高考理科数学离散型随机变量的分布列复习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 概率与统计,离散型随机变量的分布列,第 讲,1,考 点,搜 索,随机变量、离散型与连续型随机变量的含义,离散型随机变量的分布列、二项分布、分布列的基本性质高考,高 考,猜 想,1.,求离散型随机变量的分布列,.,2.,分布列性质的应用,.,2,1.,如果随机试验的结果可以用,来表示，那么这样的,_,叫做随机变量；随机变量常用,_,等表示,.,2.,对于随机变量可能取的值，如果可以按,一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；随机变量可以取某一区间内的,_,，这样的随机变量叫做连续型随机变量,.,一切值,一个变量,变量,希腊字母,、,一定次序,3,3.,设离散型随机变量,可能取的值为,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，,取每一个值,x,i,(,i,=1,，,2,，,),的概率,P,(,=,x,i,)=,P,i,，则称表,为,_,，,简称,.,x,1,x,2,x,3,x,i,P,P,1,P,2,P,3,P,i,的分布列,随机变量,的概率分布列,4,4.离散型随机变量的两个性质：,(1)_；,(2)_.,5.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率_.,之和,P,i,0,，,i,=1,，,2,，,P,1,+,P,2,+,P,i,+=1,5,6.,若随机变量的可能取值为,0,，,1,，,2,，,，,n,，且,取值的概率,，其中,k,=0,，,1,，,2,，,，,n,，,q,=1-,p,，其概率分布列为：,则称这样的随机变量,服从,_.,记为,_,，并记,=_.,0,1,k,n,P,b,(,k,;,n,，,p,),二项分布,B,(,n,，,p,),6,1.,抛掷两颗骰子，所得点数之和为,，那么,=4,表示的随机试验结果是,(),A.,一颗是,3,点，一颗是,1,点,B.,两颗都是,2,点,C.,两颗都是,4,点,D.,一颗是,3,点，一颗是,1,点或两颗都是,2,点,解：,对,A,、,B,中表示的随机试验的结果，随机变量均取值,4,，而,D,是,=4,代表的所有试验结果,.,D,7,题型,1,求随机变量的分布列,1.,在,10,件产品中有,2,件次品，连续抽,3,次，每次抽,1,件，求：,(1),不放回抽样时，抽到次品数,的分布列；,(2),放回抽样时，抽到次品数,的分布列,.,分析：,随机变量,可以取,0,，,1,，,2,，,可以取,0,，,1,，,2,，,3,，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析,.,10,解：,(1),所以,的分布列为,(2),所以,的分布列为,0,12,P,0,1,2,3,P,11,点评：,求随机变量的分布列的方法是：先根据题意，结合分类方法列出随机变量的各种情况所对应的值，然后分别求得各值对应的概率，最后用表格的形式列出,.,12,13,14,题型,2,求随机变量的概率,2.,掷一枚非均匀的硬币，出现正面的概率为 ，出现反面的概率为 ，以,表示首次出现正面所需要的试验次数，求,取偶数的概率,.,解：,依据题意，,的可能取值为,1,，,2,，,=,k,表示掷,k,次硬币，前,k,-1,次都出现反面，第,k,次出现正面,.,由于每次出现正、反面都是相互独立的，,15,所以,P,(,=,k,)=(),k,-1 (,k,=1,，,2,，,).所以当,取偶数时的概率为：,P,(,=2)+,P,(,=4)+,P(=,2,n,)+,点评：,若随机变量的概率与随机变量满足一定的函数关系式，如随机变量满足几何分布或二项式分布时，可直接利用关系式求得指定随机变量的概率,.,16,(1),掷一颗正方体骰子，以,表示出现的点数，分别求,P,(,4),和,P,(2,5),的值；,(2),已知随机变量,B,(5,，,),，求,P,(,=3),的值,.,解：,(1),的可能取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，且出现每一点的概率均为,.,17,所以,P,(,4)=,P,(,=5)+,P,(,=6)=,，,P,(2,5)=,P,(=2)P,(,=3)+,P,(,=4),(2),P,(,=3)=,18,题型,3,求相关随机变量的分布列,3.,已知随机变量,的概率分布为,求随机变量,=sin(),的分布列,.,解：,因为,sin()=,1,2,n,P,-1 (,n,=4,k,-1),0 (,n,=2,k,),1 (,n,=4,k,-3),(,k,=1,，,2,，,3,，,),，,19,所以,的可能取值为,-1,，,0,，,1,，且,20,点评：,若随机变量,，,满足一定关系式：,=,f,(,),，则可由,的取值情况得出,的取值情况，即可以把,的取值看成定义域，则,为值域，即可根据,的分布列，得出,的分布列,.,所以,的分布列为,-1,0,1,P,21,已知随机变量,的分布列为,分别求出随机变量,的分布列,.,解：,由于,，所以对于不同的,，,1,有对应的取值,，所以,1,的分布列为,-2,-1,0,1,2,3,P,22,由于,2,=,2,，所以对于,的不同取值,-2,，,2,及,-1,，,1,，,2,分别取相同的值,4,与,1.,-1,-,0,1,P,23,故,2,的分布列为,2,0,1,4,9,P,24,4.,已知随机变量,的概率分布为,则实数,c,的值为,.,解：,由,得 所以,题型,4,分布列性质的应用,25,点评：,离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：,(1),p,i,0,，,i=,1,，,2,；,2),p,1,+,p,2,+=1.,对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，,即,P,(,x,k,)=,P,(,=,x,k,)+,P,(,=,x,k+1,)+.,26,设随机变量,等可能取值,1,，,2,，,3,，,4,，,，,n,，如果,P,(,4)=0.3,，,则,n,的值为,.,解：,由条件知,P,(,=,i,)=(,i,=1,，,2,，,，,n,),，,所以,P,(,4)=3=0.3,，得,n,=10.,10,27,1.,一个随机试验应具备下列三个条件：试验可以在相同情形下重复进行；试验的所有可能结果明确可知，且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪种结果,.,2.,随机变量的取值与随机试验的结果是对应的，有些随机试验的结果不具有数量性质,(,如抛掷硬币,),，但可以通过适当设定加以数量化,(,如正面朝上为,1,，反面朝上为,0).,28,3.,若,为随机变量，,f,(,x,),为连续函数或单调函数，则,f,(,),也是随机变量,.,4.,若一次随机试验可看做只有两种结果,A,和 ，则在,n,次独立重复试验中,A,发生的次数,服从二项分布,.,5.,求离散型随机变量的分布列可分三个步骤进行：写出随机变量,的所有可能取值,x,i,(,i,=1,，,2,，,3,，,);,求出,的各个取值对应的概率,P,(,=,x,i,);,列成表格,.,29,6.,求离散型随机变量在某一范围内取值的概率，应转化为求取这个范围内各个值的概率之和,.,7.,求概率分布中的参数值，一般利用,P,1,+,P,2,+,P,i,+=1,建立一个关于参数的方程就可求解,.,30,第十一章 概率与统计,离散型随机变量的期望与方差,第 讲,（第一课时）,31,考 点,搜 索,数学期望、方差、标准差的计算公式,期望与方差的基本性质，二项分布的期望与方差公式,高 考,猜 想,1.,以实际问题为背景，求随机变量的期望与方差,.,2.,利用期望和方差对实际问题进行决策与比较,.,32,1.,若离散型随机变量,的概率分布为则称,E,=_,为数学期望或平均数、均值，数学期望又简称期望,.,x,1,x,2,x,n,P,P,1,P,2,P,n,x,1,p,1,+,x,2,p,2,+,x,n,p,n,+,33,2.,如果离散型随机变量,所有可能取的值是,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,且取这些值的概率分别为,p,1,，,p,2,，,，,p,n,，,，则称,D,=,叫做随机变量,的方差,.,D,的算术平方根,D,叫做随机变量,的,_,，记作,_.,(,x,1,-,E,),2,p,1,+(,x,2,-,E,),2,p,2,+(,xn,-,E,),2,p,n,+,标准差,34,3.,期望与方差的基本性质：,(1),E,(,a+b,)=_,，,D,(,a+b,)=_;,(2),若,B,(,n,，,p,),，则,E,=_,，,D,=_.,aE+b,a,2,D,np,np,(1-,p,),35,1.,设投掷1颗骰子的点数为,，则(,),A.,E,=3.5，,D,=3.5,2,B.,E,=3.5，,D,=,C.,E,=3.5，,D,=3.5,D.,E,=3.5，,D,=,B,36,解：,可以取,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6.,P,(,=1)=,P,(,=2)=,P,(,=3)=,P,(,=4)=,P,(,=5)=,P,(,=6)=16,，,所以,D,=,(1-3.5),2,+(2-3.5),2,+3-3.5),2,+(4-3.5),2,+(5-3.5),2,+(6-3.5),2,37,2.,设导弹发射的事故率为,0.01,，若发射,10,次，其出事故的次数为,，则下列结论正确的是,(),A.,E,=0.1,B.,D,=0.1,C.,P,(,=k,)=0.01,k,0.99,10-,k,D.,P,(,=k,)=,解：,B,(,n,，,p,),，,E,=100.01=0.1,，,P,(,=,k,)=,A,38,3.,有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量,1,、,2,，已知,E,1,=,E,2,，,D,1,D,2,，则自动包装机,的质量较好,.,解：,E,1,=,E,2,说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样；,D,1,D,2,说明甲机包装重量的差别大，不稳定，所以乙机质量好,.,乙,39,题型,1,利用基本公式求数学期望,1.(1)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响.设,表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求,的分布列及数学期望;,(2)把4个球随机地投入4个盒子中去，设,表示空盒子的个数，求,E,.,40,分析：,第,(2),小题中每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，所以总的投球方法数为,4,4,，空盒子的个数可能为,0,个，此时投球方法数为 ，所以 ；空盒子的个数为,1,时，此时投球方法数为 所以,.,同样可分析得出,P,(,=2),，,P,(,=3).,解：,(1),分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件,A,、,B,、,C,，由已知,A,、,B,、,C,相互独立，且,P,(,A,)=0.4,，,P,(,B,)=0.5,，,P,(,C,)=0.6.,41,据题意，,的可能取值为,1,，,3.,其中,P,(,=3)=,P,(,ABC,)+,P,(),=20.40.50.6=0.24.,P,(,=1)=1-0.24=0.76.,所以,E,=10.76+30.24=1.48.,(2),的所有可能的取值为,0,，,1,，,2,，,3.,42,所以,的分布列为,所以,点评：,数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平,.,计算数学期望可以在求得分布列后，直接按公式计算即可,.,0,1,2,3,P,43,某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令,X,表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：,(1),X,的分布列；,(2),X,的数学期望.,44,解：,(1),X,的所有可能取值为,0,，,10,，,20,50,，,60.,45,故,X,的分布列为,(2),X,0,10,20,50,60,P,46,题型,2,求二项分布的数学期望,2.,为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ，现在,3,名工人独立地从中任选一个项目参与建设,.,记,为,3,人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求,的分布列及数学期望,.,47,解:,记第,i,名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,A,i,B,i,C,i,，,i,=1，2，3.,由题意知,A,1,A,2,A,3,相互独立，,B,1B,2,B,3,相互独立，,C,1,C,2,C,3,相互独立，,A,i,B,j,C,k,(,i,，,j,，,k,=1，2，3，且,i,，,j,，,k,互不相同)相互独立，且,P,(,A,i,)=,，,P,(,B,i,)=,，,P,(,C,i,)=,.,48,解法,1,：,设,3,名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,，由已知,B,(3,，,),，且,=3-,.,所以,49,故,的分布列为,的数学期望,0,1,2,3,P,50,解法,2,：,第,i,名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件,D,i,，,i,=1,2,3,，,由已知，,D,1,，,D,2,，,D,3,相互独立，且,P,(,D,i,)=,P,(,A,i,+,C,i,)=,P,(,A,i,)+,P,(,C,i,)=,所以,B,(3,),即,51,故,的分布列为,的数学期望,点评：,若随机变量服从二项式分布时，可由二项分布的期望计算公式,(,若,B,(,n,，,p,),，则,E,=,np,),更简便的求得期望,.,0,1,2,3,P,52,53,54,55,56,57,题型,3,利用分解与合成原理求数学期望,3.甲、乙两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，甲队队员是,A,1,，,A,2,，,A,3,，乙队队员是,B,1,，,B,2,，,B,3,.根据以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：,A1,胜,B,1,的概率为 ，,A,2,胜,B,2,的概率为 ，,A,3,胜,B,3,的概率为 ，按上述对阵方式出场，每场比赛胜队得1分，负队得0分，设甲、乙两队最后所得总分分别为,、,，求,E,、,E,.,58,解法,1,：,根据题意，,的可能取值为,3,，,2,，,1,，,0,，且,+=,3.,所以,59,因为,=-,+3,，,所以,解法,2,：,设甲队队员,A,i,(,i,=1,，,2,，,3),每场的得分为,i,，,则,=,1,+,2,+,3,.,因为,1,的可能取值为,1,，,0,，,且,60,所以,同理,所以,61,点评：,如果两个随机变量,、,满足一定的关系式：,=a+b,，则,E(a+b)=aE+b,，利用这个公式可方便快捷地求相关随机变量的期望,.,62,某先生居住在城镇的,A,处，,准备开车到单位,B,处上班,.,若该地各路段发生堵车事,件都是独立的，且在同一,路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图,(,例如：,A,C,D,算作两个路段，其中路段,AC,、,CD,发生堵车事件的概率分别为,).,若记路线,A,C,F,B,中遇到堵车次数为随机变量,，求,的数学期望,E,.,63,解：,设,1,、,2,、,3,分别为路段,AC,、,CF,、,FB,中遇到堵车的次数，则其可能取值都为,1,，,0,，且,=,1,+,2,+,3,.,因为,所以,64,1.,对离散型随机变量的期望应注意：,(1),期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均,.,(2),E,是一个实数，由,的分布列唯一确定，即作为随机变量,是,可变的，可取不同值，而,E,是不变的，它描述,E,取值的平均状态,.,65,(3),E,=,x,1,p,1,+,x,2,p,2,+,x,n,p,n,+,直接给出了,E,的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加,.,2.,对比较复杂的随机变量，可考虑把它拆成几个比较简单的随机变量之和，再把它们的期望相加，就可求得原随机变量的期望,.,这是期望的分解原理，可避免繁杂的计算,.,66,