1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,数学分析复习（二）多元函数极限与连续,一、多元函数极限,定义,设D,R,n,f:DR.点aR,n,是D一个聚,点(aD),sR.假如0,0,当xD及,则称函数f在点a处有,(重)极限,，,或当x趋于a时,f(x)趋于s,记作,或,|f(x)-s|0,P,0,一个空心邻域,使当P,D时,则称,f在D上当PP,0,时，存在,非正常极限+,，记作,无穷小量定义与性质.,第2页,2,命题：,设D,R,n,f:DR.点P,0,(x,
2、0,y,0,)R,n,是D一,个聚点(P,0,D),AR.P(x,y),D,第3页,3,第4页,4,性质:,(1)四则运算法则,(2)归结原理,(3)唯一性、局部有界性、局部保号性,(3)无穷小量性质,第5页,5,怎样求多元函数极限？,（1）由定义求多元函数极限。,例1,证实:,证实,:,例2,证实:,第6页,6,例3,证实:,证实：,第7页,7,此时，,第8页,8,(2)利用极限四则运算和复合运算求极限.,(经变形后),第9页,9,第10页,10,(3)化为一元函数求极限.,如,第11页,11,(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0r0,y0.,于是,第14页,14,例,求,解：,所以
3、第15页,15,例,求以下极限：,（1）,可设2x4,|y|8.,第16页,16,第17页,17,第18页,18,例,证实以下极限不存在:(利用归结原理推论),第19页,19,第20页,20,二、多元连续函数,定义,性质（局部性质与有界闭集上连续函数性质）,一致连续,有界闭区域上连续函数性质,第21页,21,(二)多元函数连续定义,定义,设f 是定义在点集D,R,n,上n元函数，,P,0,D（P,0,或者是D聚点，或者是D孤立点）。,若,0,=(P,0,)0,只要PU(P,0,)D,就有,则称f关于集合D在,点P,0,连续,，简称f在,点P,0,连续,。,若P,0,是D孤立点，则P,0,必为
4、f关于D连续点;,第22页,22,若P,0,是D聚点,则f在P,0,点连续，要求满足：,(1)f在P,0,点有定义f(P,0,);,(2),(3),若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。,假如P,0,是D聚点，而,不成立，,则称P,0,是f,不连续点,（或,间断点,）。,尤其，当上式左端极限存在但不等于f(P,0,),称,P,0,是,f,可去间断点。,第23页,23,P.136:第1题,:讨论以下函数连续性:,而,及,所以,第24页,24,第25页,25,第9题:,设f在R,2,上连续，且,证实,:(1)f在R,2,上有界；（2）f在R,2,上一致连续。,证实：因为,存在M0,使当rM时有
5、而当x,2,+y,2,M,2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即,取W=max|A|+1,K,则,第26页,26,（2）,当在有界闭区域,上函数f一致连续。,再证,f,在,R,上一致连续.,第27页,27,从而,f,在,R,上一致连续.,第28页,28,第6题,：设f(x,y)在开集G,R,2,上对x连续，对y满,足Lipschitz条件：,证实,：,P,0,(x,0,y,0,)G，因为f对x连续，G是开集，,从而存在U(P,0,)G,从而f(x,y,0,)在x,0,连续，于是,0,1,0,当|x-x,0,|,1,时，有,当|x-x,0,|,|y-y,0,|，且,第29页,29,(x,y)G,必有(x,y,0,)且,第30页,30,
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