2025年辽宁省大连市第四十八中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题.doc

2025年辽宁省大连市第四十八中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
2．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A．点F的轨迹是一条线段 B．与BE是异面直线
C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值
4．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5． “且”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
7．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数
8．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）

A．55 B．500 C．505 D．5050
10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种 B．20种 C．22种 D．24种
11．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ）
A．2 B．2 C．4 D．6
12．已知是第二象限的角，，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．
14．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.
15．展开式中的系数的和大于8而小于32，则______．
16．已知函数为上的奇函数，满足.则不等式的解集为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
18．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
19．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
20．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．
（1）求及；
（2）设，设数列的前项和，证明：．
21．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令
a11
a12
…
a1n
a21
a22

a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．
22．（10分）已知奇函数的定义域为，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．
【详解】
六项不同的任务分别为A、B、C、DE、F，
如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；
如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有；
如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；
所以不同的执行方案共有种．
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
2．A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
3．C
【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．
【详解】
对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点
分别取、的中点、，连接、、，

，平面，平面，
平面．同理可得平面，
、是平面内的相交直线
平面平面，由此结合平面，可得直线平面，
即点是线段上上的动点．正确．
对于，平面平面，和平面相交，
与是异面直线，正确．
对于，由知，平面平面，
与不可能平行，错误．
对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；
故选：．
本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．D
【解析】
根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数在上单调递增，
当，若为增函数，则①，
当，
若为增函数，必有在上恒成立，
变形可得：，
又由，可得在上单调递减，则，
若在上恒成立，则有②，
若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有，③
联立①②③可得：.
故选：D.
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
5．A
【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选:.

本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
6．A
【解析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．
【详解】
由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，
半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．
则几何体的体积为．
故选：．
本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7．D
【解析】
将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.
【详解】

的虚部为，错误；，错误；，错误；
，为纯虚数，正确
本题正确选项：
本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.
8．D
【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.
【详解】
，对应的点位于第四象限.
故选:.
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
9．C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
10．B
【解析
分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.
【详解】
根据医院A的情况分两类：
第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同
分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，
共有种不同分配方案；
第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，
在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，
共有种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
11．C
【解析】
根据列方程，由此求得的值，进而求得.
【详解】
由于，所以，即
，
解得.
所以
所以
.
故选：C
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.
12．D
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.
【详解】
因为,
由诱导公式可得,,
即,
因为,
所以,
由二倍角的正弦公式可得,
,
所以.
故选:D
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．
考点：几何体的体积的计算．
14．
【解析】
由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．
【详解】
若方程无解，
则或恒成立，所以为上的单调函数，
都有，
则为定值，
设，则，易知为上的增函数，
，
，
又与的单调性相同，
在上单调递增，则当，，恒成立，
当，时，，，，，
，
此时，
故答案为：
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
15．4
【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.
【详解】
观察式子可知
，，
故答案为：4.
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.
16．
【解析】
构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为，利用函数的单调性即可得解.
【详解】
设，则，
设，则.
当时，，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，也是最小值，即，
，，，即，
所以，函数在上为增函数，
函数为上的奇函数，则，
，则不等式等价于，
又，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得

韦达定理：
由题意得 即
可得
即
解得
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
18．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值进而可证得结论.
【详解】
（1）当时，不等式为，且.
当时，由得，解得，此时；
当时，由得，该不等式不成立，此时；
当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）由，得，即或，
不等式的解集为，故，解得，，
， ，，
当且仅当，时取等号，．
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
20．（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和；
（2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明.
【详解】
（1）设的公差为，
由题意有，
且，
所以，
；
（2）因为，
所以，
.
本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.
21．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．
【详解】
（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.

（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:
假如存在，使得.
因为，，
所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.
令.
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；
也表示m，从而②，
①，②相矛盾，从而不存在，使得.
（Ⅲ）记这个实数之积为p.
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有；
从而有③，
注意到，，
下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，
所以，
对数表，显然.
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，
即数表满足：，其余，
所以，，
所以，
由k的任意性知，l（A）的取值集合为.
本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）根据奇函数定义，可知；令则，结合奇函数定义即可求得时的解析式，进而得函数的解析式；
（2）根据零点定义，可得，由函数图像分析可知曲线与直线在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将与联立，由判别式及两根之和大于0，即可求得的取值范围.
【详解】
（1）因为函数为奇函数，且，故；
当时，，
，
则；
故.
（2）令，
解得，画出函数关系如下图所示，

要使曲线与直线有3个交点，
则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立，
化简可得，
令，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题.