1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,二、空间曲线切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面切平面与法线,多元函数微分学几何应用,第八章,第1页,一、,一元向量值函数及其导数,引例:,已知空间曲线,参数方程:,向量方程,对,上动点,M,即,是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,终点,M,轨迹,此,轨迹称为向量值函数,终端曲线.,值函数.,要用向量值函数研究曲线,连续性,和,光滑性,，就需要引进向,量值函数极限、连续,和,导数概
2、念.,第2页,定义:,给定数集,D,R,称映射,为,一元向量,值函数,（简称向量值函数）,记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数极限、连续和导数都与各分量极限、,连续和导数亲密相关,进行讨论.,极限,：,连续,：,导数,：,所以下面仅以,n,=3,情形为代表,第3页,向量值函数导数几何意义:,在,R,3,中,设,终端曲线为,切线生成,点击图中任意点动画开始或暂停,表示终端曲线在,t,0,处,切向量,其指向与,t,增加方,向一致.,则,设,第4页,向量值函数导数物理意义:,设,表示质点沿光滑曲线运动位置向量,则有,速度向量：,加速度向量：,第5页,例2.,设空间曲线,向量方程为,求曲线,上,对
3、应于,解:,点处单位切向量.,故所求单位切向量为,其方向与,t,增加方向一致,另一与,t,增加方向相反单位切向量为,=6,第6页,二、,空间曲线切线与法平面,过点,M,与切线垂直平面称为曲线在该点,法平面.,置.,空间光滑曲线在点,M,处,切线,为此点处割线极限位,给定光滑曲线,在,点法式可建立曲线法平面方程,利用,点,M,(,x,y,z,)处切向量及法平面,法向量均为,点向式可建立曲线切线方程,第7页,1.曲线方程为参数方程情况,所以,曲线,在点,M,处,则,在点,M,切向量为,法平面方程,给定光滑曲线,为0,切线方程,第8页,例3.,求曲线,在点,M,(1,1,1)处切线,方程与法平面方程
4、解：,点(1,1,1)对应于,故点,M,处切向量为,所以所求切线方程为,法平面方程为,即,第9页,(2),光滑曲线方程为,切向量,法平面方程,切线方程,第10页,第11页,2.曲线为普通式情况,光滑曲线,曲线上一点,可表示为,处切向量为,法平面方程,切线方程,第12页,例5.,求曲线,在点,M,(1,2,1)处切线方程与法平面方程.,解法2,方程组两边对,x,求导,得,曲线在点,M,(1,2,1)处有:,切向量,解得,第13页,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2,1)处,切向量,第14页,三、,曲面切平面与法线,设,有,光滑曲面,经过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0
5、则,在,且,点,M,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证实:,此平面称为,在该点,切平面,.,上过点,M,任何曲线在该点切线都,在同一平面上.,第15页,证:,在,上,得,令,因为曲线,任意性,表明这些切线都在以,为法向量,平面上,从而切平面存在.,第16页,曲面,在点,M,法向量:,法线方程,切平面方程,过,M,点且垂直于切平面直线,称为曲面,在点,M,法线.,第17页,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,尤其,当光滑曲面,方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,第18页,法向量,用,将,法向量,方向余弦：,表示法向量方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,
6、复习,第19页,例6.,求球面,在点(1,2,3)处切,平面及法线方程.,解:,令,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),第20页,所以曲面在点(2,1,0)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,解:,令,第21页,例8.,确定正数,使曲面,在点,解:,二曲面在,M,点法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切.,与球面,所以有,第22页,1.空间曲线切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,第23页,(2),光滑曲线方程为,切向量,法平面方程,切线方程,第24页,2.曲线为普通式情况,光滑曲线,曲线上一点,可表示为,处切向量为,法平面方程,切线方程,第25页,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1)隐式情况.,法向量,切平面方程,曲面切平面与法线,第26页,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线,方向余弦,法向量,第27页,思索与练习,1.假如平面,与椭球面,相切,提醒:,设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),第28页,证实 曲面,上任一点处,切平面都经过原点.,提醒:,在曲面上任意取一点,则经过此,2.设,f,(,u,)可微,第七节,证实原点坐标满足上述方程.,点切平面为,第29页,
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