2025年新疆维吾尔自治区沙湾一中数学高三上期末质量跟踪监视试题.doc

2025年新疆维吾尔自治区沙湾一中数学高三上期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48 B．60 C．72 D．120
3．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ）
A． B． C．2或 D．2或
6．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
9．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）

A． B．
C． D．
10．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知（为虚数单位），则复数________．
14．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
15．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.
16．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在△ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
18．（12分）已知函数.
（1）若函数，试讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
19．（12分）设函数.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.
20．（12分）设函数，，其中，为正实数.
（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有.
21．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.
22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
2．A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
3．B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
4．C
【解析】
∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）
且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，
故选C
5．C
【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.
故选：C
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
6．C
【解析】
判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.
【详解】
两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.
故选：C
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.
7．D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
8．C
【解析】
，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，故的虚部为.
故选：C.
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
9．C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：

则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，
所以即为与直线所成的角，
，
由余弦定理可得
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：C.
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.
10．D
【解析】
令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.
【详解】
时
令，求导
，，故单调递增：
∴，
当，设，
，
又，
，即，
故.
故选：D
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
11．C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12．B
【解析】
由题意，代入解方程即可得解.
【详解】
由题意，
所以，且，解得.
故选：B.
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
解：

故答案为：
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
14．
【解析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解．
【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲丙不在同一组的概率为.
故答案为：
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
15．
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.
【详解】
解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得
的图象.
根据图象与的图象关于轴对称，可得，
，，即时，的最小值为.
故答案为：.
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.
16．，
【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，，，，，
从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.
又，，得，取，
所以，．
故答案为：，．
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）2
【解析】
（1）转化条件得，进而可得，即可得解；
（2）由化简可得，由结合三角函数的性质即可得解.
【详解】
（1），，
由正弦定理得，
即，
又 ，，
又 ，，，
由可得.
（2）由（1）可得，，

，
，，，
的最大值为2.
本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.
18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；
（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
①当时，，在上单调递减.
②当时，令，则；令，则，
所以在单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，可知，
，
令，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
所以在上的值域是，即.
当时，没有实根，且，
在上单调递减，，符合题意.
当时，，
所以有唯一实根，
当时，，在上单调递增，，不符合题意.
综上，，即的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.
19．（1）（2）
【解析】
(Ⅰ)当时，不等式为.
若，则，解得或，结合得或.
若，则，不等式恒成立，结合得.
综上所述,不等式解集为.
(Ⅱ)
则的图象与直线所围成的四边形为梯形,
令,得,令，得,
则梯形上底为, 下底为 11,高为.
.
化简得，解得，结合，得的取值范围为.
点睛含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20．（1） （2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.
【详解】
（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，
所以在区间上恒成立.
设，其中，
所以，其中，.
①当，即时，，
所以函数在上单调递增，，
故成立，满足题意.
②当，即时，设，
则图象的对称轴，，，
所以在上存在唯一实根，设为，则，，，
所以在上单调递减，此时，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得，
因为当时，，，
所以.
令，则，
所以在上单调递增，，即，
所以，从而.
由（1）知当时，在上恒成立，整理得.
令，则要证，只需证.
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.
21．
【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
22．（1）当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）证明见解析
【解析】
（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.
【详解】
解：的定义域为，
因为，
所以，
当时，令，得，令，得；
当时，则，令，得，或，
令，得；
当时，，
当时，则，令，得；
综上所述，当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，
此时，设，
又因为，则，
设，则
对于任意成立，
所以在上是增函数，
所以对于，有，
即，有，
因为，所以，
即，又在递增，
所以，即.
本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.