2025年江苏省海门市东洲国际学校数学高三上期末学业水平测试模拟试题.doc

2025年江苏省海门市东洲国际学校数学高三上期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．设，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．若的内角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知复数，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）

A． B． C． D．
12．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是
A． B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.
14．已知是等比数列,若，,且∥,则______.
15．已知，则展开式的系数为__________．
16．若非零向量，满足，，，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
18．（12分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：

根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；
根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.
（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，
方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？
附：相关性检验的临界值表：

（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．
19．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.

（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.
①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
21．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.
22．（10分）已知数列满足：，，且对任意的都有,
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）证明：对任意，都有；
（Ⅲ）证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.
方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.
【详解】
方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，
则，所以，又
所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，
所以，所以．

方法二：抛物线的准线方程为，直线
由题意设两点横坐标分别为，
则由抛物线定义得
又 ①
②
由①②得.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
2．D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.
【详解】
解：由题意知，，
，
∴，
故选：D.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
3．C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，

可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
4．D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.

由得：，
故选：D
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
5．D
【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.
【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.
故选：D
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
6．C
【解析】
根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.
【详解】
由题意知，则其中，．
又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．
①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；
综上所得的最大值为．
故选:C
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
7．C
【解析】
根据程序框图程序运算即可得.
【详解】
依程序运算可得：
，
故选：C
本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.
8．B
【解析】
先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.
【详解】
设直线与圆相切于点，
因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，
又因为圆与直线的切点为，所以，
又，所以，
因此，
因此有，
所以，因此渐近线的方程为.
故选B
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
9．A
【解析】
由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.
详解】
由题意，角满足，则，
又由角A是三角形的内角，所以，所以，
因为，
所以.
故选：A.
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
10．D
【解析】
由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.
本题选择D选项.
11．B
【解析】
，将,代入化简即可.
【详解】

.
故选：B.
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
12．D
【解析】
利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】
由题意，
则，的共轭复数为，
复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
故答案为：.
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.
14．
【解析】
若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为.
.
故答案为.
15．
【解析】
先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.
【详解】
因为
所以
的通项公式为
当时，
当时，
故展开式中的系数为
故答案为：
此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.
16．1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】

，即
解得或（舍）
故答案为：
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.
【详解】
（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.
由题意易知，，所以，，
因为，所以平面，
又平面，所以.
（2）设，，由已知可得：平面平面，
所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，

又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，
，，由平面几何知识，得.
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由，可得，
令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，
则，所以.

本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.
18．（1）选取方案二更合适；（2）
【解析】
(1) 可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系，从而可得结论；(2)求得购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.
【详解】
（1）选取方案二更合适，理由如下：
①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.
②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系.
(2) 因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为，只购买纸质书的概率为， 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为：.
本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能力与运算求解能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
19．（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面底面，平面底面，
∴底面平面，∴
又由题意可知为正方形，
又，∴平面
平面，∴平面平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，

设平面的法向量为，则

令，则，
∴

由（1）知平面的法向量可取为
∴
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20． (1) (2) ①生产线上挽回的损失较多. ②见解析
【解析】
(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；
(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.
【详解】
（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，则，互为独立事件
由已知有，
则
解得，则的最小值
（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.
①设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，，
则有，，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：
，
所以生产线上挽回的损失较多.
②由已知得的可能取值为，，，用样本估计总体，则有
，，
所以的分布列为

所以（元）
故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.
【详解】
（1）直线的参数方程为（为参数），
消去；得
曲线的极坐标方程为.
由，，，
可得，即曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，
可得，，
设，是点对应的参数值，
，，则.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
22．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若,则,与任意的都有矛盾；
若,则有,则

与任意的都有矛盾；
故对任意，都有成立；
（Ⅱ）由得，
则，由（Ⅰ）知，，
即对任意，都有；.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
由（Ⅰ）知，， ∴，
∴，即，
若，则,取时，有，与矛盾.
则. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.