第九章 一阶电路和二阶电路课件.pdf

第九章一阶电路和二阶电路重占八、1.动态电路方程的建立及初始条件的确定;2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；求解全响应的三要素法；3.稳态分量、暂态分量求解；4.一阶电路的阶跃响应和冲激响应；5.二阶电路的响应。9.1 一阶电路和高阶电路1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特占.当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历-个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。例 电阻电路电容电路S未动作前，电路处于稳定状态S接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态”2)S未动作前，电路处于稳定状态电感电路S未动作前，电路处于稳定状态,（片9.二i=0,w=0S接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路U,L：刖一个稳定状态uL=0,i=Us/R仆依&新的稳定状态过渡状态（r 一 00）S未动作前，电路处于稳定状态a 士LuL=0,i=Us/Rs断开瞬间i=0,w=oc注意工程实际中的 过电压过电流现象换路电路结构、状态发生变化J支路接入或断开 I电路参数变化过渡过程产生的原因.k电路内部含有储能元件L、C,电路在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。Awp=-=0 0=ooAt2.动态电路的方程应用KVL和电容的VCR得：Ri+uc=us(t)=c也dtduRC-+u=式力 dt右以电流为变量:Ki+Ji/=sQ)di i duQ(t)R +=或一 dt C dt应用KVL和电感的VCR得：diRi+uL=%)l=L 一_ di.Ri+L=“，)dt S若以电感电压为变量：f uLdt+uL=us(Z)L J源阻路 有电电若以电流为变量：Ri+L +idt=dt CJdi di 1R +L-+i=-dt dt C dt结论：(1)描述动态电路的电路方程为微分方程；(2)动态电路方程的阶数等于电路中独立动态元件的个数;_人 一阶电路中只有一个独立动态元件，描述一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。dx%+aQx=e)t0 dt一人 上二阶电路中有二个独立动态元件,描述电 二阶电路路的方程是二阶线性微分方程。d2x dxa2 +%+aQx=e（，）t0 dt dt高阶电路 电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。n n1 a x a x axa-+a 1-H-v a.+anx=e(t)t 0n j.n n-1 j.n-1 1.0 v 7at at at动态电路的分析方法(1)根据KV1、KCL和VCR建立微分方程(2)求解微分方程时域分析法复频域分析法,经典法状态变量法卷积积分、数值法拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。稳态分析和动态分析的区别稳态动态恒定或周期性激励换路发生很长时间后状态 微分方程的特解任意激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解dx%+aQx=Us dtdx，n oo =0dtanx=Z7VV 9.2电路动态过程的初始条件1.电路的换路定则/(0)=/(0)t)/(0)/(0)（1），=0+与，=0一的概念 0 00+认为换路在片0时刻进行0-换路前一瞬间0+换路后一瞬间0)=lim/(Ot 0/0，0初始条件为，=0+时，i及其各阶导数的值例图示为电容放电电路，电容原先带有电压U。，求开关闭合后电容电压随时间的变化。、勺)解 Ri+u=0 0)+duRC-+u=0 dtR 匕特征根方程：RCp+l=Q p=-l/RC得通解：Uc(t)=kept=ke代入初始条件得：k=U，=J Rc说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确 定解答的必需条件。(2)电容的初始条件C VOOt=0+时刻1 广。1，=cLz 0 c 0&=2 J正=/J正 roRR-1 Uq-C-=-CUne RC(-y=e RC dt RC R从以上各式可以得出：(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;令t=RC,称T为一阶电路的时间常数卜=rc=欧法=欧5=欧=秒伏 L伏t=RCP=-RCT时间常数r的大小反映了电路过渡过程时间的长短工大一过渡过程时间长2小一过渡过程时间短物理含义 电压初值一定:C大（A一定）W=Cu2/2 储能大，放电时间长R大（C一定）i=u/R 放电电流小，0 了 27 3c 5 工u=Une 4 U。/UQe-3 U。/Uo 0.368 I 0.135 4 0.05 t70 0.007 C/o：电容电压衰减到原来电压 所需的时间。工程上认为，经过4r-5r,过渡过程结束。(3)能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设40+尸4电容放出能量：电阻吸收(消耗)能量：p8 2 严 U a ,%=Rdt=0（：eRc）2RdtU2“8 u 0 r R J。二 u2Rcdt=-（-RRC2Itc)l；1 2=严例1 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输 入响应问题，有：tu-Uhe RC 0c 0等效电路代入 1=24/c=AC=5x4=20stu=24e 20/0c tii=c/4=6e 20%1 2分流得：i?=i=2e 20A i3=4et0例2 一组电容量为40 rF的电容器从高压电网上退出运行,在退出前瞬间电容器的电压为3.5 kV,退出后电容器经本 身的泄漏电阻放电，等效电路如图9-5所示。已知其泄漏求:(1)电路的时间常数；(2)经过多长时间电容电压下降到1000V;(3)经过多长时间电容放电基本结束。解：（1）当电容器从高压电网上退出运行，即开关K断开之 后，就是一个A、C放电电路。由于c（0.）=3500 V,所以“&0+）=dOJ=3500Vo电容放电时电压的变化规律为：c)=3500 e RCV(t 0)电路的时间常数:t=RC=100 xlO6 x40 x10-6=4000(s)（2）设电容电压下降到1000 V的时间为公*1则:1000=3500 e 4000解得：=5000秒=1小时23分20秒。即电容退出运行后经过1小时23分20秒，其电压降到10OOVo(3)整个放电过程经历的时间为：t=5t=5X4000=20000秒=5 小时 33 分 20 秒即电容退出运行后经过5小时33分20秒，其放电过程 基本结束。注意:当储能元件电容从电路中退出运行后，电容器的两个 极板仍然带有电荷，其端电压不为零，这一电压可能会危 害设备安全或人身安全。电感也具有同样的特性，在工作 中应特别注意。2.RL电路的零输入响应+5d/L+衣=0 Z 0 dr特征方程Lp+R=OR特征根 P=-Z(Z)=Aept代入初始值/(0+)=70 A=i(0+)=/0R得 i(t)=Iept=4 J t 0iL(t)=I.e L/R t0Ul3=lN=ri。at从以上式子可以得出:(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;如oj(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与有关;令t=L1R,称为一阶RL电路时间常数韦安欧伏秒 二安.欧=秒=L/R-1-1P=-=一LIR t时间常数r的大小反映了电路过渡过程时间的长短2大一过渡过程时间长 7小-过渡过程时间短物理含义 电流初值2(0)一定：L大 W=Li2/2起始能量大K小P=Ri?放电过程消耗能量小放电慢T大电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设必0+)=册(3)能量关系-电感放出能量：-电阻吸收(消耗)能量：2%=Jo i Rdt=Uo。LR)2Rdt2t T I R-二 1 0 2=(-丁。rcK=2 例1 Q0时，断开开关s,解T=求叫。电压表量程：50V乙(0+)=0-)=1OAiT=10-t0L 2 _3-=-0.4 x 10 sR+Rv 1+5000uv=-RviL=50000/25 t 0(0+)=50000V 造成现象：电压表坏了例2 片o时，开关s由1一2,求电感电压和电流及开关两端电压12。解t0iL=2etAi)=)(0)24 6=-x-=244+2+36 3+6&=3+(2+4)6=6。L 6T=1SR 6diT,ur=-12e V t 0dt=24+4*红=24+4，2小结1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应，都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。AC电路 c（+）=c（）网电路乙（0+尸乙（0一）2.衰减快慢取决于时间常数7KC电路 t=RC.KE电路 t=L/RK为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。，=y(O)e 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。零状态响应9.4 一阶电路的零状态响应动态元件初始能量为零，由，0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。1.AC电路的零状态响应列方程:兴=0）.R I、=_工+R排RC-+=U sdt c,非齐次线性常微分方程c（0一）=0齐次方程特解解答形式为：一一c c c齐方通译 非次程南u特解（强制分量，稳态分量）&c四巳+。的特解 uc=USdt与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解通解（自由分量，暂态分量）tKC咀+o 的通解一 uc=Ae RCAt变化规律由电路参数和结构决定I 全解|“(，)=%+“=0)从以上式子可以得出i=c仁=%c力dt R（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：稳态分量（强制分量）+暂态分量（自由分量）(2)响应变化的快慢，由时间常数t=RC决定；t大，充电 慢，t小充电就快。(3)响应与外加激励成线性关系；二+T C(4)能量关系 4.三a!电容储存：-cv-2 5电源提供能量：J；UsiAt=Usq=CU2s电阻消耗 Ci2Rdt=C(eRC)2Rdt=2CUsJo Jo k 2电源提供的能量一半消耗在电阻上,一半转换成电场能量储存在电容中。例 片0时，开关S闭合，已知c（01）=必求（1）电容电压和电流，（2）c=80V时的充电时间t。解（1）这是一个RC电路零状 态响应问题，有：/=KC=500 xl0 =5米10loovlft10*500。+uc=Us(l-e RC)=100(1-e-200t)V t 0)蛆=4正=0 2/2。dt R（2）设经过。秒,uc=80V80=100(1-e-200tl)f L=8.045ms2.RL电路的零状态响应已知(0-)=0,电路方程为:+RirL=USZ7V+AeRR t L+U、i(0+)=0.A=_3R例1 片0时，开关S打开，求t0后匕L的变化规律。解这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：ioaR 80。+M-2 0 0 Q=80+200 300=200。%t=L/R=2/200=0.01seq小 8)=ION=10 x Re=2000e loor3 0 0 Qq eA例2 片0时，开关S断开，求t0后忆、矶的及电流源的端电压。50 10Q破这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：R=10+10=20。eqU=2x10=20Vr=L/R=2/20=0.1s eqiL=Us/Rq=1A乙=(1/.)/=u e-w=20/1”u=5I.+10。+/=20+lOe 1OZF aj L L9.5 一阶电路的全响应全响应 一电路的初始状态不为零，同时又有外加 激励源作用时电路中产生的响应。1.全响应以RC电路为例，电路微分方程:RC-+ur-Udt c s解答为 cUc+Uq稳态解Uq=Us,t，暂态解 uffr=Ae rz=RCc(0一)=Uo由起始值定Ac(0一尸c(o+)=%+q=UoiUstur=U,+AeT=，+(Un UJe r 0L J J U J(1)着眼于电路的两种工作状态全响应=稳态分量+暂态分量物理概念清晰着眼于因果关系便于叠加计算=U(l-e D+U-/(Z0)全响应=零状态响应 零输入响应c(0一)=Uo Wc(0)=0 Wc(O)=Z7o8QS(Z=0)十24V例1 片0时，开关S断开，求t0后的匕L解这是一个RL电路全响应问 题，有：1（0）=（0+）=0/或=6A L、/L、尸 o 1 r=L/R=0.6/12=1/20s零输入响应：ifL（，）=6e-20z4零状态响应：乙”（，）=（1-e 20）A12全响应：i J，）=6/20,+2（1-/2。/）=2+4e20tA0.6H或求出稳态分量：Zz（oo）=24/12=2A全响应：=2+Ae2 A代入初值有：6=2+A-A A=4例2 片。时，开关S闭合，求t0后的，c、c及电流源两端”的电压。（c（。）=1叭。=1户）、解这是一个RC电路全响应问题，有：稳态分量：c（8）=10+l=l/r=RC=（ll）xl=2sA=-10全响应：c（，）=ll+Ne/小 o-G Z=+?*【+【*=（，）”3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程a+bf=c dt其解答一般形式为：/(0=/(oo)+Ae，令 =0+0+)=/(8)直流激励时:/=/(8)+(0+)/3)/(8)5卜0+=/()+A-/()三要素1/(0)稳态解一用t00的稳态电路求解 初始值一用0+等效电路求解 时间常数分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题电路时间常数的确定响应中含有T的这一项是暂态分量，暂 态分量是解齐次方程得到的，齐次方程中电 源激励为零。在求时间常数时，在电路中令其全部独 立电源为零，即将电压源短路，将电流源开 路，从储能元件处看进去，将电路中的电阻 支路进行串联、并联简化，简化为一个电阻 和电容C（或电感L）的串联回路。对于RC电路t=RC;对于RL电路，t=L/Ro例1 已知：Z=0时闭合开关，求换路后的X。o解 c(0+)=c(F)=2V.0c(8)=(2 1)x 1=0.667V2t R C=一x3=2seq 3 _uc(0=uc()+uc(0+)-uc(oo)e Tuc=0.667+(2-0.667)e0.5t=0.667+L33e0.5t0图所示电路为继电器保护电路。当流过继电器的电流 达到规定的数值时，继电器动作，使输电线脱离电源而达 到保护作用。已知电源电压Us=220 V,输电线电阻1=0.5 Q,负载电阻R2=20 Q,继电器线圈电阻R=4.5 Q,电感L=0.2 Ho继电器动作整定电流为20 A。求当负载发 生短路故障后经过多长时间继电器动作。解：用三要素法求解该例题。(1)计算电流的初始值负载发生短路故障之前电路处于稳定状态，所以z Us 220/(0 _)=-=-=8.8 ARi+R+R2 0.5+4.5+2G当负载发生短路故障之后电流的初值为：/(0+)-7(0-)=8.8 A(2)计算电流的稳态值当负载发生短路故障之后电流的稳态值为:/、Us 2201()=-=-=44 ARi+R 0.5+4.5(5)计算继电器动作时间设故障后时继电器动作，即，(t 0)=20 Ao代入上式44-35.2e_4l=20 35.2e-04|=24解得：t0=0.04 In 1.47=0.0153 s当负载发生短路故障后0.0153秒继电器动作,使故障点与电源断开。例3 片0时，开关闭合，求t0后的左、，1、，2解三要素为：乙(0)=乙。)=10/5=2A乙(8)=10/5+20/5=64r=L/R=0.5/(5/5)=l/5s应用三要素公式 iL(0=iL(oo)+iL(0+)-iL(oo)e 丁=6+(2 6)e,=6 4/5 tQJt)=1 组=0.5 x(4e 5)x(-5)=IQe 5tV dt，Q)=(10 _ )/5=2 2eTstA力2=(20 4)/5=4 2eStA另解：三要素为乙(0):乙(0+)=10/5=2A乙(8)=10/5+20/5=64r=L/R=0.5/5/5)=l/5s+(10-20)L(0+)=-+1=0N100+等效电路4(8)=10/5=2N+(20-10).,、.n/u 0)=2+(0 l)e5t=2-2e5tAI?)=4+(2 4)e 5t=4-2e 5A例4 已知：Z=0时开关由1-2,求换路后的。解三要素为:2Atwc(0)=wc(0)=-8Fc3)=%+2入=6it=12V/=%C=10 x0.1=Isu(t=uc(oo)+uc(0+)-w(oo)e|4QTc Q)=12+-8-12e=12-20e，u=10、-4=G=iQ例5 已知：u0时开关闭合，求换路后的电流处）。解三要素为：c(0)=c(0):10旷 q=4C=2xO25=O5s uc(oo)=0乙(0+)=乙(0)=0 乙(8)=10/5=2Ar2=L/Req=l/5=Q.2s lUc(力=uc(8)+uc(0+)-uc(oc)e r=10e2tV 力 z Q)=j J8)+乙(0+)_ 4(8)e：=2(1-e3)A i(t)=iL(t)+=2(1-e5t)+5e2tA已知：电感无初始储能t=O时合S=0.2s时合S2 1H 求两次换路后的电感电流，()10V(日例6S2(Z=0.2s)解 0t 0.2sz(0.2)=2-2产。2=i 264i(0.2+)=L26/j=L/R=l/2=0.5i(oo)=10/2=5/i(t)=5-3.74一2(。2)ai=2-2e 5t(0t 0.2s)注意求解一阶电路全响应的三要素法，不仅仅用于 求全响应，也可以用于求零输入响应和零状态响应。如果待求响应的稳态值f（8）=0,则/=/（O+）e-；（零输入响应）如果待求响应的初始值r（o+）=o，则为/（O=D（零状态响应）9.6阶跃函数和一阶电路的阶跃响应一、阶跃函数1.单位阶跃函数对于图示零状态电路中，开关 K的动作引起电压（方）的变化,可以用单位阶跃函数，（才）来K(r 三 0)R+IV u(t)表为 O单位阶跃函数的定义式为:,、0 j-)=1(0+)V 1其波形图如图所示。函数在Q0处出现一个台阶形跃变，且台阶的高度为1个 单位，故称它为单位阶跃函数。用单位阶跃函数来替代开关K的动作，图所示零状态电路 就可以用下图电路来描述。Ry+4r)v C二的Cuc_T+图（a）所示零状态电路，开关K闭合之前即t40_时，电压 以。=0V;开关K闭合之后即10+时,电压3=1VO由于IV 的电压源是突然加上去的，可以看作是一个单位阶跃函数激励，因此可以用图（c）来描述。由于单位阶跃函数能表达电路中开关K的动作，它可以 作为这一物理过程的数学模型，所以也称它为开关函数。2.阶跃函数阶跃函数用k5&）来表示,其中k为常数。阶跃函数的定义式为：0 0_)ks=U(0+)中)k0阶跃函数的波形与单位阶跃函数的图是一样的，只不 过它的高度不是1而是匕在电路中,如果电压源S在Q0时接入，其表达式为:4=不如果电流源“在才=0时接入，其表达式为:乙=ZXO如果电源激励都是直流时，或4都是常数，（。或 4&（。就是阶跃函数。3.延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数用&（上编来表示。延迟单位阶跃函数的定义式为：8(，o)=o Q 4)1 j)40)t。其波形图如图所示。函数在才处出现一个台阶形跃变且台阶的高度为1个单位，它比单位阶跃函数的出现时间延迟了小 故称它为 延迟单位阶跃函数。4.单位阶跃函数和延迟单位阶跃函数的作用/(，)=sincoZ (6/(，)=sin(o,e(t-10)(1)延迟单位阶跃函数乘以某已知函数的作用，是在任意时刻“起始”某一个函数。用某已知函数与该函数的延迟函数相加，也可以改变已知 函数的波形。/(，)=sincoZ (t)T T用单位阶跃函数与延迟单位阶跃函数相减，可以组成 某些特殊的波形。利用类似的方法还可以组成许多的特殊波形。、阶电路的阶跃响应三要素法：（+）=c（要=V,/（8）=1丫,t=RCO所以电容电压为:Sa+uc(0=1+0-le，=(1-e，)(%)()VC彳%_r9-14(c)电容电压响应表达式的后面乘以5（才），其作用是确定响应的“起始”时间为0+。如果要计算电源为任意值k的阶跃响应，只要 在单位阶跃响应前面乘以k就行了延迟单位阶跃响应：电源电压的表达式为刀V。其 响应的表达式将单位阶跃响应中的r改变为广。就可以了。即：儿1串联电路的延迟单位阶跃响应为：0)=(1 e r)o)电容电压响应表达式的后面乘以5（t _t。）,其作用是 确定响应的“起始”时间为。+。如果要计算电源为任意值k 的阶跃响应，只要在延迟单位阶跃响应前面乘以k就行了。9.7冲激函数和一阶电路的冲激响应冲激函数1单位脉冲函数单位脉冲函数的定义为:0(，0一)1W(0_/A+)A0(A+)其波形图如图所示。它是一个在r=0+处出现一个矩形脉冲，脉冲的宽度为,1A脉冲的高度为脉冲波形与横轴所包围的面积为1,所以称它为单位脉冲函数。即:8 1s=A 二 lJo A2单位冲激函数和冲激函数单位冲激函数用6（0表示，其定义为:石=0 w 0)003(t)dt=1、J 00其波形图如图（b）所示。俨10(b)5(。=它是一个在Q0时刻出现一个向上的冲激量，这个冲激量的宽 度很窄，即出现的时间很短，冲激量的高度很高，用一个向上的箭 头来表示它，并在其旁边标明一个数字“1”，表示冲激量所包围 的面积为1,它表明了冲激量的强度。如果单位冲激函数6(0的出现时间不是0而是玲，我们称它为 延迟单位冲激函数，其表达式为6(上玲。如果单位冲激函数6(力前面的系数不是1而是一个任意常 数k,我们称它为冲激函数，其表达式为kb(力，其波形图如图 9-17(c)所示，其旁边标明一个数字“k”，表示冲激量所包围 的面积为k,它表明了冲激量的强度。19（。k0 t如果冲激函数kb（力的出现时间不是0而是0 为延迟冲激函数，其表达式为kb（L。）。，我们称它二、阶跃函数、脉冲函数、冲激函数的关系单位脉冲函数的脉冲宽度趋近于零，取极限就是冲 激函数。当单位脉冲函数的脉冲宽度A趋近于零，则其高度 就趋于无限大，单位脉冲函数就成为单位冲激函数。单位冲激函数在时间段-位阶跃函数，00至上的积分就是单J 00 Jo0(/0_)1AS)单位阶跃函数是一种理想波形的抽象。在仁0处它的上升速率非常大，在该处的微分就是一个 宽度很小而高度很大的脉冲；当 W 0这些点的微分则等于零，所以单位阶跃函数的 微分就是单位冲激函数。dJi。）三、一阶电路的冲激响应1 R、C电路的冲激响应图（a）所示电路，冲激电流源作用于心侨联零状态 电路。要计算电容电压、电流的变化规律，首先分析其物理过程:/0_:电流源kb（力=0,电流源相当于开路，uc（0_）=0o0.0+:冲激电流源对电容充电，电容储存能量，电容电 压突然升高，（。+）+0;也就是说，当电路中存在冲激电 源时，一般情况下的换路定则（。-）=（。+）不再适用。仑0+：电流源kb(%)=0,此时电流源又相当于开路，电容通 过电阻放电，此时电路中的响应相当于零输入响应。%三0+：Zc+ZR=0其微分方程:dur urC+上=0 dt R方程的解为:c=Ae 工式中:t=RC为了确定积分常数A,现在来计算电路中电容电压 的初始值必(。+)。当=0:/c+/R=k 6()其微分方程为:dur urCa+上=kb)dt R上式中:d.ur udt R相加等于一个冲激函数注意:R不是冲激函数,而dt则是冲激函数对方程dC u+=k5(0 dt c R两边同时积分:r+d 广。+u 广。+J Cwcd/+J At=J k3(t)dt。-d%。-R。-在上式中不是冲激函数，所以这一项积分为零。R所以:(0+)j(O_)=k k(0+)=7由此可求得积分常数kA=C电容电压为:电容电流为:k k-uc=e Z=e RC 6,(0(V)(.Ji=C =ke 以e RC stI dt RCI 1，-kb0)-e kc.)(A)RC在1=0瞬间，冲激电流源k8（t）全部流入电容，给电容充 电，使电容电压发生跃变。随后电 源支路相当于开路，电容通过电阻 放电，电容电压降低，放电电流逐 渐减小，直至为零。电容电压、电 西的波形如下图（b）、（c）所 不。2.R、电路的冲激响应图所示电路，冲激电压源作 用于a/串联零状态电路。计算电 感电流、电压的变化规律。物理过程：t0:电压源kb(t)=0,电压源相当于短路,iz(0_)=0o0-t0+:电压源kb(t)=o,此时电压源又相当于短路，电感通 过电阻释放能量，此时电路中的响应相当于零输入响应。t 0+：KVL方程 L+R=0。dzTRi,L=0 dt方程的解为t=Ae(7=/)为了确定积分常数，先计算电路中电感电流的初始值4（0+）o 当才=0时，电路的电流方程为：l+r=3（，）即:dzTRii+L=kS(t)At注意:Ri.J-/不是冲激函数，而dzTL dt则是冲激函数。对上述方程两边同时积分:广。+广。+dzT。+|Ri.At+LAt-kSd/Jo_ l Jo d/J。由于力乙不是冲激函数，所以这一项积分为零。所以：L 4（0+）4(0-)=kz(0k)=L积分常数:kA 二 一L电感电流:电感电压:k-k 一丁zL=_e T=e L e(/)(A)dzT-t R-tuL=L-=ke L 5(/)-e L(/)dt LR二k)(修)L在Q0瞬间，冲激电压源kb（t）全部流入电感，给电 感储存磁场能量，使电感电流发生跃变。随后电源支路相 当于短路，电感通过电阻释放能量，电感电压降低，放电 电流逐渐减小，直至为零。电感电流、电压的波形如图（b）、（c）所示。四、冲激响应与阶跃响应的关系设一阶电路的阶跃响应为S(1)，一阶电路的冲激响应为h(t),它们之间的关系为：现在我们来证明这种关系：/1(八 ds)dts)=fJ co图(a)所示的单位脉冲函数可以用两个阶跃函数之差来表示,1电路对单位冲激函数的响应:h(t)=I im 5(/)s(t-A)3 a应用罗彼塔法则将上式分子分母对求导，可得:帕)二/加年 _ s_ A)=/而 ds-A)、-。dA a-。d(Z-A)dt即：线性电路的单位阶跃响应对时间的导数就是该电路 的单位冲激响应。反之，线性电路的单位冲激响应对时间的积分就是该电路 的单位阶跃响应，即:s)=f h(t)dtJ 00例如对于计算图示电路的单位冲激响应，我们可以 先用三要素法计算该电路的单位阶跃响应：=S=(1 _ e RC总然后再用微分求其单位冲激响应:uc(t)=h(t)=RC)(0dt dt _L _L=-e RC+(1-e RC)3(/)RC二一e RC 6：(/)(V)RC五、电容电压和电感电流的跃变1.换路后由纯电容构成的回路或由电容与电压源构成 的回路图所示电路为理想电 压源与零初始条件电容、电阻并联电路接通，换路 后的电路有电容与电压源 构成的回路，我们现在通 一个例题来分析电容电 压与电流的变化规律。例 图示电路中，已知电源电压Us=300V,Ci=50)nF,C2=lOOjnF,1=5000 Q,R2=10000 Q,电容原宝充电。求开关K闭合后两个电容的电压和电流的变化规律。解 此电路虽然有两个电容，但是电容电压网1、只有一个 是独立的，即只有一个独立的储能元件。所以：该电路还是一个一阶电路，可以用三要素法进行分析。在换路之前由于电容未充电，即Uci(0_)=UC2(0-)=0,而在换路之后瞬间，电路中左边回路应满足KVL方程C（+）+uc（。+）U$在电压源与电容接通瞬间，电容电压发生了跃变，由电容电流 与电容电压的关系分析，此时电容电流必定为冲击函数。而此时流过电阻的电流相比之下较小，可以忽略。即可以认为dur dur_ J _._ _2i 1 一 2-e2 1dt dt即可以得到在换路之后瞬间有:3 UC1(0+)=C2uc2(0+)也就是说，在换路之后瞬间两电容器所充的电荷量相等。所以:ucS0+k(0+c2)-G+。2)=-G+C2Us=200(V)Us=ioo(v)Ur(oo)=忆(8)R+R?及2R+R?Us=100(V)Us=200(V)两个电容和两个电阻分别变成为并 联，如图所示。其等效电容和等效电阻为：俨=G+6=150(nF)RR?R=3333(Q)R+R?电路的时间常数:t=RC=150 x 10-6 x 3333=0.5(s)两个电容的电压分别为：uCi=100+(200-100)e3=(100+100e-2z)-(0(V)k=200+(100-200*=(200-100 e-2?)(0(V)两个电容的电流分别为:h=ci-r dt c2=-0.01e-2(Z)+0.01(/)(A)二 0 02e-2(O+0 01(0(A)例 图示电路开关k闭合前已 处于稳定状态，电容C?原未充 电。已知4=100 V,G=2,G=3,R=1000 Q。在才=0时开关k 闭合，求时的电容电压和 各支路电流。解 虽然该电路在换路之后有两个电容，但它们的电压是不独 立的，所以还是一个一阶电路，仍然可以用三要素法分析。首先计算电容电压的初值。由于开关k闭合前电路已处于稳定状态，叼（0-）=4=1。V。由 于电容G原未充电，故C2（0）=ov。从开关k闭合后瞬间开始，两电容直接并联，并联后的等效电容为eG+G 0必1（。+）=/2（。+），也就是说在换路前后瞬间，两个电容器 的电压都发生了跃变。在换路前后瞬间，两个电容器应遵循的规律是，（。一）=，（。+）。即：G q1（0-）=（G+G）必（0+）。代入数值可得:Mc（0+）=77Ta（0.）=40（V）+02两个电容电压的初值：女1（0+）=uQ2（0+）40（V）两个电容电压的稳态值：口(8)=.2(8)=100(V)电路的时间常数：T=RC=1000 x(2+3)x 10-6=5(ms)两个电容的电压分别为：u%(0=100-60e-200(0(V)uC2(0=(100-6Oe-200)(0(V)两个电容的电流分别为:%=C1L=0 024e-20(0-l 2xlO-4(0(A)dtduri2=C2 =0 036e2Z)+1 2x10-4(0(A)dt2.换路后由纯电感构成的割集或由电感与电流源构 发的割集图所示电路为换路后由纯电感构成的割集，这种电路中 电感电流在换路前后将发生跃变。我们现在通过一个例题来 分析电感电流的变化规律。片 A RK(r=0).R J L2例 图示电路在开关k断开之前已处于稳定状态。当才=0时开关k断开，求t0时回路中的电流九已知：E=10V,4=2Q,Qi 4=0.3H,L2=0.1Ho解 虽然该电路在换路之后有两个电感，但它们的电流是不独立的，所以还是一个一阶电路，仍然可以用三要素法分析。我们首先计算电感电流的初值。由于开关k断开前电路已处于稳定状态，电感Li的电流可以计算出来，即之（。-）=月/&=10/2=5（A）。由于电感L2原被开关短接,故小（。一）=0 A。从开关k断开后瞬间开始，两电感直接串联，串联后的等效电感为/a。两个电感的电流应相等，即毋（。+）=42（。+）。也就 是说在换路前后瞬间，两个电感的电流都发生了跃变。在换路前后瞬间，两个电感元件应遵循的规律是磁链不变甲（。一）=卬（。+）。即：L/L1（o-）=（lx+l2）4（0+）代入数值可得:LS=A)两个电感电流的稳态值:匕(00)=匕 3)=%1+&)=2(A)电路的时间常数:串联回路的电流:i(t)=z；2(0=2+(3.75-2)e-l2-5t=(2+1.75e-12-5?)(0(A)|z1(Z)=5+(-3+1.75e-12-5z)(Z)(A)HUli(t)=4 么=45+(3+1.75)丁2型(%)了 dt=0.3-12.5 x 1.75/12%eQ)+(_3+1.75/12/=0.3755Q)-6.56e-125(/)K%=42=(2+L75*2%了 dt=0.1(-12.5 x 1.7525加+(2+1.75r2)*用=0375(/)-2.19e-125(Z)K小结：一阶电路的冲激响应分类与求解1.由冲激激励在电路中产生的零状态响应零状态求解方法 由阶跃响应求冲激响应单位阶跃2(。单位冲激5(f)单位阶跃响应单位冲激响应砥。d h(t)=s(，)2.换路前后电容电压和电感电流发生强迫跃变结果：电容电流和电感电压会产生冲激响应求解方法(1)由三要素法求电容电压、电感电流响应由电路换路后的KVL、KCL方程及电 容的电荷关系，电感的磁链关系计算储 能元件的初值。(2)由元件方程求响应duic Cdtdi TU 1 二 L-dt9.8二阶电路的零输入响应1.R、L、C电路的方程及求解已知：%(0+)=。0 f(0+)=0列电路方程：&，+一=0du dii=-C-%=L dt dtr2若以电容电压为变量：LC+RCdtdur-+ur 0 dt以电容电压为变量时的初始条件：加黑过户0-誓1=0电路方程:LC-+RC+uc=0 dt dt特征方程:LCP2+RCP+1=Q特征根：Lm/c 一；（）2_L 2 2L 2Z V 2L LCuc=+A2ePlt/（o+）=a-4+4=aducdt l（o+）f 4+p2a2=o4PP 一P PPu。4=a4ur勺电感电流、电压分别为:一丝=T。(*勺 dt L(P?Py)=/=%-(-P2ep)dt(4A)特征根：/-R4r4L/C2LR R 2 1J(-)2L V 2L LC2.零状态响应的三种情况二个不等负实根过阻尼 尺=2；二个相等负实根 临界阻尼 R 2-Pl32tPP)由于BHN-P2-P1非振荡放电过程2 尸eA-et=0+z=0,t=8 i=0 c y ucdu=-U.Plt _ Z2/c0 t=tm 时,最大dt 1（为 A）di-U.仪 p2f 0/0UL=Llt=7pPPie 一4）%，减小，孙 0t=2&时uL最大U L=q t=8,U l=0.为极值时的%即应=0时的力计算如下:（A ePlt-P2 Z25=0PlPi。02/wPl-Pl由d%/a可确定以为极小时的t.（2/1，巴 2/）=o t=2t m2nPiP-Pi能量转换关系0ttm 4减小/减小.(2)R /3)dt CD町零点：cot=0,兀+B，2k+P.im+B能量转换关系:特例：R=0时1 71贝 ll 3=0，CD CO i-,/3=一4LC 2uc=UQ sin(cot+90)=uLcoL等幅振荡+七区=2已R P、=P?=-=82Lu=AeSt+AAeSt c 1 2c(o+)=。-4=a由初始条件4 du(o+)=o.4(5)+4=odt解出:Ai=U04=u.s4=(3(1+力 du U ti=-c tec dt LuL=L-=UQet(1 8 t)dt非振荡放电小结：R2；：过阻尼，非振荡放电 丝=+4/R=2；么临界阻尼，非振荡放电uc=es*+A2tes)7?2J|欠阻尼，振荡放电=Ne-ssin(狈+)约(0+)一 由初始条件|+定帛数一(0+)I at可推广应用于一般二阶电路例L电路如图，t=0时断开开关。求以,并画出其变化曲线。Qd uLCRC dt解（1）%（。一）=25V Zl（T）=5A（2）开关断开为RLC串 联电路，方程为：du+u=0dt c特征方程为：50P2+2500P+106=0P=-25 J139 uc=Ne 25飞皿is%+4)uc=Ae25t sin(139+/3)Nsin/3=25(0)=25I y4(139cos B-25 sin 0)=_ 5 io77N=356,(3=176u35d uc=356/25 飞由139,+176)K09.9二阶电路的零状态响应和阶跃响应1.零状态响应%(0尸o互(0一尸微分方程为:LC+RCdtduCdt+4=Us求通解的特征方程为:LCP2+RCP+=Q特解:u=U C S人解答形式为：uc=Us+4。+(B W 夕2)，uc Us+Ae 5t+Ate St，P=P2=3y)、uc-Us+Ae5t sin(cot+(3)(7 2=8 jco)由初值+确定二个常数(0+)L dtUs9.10二阶电路的冲激响应定量分析，方