9下275《三角形相似的判定(4)》课堂实录.doc

27．2 相似三角形的判定（四）课堂实录
【课前延伸】
师：同学们，我们已经学习了相似三角形的哪几种判定方法？
生：三种判定方法．它们是①平行于三角形一边的直线与三角形两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形全等．
师：回答很全面．现在我们看课前预习的第一题，图中有哪些三角形相似？
生：由四边形是平行四边形，可得两组对边分别平行，由相似三角形的判定的
预备定理，可得∆EFC∽∆EAB∽∆AFD，共有3对．
师：第2题，怎样求DF的长？
生：当时，△ABC∽△DEF．由此可求出DF＝3 cm．
师：第3题呢？
生：选C．由于△ABC与△BDC有一公共角，当夹∠BCD 的两边对应成比例时，两三角形相似，即，故选C．
【评析】
寓知识的复习于题目中，从相似三角形判定的预备定理、三边对应成比例、
两边对应成比例及夹角相等三种方法，选择三题作载体梳理知识，为学习新知识做知识方面的准备．
【课内探究】
【探究1】
师：（出示探究1）如图，当∠ACD＝∠B时，△ACD与△ABC相似吗？也就是“两个角对应相等的两三角形相似”吗？
生：相似？
师：为什么？你能沿用前面三角形相似判定定理探究方法，验证结论的正确
性吗？
生：能．先画两个三角形△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分别度量两个三角形的边长，计算，从而 △ABC∽
△A′B′C′．
师：很好！改变三角形边长的大小，不改变它们的角的大小，再用同样的方法试一试，是否有同样的结论？
生：有．
师：由此，你能归纳出什么结论？
生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
师：你的文字语言可简化为“这是证明两三角形相似的又一方法，应用时书写的格式如下：
∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴ △ABC∽△A′B′C′．
现在我们应用此判定定理，做下列判断题（小黑板出示题目）（稍等片刻，给学生思考的时间）
这里还要特别说明，经度量、猜想得到的结论在一般情形下是否成立，尚需进行严格的逻辑论证，本定理仍可沿用前面证明方法进行一般性证明，由于证明的方法与前面判定定理证明方法完全类同，这里只作交代．
〖评析〗
学生通过经历画图思考、分析度量、动态观察、归纳推理结论，激发了学生的求知欲望，增强了学生的探究意识和学习数学的自信心并且得到成功的体验．结合图形写推理形式，有助于学生懂而会写．
【概念辨析】
师：所有的正三角形都相似吗？
生：相似，因为所有的正三角形的内角都是60°．
师：正确．两个等腰直角三角形是相似三角形吗？
生：正确．因为所有的等腰直角三角形的内角都是90°、45°．
师：回答得很好．两个直角三角形一定是相似三角形吗？
生：不相似．因为任意两个直角三角形只有一个直角相等，所以不相似．
师：底角相等的两个等腰三角形相似吗？
生：相似．底角相等的两个等腰三角形，其顶角必然相等，从而两个等腰三角形相似．
师：两个顶角相等的等腰三角形是相似吗？
生：相似．顶角相等的两个等腰三角形，其底角必然相等，从而两个等腰三角形相似．
师：两个等腰三角形只要有一个角相等就相似吗？
生：不相似．尽管两个角相等，但不一定对应．
〖评析〗
以口答的形式进行辨析，具有“短、平、快”的特点，适用于较简单和易错处，适当地使用不但巩固了知识，还能促进课堂气氛的活跃．
师：回答得很好．证明相似只是证明比例式的一种手段通过相似的证明，可以
达到证明比例式的目的．（小黑板出示例2）
（学生思考）
【探究2】
师： 想到思路了吗？
生：（学生举手后口述，教师边听边板书）
∵ ∠A和∠D都是弧所对的圆周角，
∴ ∠A＝∠D，同理∠C＝∠B．
∴ △PAC∽△PDB ．
∴ ．
即 PA•PB ＝ PC•PD．
师：思路清晰、流畅．还有其它方法吗？
生：有．连接AD，BC．证明△PAD∽△PBC ．
师：对．现在我们总结一下证明比例式的思路：要证明等积式，常先把它化为比例式，再看四条线段分布的两个三角形相似，我们把这种方法称为“三点定形法”，归纳成口诀为“遇等积化等比，横找竖找定相似板书）”．请大家完成下题（（小黑板出示练1）
生：一生板演，余生同步在课堂作业本上．
师：（讲评）同学们看看×××同学的过程，正确吗？
∵ ∠2＝∠3，∠AOE＝∠DOC，
∴ ∠E＝∠C．
又∵ ∠1＝∠3，
∴ ∠1＋∠DAC＝∠3＋∠DAC．
即 ∠BAC＝∠DAE．
∴ △ABC∽△ADE．
生：正确．
〖评析〗
通过练习,及时反馈学生相似三角形判定定理的掌握情况，进一步优化教学，从而培养学生踏实、严谨的作风．
【探究3】
师：现在看一题有一定难度的题目（小黑板出示例3）
生：（学生陷入沉思，稍后有小声议论，有学生开始举手）
师：对于第一问，你是怎样思考的？
生：要证，只需证明△BEH∽△CDH，注意到两直角∠BEH＝∠CDH＝90°，对顶角∠BHE＝∠CHD，根据“两角对应相等，两三角形相似”可证得结论．
师：你应用了我们刚刚总结的证明比例式的思路，非常好．那么，怎样证明
△ADE∽△ABC ？
生：（生现困惑状）
师：（点拨）要证明△ADE∽△ABC，而两三角形有一个公共角相等，能再找到另一对角相等吗？
生：（生摇头）找不到（集体回答）．
师：（点拨）不能证明另一对角相等，能否用其它的判定方法证明△ADE∽△ABC呢？
生：（少数学生）证明夹公共角的两边对应成比例，证明．
师：能证到吗？
生：能．通过证明△ABD∽△ACE得到，由“两角对应相等，两三角形相似”可证到△ABD∽△ACE．
〖评析〗
1．进一步巩固“两个角对应相等，两三角形相似”的判定方法，深化提高，
形成体系；
2．教者解题过程的示范，就是为了规范学生的解题过程，又给接受缓慢同学的第二次领会的机会．
师：你的分析思路清晰，说明你已经能综合应用相似三角形的判定方法．下面，大家一起来完成练2（小黑板出示练2，给出思考时间）
【训练2】
生：（一生板演，余生在位子上静静思考）
师：（生板演毕）大家看看×××同学的证明过程，有无错误？
生：没有．
师：请做对的同学举手．
生：（教师扫视全班）生皆举手．
师：今天我们证明到的关于直角三角形一个结论，同学们在今后的证明中可直接应用．有谁能用文字语言表述这个结论？
生：直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似．
师：你的表述准确严谨．在使用时，书写格式如下：
∵ ∠ACB ＝90°，CD⊥AB，
∴ ∆ABC∽∆CBD∽∆ACD．（师同步写在黑板上）请大家读一遍．
生：（生齐生朗读）直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似．
〖评析〗
着眼于后继学习的需要，此处将“射影定理”以练习的形式加以渗透，教师引导学生总结出文字语言及符号语言，并说明以上结论在解题的过程中可直接应用．
【探究4】
师：有时在证明比例式时，按照“三点定形法”，找不出相似三角形，怎么办呢？（停顿片刻）我们可以通过作辅助线，构造相似三角形．大家思考下题．
生：（学生紧锁眉头，陷入思考）
师：（等待片刻后）请大家互相讨论（小黑板出示例4）
生：（学生讨论非常热烈，互相启发，此时课堂气氛达到高潮）
师：请×××同学说一说，你是如何思考的？
生：我是这样思考的：用分析法分析，要证明．就是要证，但是，线段ED、EB、EC在同一直线上，无法用三点定形法找到一对相似三角形来证明，考虑到题设中有EF为线段AD的垂直平分线，从而联想到线段垂直平分线的性质，连接EA，有ED=EA，将要证的比例式变为，再用“三点定形法”确定证明△EAC∽△EBA，而两三角形有一个公共角，可证到∠EAC＝∠B，从而证得结论．
师：你说得非常棒，说明你是个爱动脑筋的孩子，相信你的数学会越学越好！同学们听清楚了吗？
生：（少数学生露出困惑状）
师： 现在我把刚才×××同学的思路整理如下：

即要证
ED=EA
即要证
就要证△EAC∽△EBA
∠CEA＝∠AEB
∠EAC＝∠B
…… ……
要证ED2＝EC·EB

现在我们是不是该把原来总结的证明等积式的思路修改一下呢？（等待片刻后）我们修改成：
“遇等积化等比，横找竖找定相似，不相似，别生气，等线（等比）来代替（补充前面的板书）”为加深印象，同学们朗读一遍．
生：（生齐生朗读，少数学生边读边露出微笑）“遇等积化等比，横找竖找定相似，不相似，别生气，等线（等比）来代替．”
〖评析〗
从等积式出发，用分析法逆向分析，用等线代替，仍用“三点定形法”，确定相似三角形．本题的难点在于证∠EAC＝∠B，进一步巩固深化相似三角形的判定．
【训练3】
师：下面请大家完成下题（小黑板出示练3）
生：（生思考后，请一学生板演）生板演过程如下：
（1） ∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠C＝∠A ＝60°，
∴ ∠ABD+∠ADB＝120°，
∠ADB+∠EDC＝120°，
∴ ∠EDC＝∠ABD
∴ △DEC ∽ △BDA．
（2）∵ △DEC ∽ △BDA
∴ ，即
∴ （0＜x＜4）．
师：（学生板演后，全班同学抬头看黑板，师点拨）此题在证△DEC ∽ △BDA时的关键是证∠EDC＝∠ABD ，这位同学证得很好！在求函数关系式时，就是找y与x之间的关系等式，由相似三角形的对应边成比例可得．
师：同学们，刚才我们从不同的角度应用相似三角形的判定方法，大家总结一下，有哪些思路可以证明两个三角形相似？
生：（1）定义；（2）平行线法（预备定理3）三边对应成比例；（4）两边对应成比例且夹角相等；（5）两角对应相等．
师：总结得很好．（教师同时板书）

定 义
平行线法（预备定理）
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
两角对应相等
判 定
两三角形相似

师：通过本课的学习，除了学习了相似三角形的判定方法之外，你还有哪些收获？
生：我们还学习了证明等积式的一般思路，这就是：（板书如下，部分学生齐读）
遇等积化等比，
横找竖找定相似，
不相似，别生气，
等线（等比）来代替．

师：同学们总结得很好，在今后的学习中要注意养成勤反思、勤总结．
〖评析〗
从知识、思想、方法的角度引导学生梳理，让学生自由表述，其它学生补充，将知识系统化，以自己的方式进行知识结构建构．形成体系，将块块变成条条，生成知识系统树，有利于学生形成结构化了的知识，便于知识的储存和提取．

【课后练习】
今天的作业如下：
1．填空：（填上“不一定”或“一定” ）
（1）两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；
（2）如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．
2．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形有（ ）
A． 2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对

3．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC∽△AED．

4．已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，
若AB＝4，AD＝5，AE＝6，求DF的长．

5．已知：如图，在∆ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D．
（1）求证：；；．
（2）若AD＝2，DB＝8，求CD．

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