+,+C,n,k,x,k,+,+,C,n,n,x,n,令,x=,-,1,(1-1),n,=C,n,0,-C,n,1,+C,n,2,-C,n,3,+,+(-1),k,C,n,k,+,+(-1),n,C,n,n,0=(C,n,0,+C,n,2,+)(C,n,1,-C,n,3,+,),26,例,2,已知 的展开式中，第,4,项的二项式系数是倒数第,2,项的二项式系数的,7,倍，求展开式中,x,的一次项,.,n=8,设展开式中含,x,的项是第,r+1,项，则,故展开式中含,x,的项为第,3,项，即,27,例,3,已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，,证明展开式中没有常数项；,求展开式中所有的有理项,舍去）,若 是常数项，则,即,16-3r=0,，,，这不可能，,展开式中没有常数项；,若 是有理项，当且仅当 为整数,r=0,4,8,，,分别是：,28,例,4,已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为,14:3,，求展开式的常数项,解：依题意,3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!,n=10,设第,r+1,项为常数项，又,令,此所求常数项为,180,29,例,8,求,(1+x)+(1+x),2,+(1+x),10,展开式中,x,3,的系数,解：,=,原式中,x3,实为这分子中的,x,4,，则所求系数为,，,例,9,求 的近似值，使误差小于,0.001,解：,展开式中第三项为,小于,0.001,，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，,一般地当,a,较小时,30,例题选,题型一 二项展开式中系数的最大与最小,例,1,在二项式 的展开式中，求系数最小的项的系数。,解：因为在 的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项 、第七项,所以系数最小的项的系数为,31,例,2,已知 的展开式的系数和比,(3x-1),n,的展开式的系数和大,992,求 的展开式中,:,二项式系数最大的项,;,系数的绝对值最大的项,.,.,解：由题意,解得,n=5.,的展开式中第,6,项的二项式系数最大,即,设第,r+1,项的系数的绝对值最大,则,r=3,故系数的绝对值最大的是第,4,项。,32,例,3,求 的展开式中系数最大的是第几项？,解：设展开式中第,r+1,项的系数最大，则,r=7,故第,18,项的系数最大,33,题型二 展开式的系数和,例,1,已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大,992,求展开式中二项式系数最大的项；,求展开式中系数最大的项,解：令,x=1,，则展开式中各项系数和为,又展开式中二项式系数和为,2,n,n=5,展开式共,6,项,二项式系数最大的项为第三,四两项,设展开式中第,r+1,项系数最大，则,即展开式中第,5,项系数最大，,34,例,2,设：,求：,的值。,解：在,令,x=1,，得,令,x=-1,，得,两式相乘得,35,例,3,已知,求,:,当,x=1,时，,展开式右边为,当,x=0,时，,令,x=-1,，,均为负，,均为正，,36,例,4,在 的展开式中,求,:,二项式系数的和；,各项系数的和；,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；,奇数项系数和与偶数项系数和；,x,的奇次项系数和与,x,的偶次项系数和,.,令,x=y=1,各项系数和为,37,例,5,设,当,时，求,n,的值,解：令,x=1,得：,令,x-a=1,即,x=a+1,可得各项系数的和,的值；令,x-a=-1,即,x=a-1,，可得奇数项系数和与偶数项和的关系。,38,练习 已知,(1-2x),7,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,7,x,7,则,(1)a,1,+a,2,+a,3,+a,7,=_,(2)a,1,+a,3,+a,5,+a,7,=_,(3)a,0,+a,2,+a,4,+a,6,=_,赋值法,(4),若已知,(1+2x),200,=a,0,+a,1,(x-1)+a,2,(x-1),2,+a,200,(x-1),200,求,a,1,+a,3,+a,5,+a,7,+a,199,的值。,39,二项式定理的其它问题,例,1,在,(x,2,+3x+2),5,的展开式中，求,x,的系数,.,在,(x+1),5,展开式中，常数项为,1,，含,x,的项为,在,(2+x),5,展开式中，常数项为,2,5,=32,，,含,x,的项为,展开式中含,x,的项为,此展开式中,x,的系数为,240,40,例,2,求证：,证（法一）倒序相加：设,，,（法二）：左边各组合数的通项为,41,例,4,求 的展开式中,x,的系数,（法一）,显然,上式中只有第四项中含,x,的项,系数是,（法二）,展开式中含,x,的项的系数是,42,例,5,已知 的展开式中含,x,项的系数为,36,，求展开式中含,x,2,项的系数最小值,.,解：,展开式中含,x,的项为,展开式中含,x,2,的项的系数为,t=,时，,t,取最小值，,但,时，,t,即,x,2,项的系数最小，最小值为,272,，此时,43,练习 化简,:,(,x,-1),4,+4(,x,-1),3,+6(,x,-1),2,+4(,x,-1)+1.,44,