高考数学专题复习全集-导数的运算理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的运算,(),=(,v,0).,u,v,-,uv,v,2,u,v,一、复习目的,掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,理解复合函数的求导法则,会求某些函数的导数.,二、重点解析,在运用导数的四则运算法则进行简朴函数的求导时,要熟记常见函数的导数公式及运算法则.,对复合函数的求导,要搞清复合关系,选好中间变量,分清每次是对哪个变量求导,最后要把中间变量换成自变量的函数.,三、知识要点,1.函数的和、差、积、商的导数:,(,u,v,),=,u,v,;,(,uv,),=,u,v,+,u,v,;,(,cu),=,c,u,(,c,为常数,),;,2.复合函数的导数,设函数,u,=,(,x,),在点,x,处有导数,u,x,=,(,x,),函数,y,=,f,(,u,),在点,x,的对应点,u,处有导数,y,u,=,f,(,u,),则复合函数,y,=,f,(,(,x,),在点,x,处有导数,且,y,x,=,y,u,u,x,.,或写作,f,x,(,(,x,)=,f,(,u,),(,x,),.,即复合函数对自变量的导数,等于,已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对,自变量,的导数,.,典型例题,1,解,:,(1),y,=(2,x,2,+3)(3,x,-,2)+(2,x,2,+3)(3,x,-,2),=4,x,(3,x,-,2)+(2,x,2,+3)3,求下列函数的导数:(1),y,=(2,x,2,+3)(3,x,-,2);(2),y,=,x,2,sin,x,+2cos,x,;,(2),y,=(,x,2,sin,x,)+(2cos,x,),=18,x,2,-,8,x,+9.,法,2,y,=(6,x,3,-,4,x,2,+9,x,-,6),(3),y,=(,x,+1)(,-,1).,x,1,=18,x,2,-,8,x,+9.,=(,x,2,)sin,x,+,x,2,(sin,x,)+2(cos,x,),=2,x,sin,x,+,x,2,cos,x,-,2sin,x,.,典型例题,1,求下列函数的导数:,(3),y,=(,x,+1)(,-,1).,x,1,解,:,(3),y,=(,x,+1)(,-,1)+(,x,+1)(,-,1),x,1,x,1,=(,x,+1)(,x,-,-,1)+(,x,+1)(,x,-,-,1),1,2,1,2,1,2,1,2,=,x,-,(,x,-,-,1)+(,x,+1)(,-,x,-,),1,2,1,2,1,2,3,2,1,2,1,2,=,x,-,1,-,x,-,-,x,-,1,-,x,-,1,2,3,2,1,2,1,2,1,2,1,2,=,-,-,2,x,1,2,x,x,1,=,-,.,2,x,x,x,+1,=,-,-,2,x,1,2,x,x,1,法,2,y,=1,-,x,+,-,1=,-,x,x,1,x,1,x,1,y,=(,-,x,),=,-,.,2,x,x,x,+1,典型例题,2,已知,f,(,x,),的导数,f,(,x,)=3,x,2,-,2(,a,+1),x,+,a,-,2,且,f,(0)=2,a,若,a,2,求不等式,f,(,x,)0,的解集.,解,:,f,(,x,)=3,x,2,-,2(,a,+1),x,+,a,-,2,可设,f,(,x,)=,x,3,-,(,a,+1),x,2,+(,a,-,2),x,+,b,.,f,(0)=2,a,b,=2,a,.,f,(,x,)=,x,3,-,(,a,+1),x,2,+(,a,-,2),x2,a,=,x,2,(,x,-,a,),-,x,(,x,-,a,),-,2(,x,-,a,),=(,x,-,a,)(,x,2,-,x,-,2),=(,x,+1)(,x,-,2)(,x,-,a,),令,(,x,+1)(,x,-,2)(,x,-,a,)0,由于,a,2,则,当,a,=2,时,不等式,f,(,x,)2,时,不等式,f,(,x,),0,得,0,t,1;令,S,(,t,)1.,S,(,t,),在,0,1),上为增函数,在,(1,+,),上,为减函数,.,S,(,t,),max,=,S,(1),2,e,=.,典型例题,4,求曲线,y,=,x,3,+3,x,2,-,5,过点,M(1,-,1),的切线方程.,解,:由,y,=,x,3,+3,x,2,-,5,知,y,=3,x,2,+6,x,设切点为,P(,x,0,y,0,),则,y,|,x,=,x,0,=3,x,0,2,+6,x,0,曲线在点,P,处的切线方程为,y,-,y,0,=(3,x,0,2,+6,x,0,)(,x,-,x,0,),.,又,切线过点,M(1,-,1),-,1,-,y,0,=(3,x,0,2,+6,x,0,)(1,-,x,0,),即,y,0,=3,x,0,3,+3,x,0,2,-,6,x,0,-,1,.,而点,P(,x,0,y,0,)在曲线上,满足,y,0,=,x,0,3,+3,x,0,2,-,5,x,0,3,3,x,0,2,-,5,=3,x,0,3,+3,x,0,2,-,6,x,0,-,1,.,整顿得 x03-3x0+2=0.,解得,x,0,=1,或,x,0,=2.,切点为,P(1,-,1,),或,P(,-,2,-,1,).,故所求,的切线方程为,9,x,-,y,-,10=0,或,y,=,-,1.,典型例题,5,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有相似的切线.(1)求实数 a,b,c 的值;(2)设函数 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的单调区间,并指出函数 F(x)在该区间上的单调性.,解,:,(1),f,(,x,)2,x,3,+,ax,的图象过点,P(2,0),a,=,-,8.,f,(,x,)=2,x,3,-,8,x,.,f,(,x,)=6,x,2,-,8.,g,(,x,)=,bx,2,+,c,的图象也过点,P(2,0),4,b,+,c,=0.,又,g,(,x,)=2,bx,4,b,=,g,(2)=,f,(2)=16,b,=4.,c,=,-,16.,F,(,x,)=2,x,3,+4,x,2,-,8,x,-,16.,总而言之,实数 a,b,c 的值分别为-8,4,-16.,22,3,+2,a,=0.,f,(2)=62,2,-,8=16.,(2)由(1)知,f,(,x,)=2,x,3,-,8,x,g,(,x,)=4,x,2,-,16.,F,(,x,)=6,x,2,+8,x,-,8.,由,F,(,x,)0,得,x,;,2,3,由,F,(,x,)0,得,-,2,x,0,函数,f,(,x,)=,x,(0,+,),设,0,x,1,.,记曲线,y,=,f,(,x,),在点,M,(,x,1,f,(,x,1,),处的切线为,l,.(1)求,l,的方程;(2)设,l,与,x,轴的交点为,(,x,2,0),证明:,0,x,2,;若,x,1,则,x,1,x,2,.,x,1,-,ax,1,a,2,a,1,a,1,a,(1),解,:,f,(,x,)=,(,-,a,)=(,x,-,1,),1,x,=,-,x,-,2,=1,x,2,切线,l,的,方程为,y,=,-,(,x,-,x,1,)+.,x,1,1,-,ax,1,1,x,1,2,(2),证,:,依题意,在切线,l,的,方程中令,y,=0,得,x,2,=,x,1,(,1,-,ax,1,)+,x,1,=,x,1,(,2,-,ax,1,),ax,1,2,其中,0,x,1,0.,又,x,1,0,x,2,=,x,1,(,2,-,ax,1,)0.,当,x,1,=时,x,2,=,-,a,(,x,1,-,),2,+取得最大值 ,1,a,1,a,1,a,1,a,1,a,0,x,2,.,当,x,1,时,a,x,1,x,1,.,又由,知,x,2,1,a,1,a,x,1,x,2,0,得 0,x,1;,令,f,(,x,)0,得 1,f,(2).,f,(0)=0,为函数,f,(,x,),在区间,0,2,上的最小值;,求函数,f,(,x,)=ln(1+,x,),-,x,2,在区间,0,2,上的最大值和最小值.,1,4,解,:,f,(,x,)=,-,x,1+,x,1,1,2,又,f,(0)=0,f,(1)=ln2,-,f,(2)=ln3,-,10,1,4,f,(1)=ln2,-,为函数,f,(,x,),在区间,0,2,上的最大值.,1,4,又,切线过原点,解得,x,0,=,-,3,或,x,0,=,-,15.,课后练习,5,解,:,由已知可设切点为,(,x,0,),其中,x,0,-,5.,x,0,+9,x,0,+5,试求经过原点且与曲线,y,=,相切的切线方程.,x,+9,x,+5,y,=,-,(,x,-,5),(,x,+5),2,4,(,x,+5),2,x,+5,-,x,-,9,过,切点,的切线的斜率为,-,(,x,0,-,5).,(,x,0,+5),2,4,x,0,+9,x,0,+5,x,0,=,-,.,(,x,0,+5),2,4,当,x,0,=,-,3,时,y,0,=3.此时,切线的斜率为,-,1,切线方程为,x,+,y,=0.,x,+25,y,=0.,3,5,当,x,0,=,-,15,时,y,0,=,.此时,切线的斜率为,-,切线方程为,25,1课后练习,6,已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线,求 f(x)、g(x)的体现式.,解,:,f,(,x,)=2,x,3,+,ax,的图象过点,P(2,0),a,=,-,8.,f,(,x,)=2,x,3,-,8,x,.,f,(,x,)=6,x,2,-,8.,g,(,x,)=,bx,2,+,c,的图象也过点,P(2,0),4,b,+,c,=0.,又,g,(,x,)=2,bx,4,b,=,g,(2)=,f,(2)=16,b,=4.,c,=,-,16.,g,(,x,)=4,x,2,-,16.,总而言之,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,课后练习,7,设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在 x=2 处获得极值 0,试拟定函数的解析式.,解,:,由已知,P,点的坐标为(0,d,).,曲线在,P,点处的切线方程为,12,x,-,y,-,4=0,120,-,d,-,4=0.,又切线斜率,k,=12,解得:,d,=,-,4.,故函数在,x,=0,处的导数,y,|,x,=0,=12.,而,y,=3,ax,2,+2,bx,+,c,y,|,x,=0,=,c,c,=12.,函数在 x=2 处获得极值 0,y,|,x,=20,且当,x,=2,时,y,=0.,故有,8,a,+4,b,+20=0.,12,a,+4,b,+12=0,解得,a,=2,b,=,-,9.,y,=2,x,3,-,9,x,2,+12,x,-,4.,课后练习,8,已知,a,0,函数,f,(,x,)=,x,3,-,a,x,(0,+,),设,x,1,0,记曲线,y,=,f,(,x,),在点,(,x,1,f,(,x,1,),处的切线为,l,.(1)求,l,的方程;,(2),设,l,与,x,轴的交点为,(,x,2,0),证明:,x,2,a,;,若,x,1,a,则,a,x,2,a,x,1,3,-,a,0,则,3,1,x,2,-,x,1,=,-,x,1,3,-,a,3,x,1,2,0,3,1,且由,x,2,a,a,x,2,x,1,.,3,1,注:(2)亦可运用导数或基本不等式证明.,