大学物理学：习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十二章习题课,*,*,5.1,微分方程的基本概念,一般步骤,:,1.,分析问题,设所求未知函数,建立微分方程,确定初始条件,.,2.,求出微分方程的通解,3,根据初始条件确定通解中的任意常数,求出相应的特解,指出解的几何,物理,或经济等意义,.,微分方程的应用举例,2,例,有高为,1,米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为,1,平方厘米,(,如图,).,开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度,h,(,水面与孔口中心间的距离,),随时间,t,的变化规律,.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流速为,流量系数,液面距孔高度,3,设在微小的时间间隔,水面的高度由,h,降至,比较,(1),和,(2),得,:,两边同除 得,:,4,设在微小的时间间隔 通过小孔流出的水量为,另一方面水面的高度由,h,降至,比较,(1),和,(2),得,:,5,即为未知函数的微分方程,.,分离变量,所求规律为,解,例,某车间体积为,12000,立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中 的含量,用一台风量为每秒,2000,立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动,6,分后,车间内 的浓度是多少,?,设鼓风机开动后 时刻 的浓度为,在 内,的通入量,的排出量,的改变量为,的通入量,的排出量,的改变量,6,分钟后,车间内 的百分比降低到,基本概念,一阶方程,类 型,1.,可分离变量,2.,齐次方程,3.,线性方程,4.,伯努利方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,定理,1;,定理,2,定理,3;,定理,4,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,作变换,1,、基本概念,微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解,如果,微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件,用来确定任意常数的条件,.,初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1),可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2,、一阶微分方程的解法,(2),齐次方程,解法,作变量代换,(3),一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的,.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4),伯努利,(Bernoulli),方程,方程为线性微分方程,.,方程为非线性微分方程,.,解法,需经过变量代换化为线性微分方程,常见的凑微分表达式,3,、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解,型,解法,代入原方程,得,特点,型,解法,代入原方程,得,、线性微分方程解的结构,（,1,）二阶齐次方程解的结构,:,（,2,）二阶非齐次线性方程的解的结构,:,、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,特征方程为,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,二、典型例题,例,1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,27,练习,求下列方程的类型,故为,分离变量,方程,.,一阶线性,微分方程,.,化为,(,贝努里方程,),28,方法,1,这是一个,齐次,方程,.,方法,2,化为微分形式,例,解,(1),(2),31,解,方法,1,这是一个,齐次,方程,.,方法,2,凑微分得,32,例,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,(1),求,F,(x,),所满足的一阶微分方程,;,(03,考研,),(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,(1),所以,F,(,x,),满足的,一阶线性,非齐次微分方程,33,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,34,求,答案,分析,例,例,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,例,5,解,代入方程，得,故方程的通解为,例,6,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,由,解得,故原方程的通解为,由,即,例,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,测 验 题,测验题答案,