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华师大版九年级数学知识点
第22章 二次根式
1．二次根式
表示非负数a的算术平方根，也就是说，是一个非负数，它的平方等于a，即有：（1） （2）
形如的式子叫做二次根式。
二次根式的性质：
2．二次根式的乘法 ：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

3．积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积（主要用于二次根式的化简）

4．二次根式的除法：两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

1． 商的算术平方根：商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商（主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母）

2． 最简二次根式：被开方数中不含分母或分母中不含二次根式且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2
8．二次根式化简主要包括两方面
（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来
（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来
9．同类二次根式：像与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式。
二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
第23章 一元二次方程
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：是已知数其中分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。
2．一元二次方程的解法：（1）直接开平方法 （2）因式分解法（3）配方法
（4）公式法
3．根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实根。当时，方程有两个相等的实根。当时，方程没有实数根。
韦达定理：
4.列一元二次方程解应用题时，要注意对数量关系的抽象和分析，得到方程的解之后，必须检验是否符合题意。
第24章 图形的相似
1．相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。
2．成比例线段：对于四条线段如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，
如，那么这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段）也称这四条线段成比例
3．比例的基本性质
（1）如果，那么ad=bc （2）如果ad=bc,（a,b,c,d都不等于零），那么
4．（1）如果，那么 （2）如果，那么
5．相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。（也是判断两个多边形相似的方法）
6．相似三角形 （1）相似用“∽”来表示（2）△ABC∽△A＇B＇C＇，对应顶点要写在对应位置上。
（3）如果记，那么这个比值k就是这两个相似三角形的相似比。
（4）全等三角形是相似三角形的特例。（相似比）
7．相似三角形的判定
（1）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
8．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应高的比等于相似比。
（2）相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
9．中位线
（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
（2）三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的。
（3）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。
10．画相似图形
位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比。
第25章 解直角三角形
1．锐角三角函数（1）在Rt△ABC中
∠A 的正弦： ∠A 的余弦：
∠A 的正切： ∠A 的余切：
（2）0角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（4）特殊角的函数值

1
1

2．解直角三角形，只有两种情况
（1）已知两条边 （2）已知一条边和一个锐角
第26章 随机事件的概率
1． 概率 ：表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。
P(所关注的事件)=
2．概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果（2）要清楚所有机会的结果
（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率。
方法： 画树状图 列表法
九年级下
第27章 二次函数
1．二次函数
形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。
2．的图像与性质
（1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值。
当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
3． 的图像与性质
（1）由向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。
当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
4．的图像与性质
(1) 由向左（或向右）平移h个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。
当xh时，y随x的增大而增大。
当a当x=h时，y=0。
当xh时，y随x的增大而减小。
5．+k（a0）的图像与性质
（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而增大。
当ah时，y随x的增大而减小。
(4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k（a0）中k的值左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。
6．通过配方把二次函数化成+k（a0）的形式，即
（1）对称轴，顶点坐标（）
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=时，y=。当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大。
当a时，y随x的增大而减小。
7．最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。
解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。
8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求。
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求。
9．抛物线与直线的交点
一次函数与二次函数交点的个数由方程组的解得个数决定。当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。
当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。当方程组无解时，两函数图像没有交点。
10．二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程。
（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
11． 二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
无解。
若，的解集为x可取任意实数。
无解。
第28章 圆
1．圆的认识
（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。
（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。
（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。
（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC(︵)、BAC(︵)，其中像弧BC(︵)这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC(︵)，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
（3）圆心角：顶点在圆心两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
2．圆的对称性
（1）在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
（2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4．圆周角
（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
（2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5．点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则
（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内
6．（1）过一点可以画无数个圆；
过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
（3）一个三角形的外接圆是唯一的。
7．直线与圆的位置关系
（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。
（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：
若 直线l与⊙O相离；若 直线l与⊙O相切；若 直线l与⊙O相交；
8．切线
（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。
6．圆和圆的位置关系
1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。
2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。
3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。
（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆外离；
（4）两圆外离；（5）两圆外离

7．圆中的计算问题
（1）弧长的计算公式为：
（2）扇形由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
扇形面积的计算公式：
（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中，而就是圆锥的高。
（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
第29章 几何的回顾
反证法的步骤：
（1）先假设结论的反面是正确的。
（2）然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
第30章 样本与总体
1．普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查。
2．抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查。
3．总体：把所要考察的对象的全体叫做总体。
4．个体：把总成总体的每一个考察对象叫做个体。
5．样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。
6．样本容量：一个样本中包含的个体的数量叫做这个样本的容量。
7．调查的对象在总体中要具有代表性，样本容量要足够大。
8．简单的随机抽样：用抽签的办法决定哪些个体进入样本，这种抽样方法叫做简单的随机抽样。
9．随机性：不能够事先预测结果的特性叫做随机性。

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