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2017-2018河南省模考卷

一、选择题
1．已知集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在中， 为边的中点，若， ，则（ ）
A. B. C. D.
4．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．将函数f(x)=sin(2xφ)的图象向左平移π8个单位，所得的函数关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A. 3π4 B. π4 C. 0 D. -π4
6．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A. B. C. D.
8．设方程与的根分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点是双曲线（， ）右支上一点， 是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）

A．是定值
B．点在某个球面上运动
C．存在某个位置，使
D．存在某位置，使平面
11．设等差数列的前项和为，已知， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12．设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题
13．已知等比数列{an}的第5项是二项式(x+1x)4展开式中的常数项，则a3⋅a7的值 .
14．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种．
15．若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是 .
16．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围是__________．

三、解答题
17．（本小题满分12分）
在中，内角对应的三边长分别为，且满足.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
18．为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是: .
（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人. 记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望.
20
25
30
35
40
45
年龄/岁
频率/组距
0．07
0．02
x
0．04
0．01
O

19．如图，四棱锥的底面为平行四边形， ， .

（1）求证： ；
（2）若， ， ，求二面角的正弦值.
20．椭圆（），原点到直线的距离为，其中：点，点.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）经过椭圆右焦点的直线和该椭圆交于两点，点在椭圆上， 为原点，若，求直线的方程.
21．已知函数，函数在处的切线与直线垂直．
（1）求实数的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
22．选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

试卷第5页，总5页
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参考答案
．1．C
【解析】∵集合，
∴
∴
故选：C
2．D
【解析】
试题分析：，故对应点在第四象限．
考点：复数几何意义．
3．D
【解析】 .
故选：D
4．A
【解析】试题分析：若，则直线与直线平行，充分性成立；若直线与直线平行，则或，必要性不成立．
考点：充分必要性．
5．B
【解析】试题分析：当函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移π8个单位，所得的函数为，由函数关于y轴对称，可知，所以φ的一个可能取值为π4．
考点：三角函数的性质．
6．C
【解析】根据流程图所示的顺序，
可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．
根据茎叶图可得超过90分的次数为10，
故选：D．
7．B
【解析】试题分析：从题设中提供的三视图的图形信息和数据信息可知该几何体是一个以为直角边的直角三角形为底高为的三棱柱去掉一个以为直角边的直角三角形为底高为的三棱锥剩下的几何体,故其体积,故应选B．
考点：三视图的识读和理解．
8．A
【解析】
试题分析：如图，由，可得，当时，，，∴，则．

考点：对数运算、函数的图象．
9．D
【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c)，
代入双曲线方程，
可得  b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，
故选：D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据ab，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
10．C．
【解析】
试题分析：取中点，连接，，则，，∴平面平面，
∴平面，故D正确；由，为定值，为定值，
由余弦定理可得，∴是定值，故A正确；
∵是定点，∴是在以为圆心，为半径的圆上，故B正确；
∵在平面中的射影为，与不垂直，∴存在某个位置，使错误，故选C．

考点：立体几何中的动态问题．
【思路点睛】折叠、展开问题一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用：折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变，位于棱两侧的位置关系与数量关系变，折前折后的图形结合起来使用．
11．D
【解析】令f(x)=x3+2016x,则f′(x)=3x2+2016>0，
所以f(x)在R上单调递增,且f(x)为奇函数。
由条件得,f()=−1,f()=1，
∴,从而+=2，
又等差数列的前项和为，
所以= = =2016，
因为f()=−1,f()=1,f(x)在R上单调递增，
所以>,即>，
故选：D.
点睛：本题解题关键由题意合理构造函数f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确+=2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解.
12．A
【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），
∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．
函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．
下面证明f（y0）=y0．
假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．
同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．
综上可得：f（y0）=y0．
令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．
令g（x）=ex+x（x∈[﹣1，1]）．
g′（x）=ex+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．
∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是．
故选：A．
点睛：本题利用正弦函数的有界性明确y0∈[﹣1，1]，结合函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增， 等价于f（y0）=y0，从而问题转化为a=ex+x在[﹣1，1]上的值域问题.
13．36
【解析】试题分析：二项式(x+1x)4展开式的通项公式为Tr+1=C4r⋅x4-2r，令4-2r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C42=6，即a5=6．根据{an}为等比数列，可得a3⋅a7=a52=36，故答案为：36．
考点：二项式定理的应用．
【思路点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式的展开式的通项公式，等比数列的性质，由条件利用二项式的展开式的通项公式求得展开式中的常数项，可得等比数列{an}的第5项，再根据a3⋅a7=a52求得结果．
14．150
【解析】试题分析：名水暖工去个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，分配方案为和，则共有方法数为种．
考点：排列组合．
15．
【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，而直线恒过定点由题意可行域存在点在直线上或其下方，即
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16．
【解析】画出的图象如图所示

当时，得或
此时化为，
若，则此时有两解或，违背题意，
故
此时
若，则关于的不等式恰有一个整数解。
结合图象可知，可得
若，则关于的不等式恰有一个整数解。
结合图象可知，可得
综上， .
17．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由余弦定理将角化成边得，（Ⅱ）由余弦定理得，再根据基本不等式得，，另外为三角形三边关系得，即求出的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）
，
，即
考点：余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
18．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中小长方形面积为对应概率，可得，即得的值，由总数与概率的乘积等于频数得年龄在岁的人数为（Ⅱ）先按分层抽样得年龄“低于35岁”的人有6名,从而确定随机变量取法为0,1,2,3,再利用组合数求出对应概率，列表可得概率分布，最后根据数学期望公式求数学期望
试题解析：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70,

500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人).
（Ⅱ）用分层抽样的方法,从中选取10名,则其中年龄“低于35岁”的人有6名,
“年龄不低于35岁”的人有4名. 故的可能取值为0,1,2,3,
, ,
, ,
故的分布列为

0
1
2
3

所以
考点：频率分布直方图，数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19．(1)见解析；(2)

【解析】试题分析：.（1）取中点，易证面，所以，（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，设平面的法向量=， ，即.
试题解析：
（1）证明：取中点，连，
∵，
∴， ，∵
∴面，又∵面，∴

（2）∵， ， ，
∴是等腰三角形， 是等边三角形，∵，∴， .
∴，∴
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则， ， ，
从而得， ， ，
设平面的法向量
则，即，∴，
设平面的法向量，
由，得，∴
∴
设二面角为，∴
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆离心率，只需建立一个等量关系，解出:利用点到直线距离公式可得，而，所以，离心率（Ⅱ）设 ，先用坐标表示， ，因此，化简得，这样就转化为直线与椭圆位置关系问题：联立直线方程与椭圆方程，消去一个未知数得另一未知数的方程，结合韦达定理得两根之积，代入可解得直线斜率，即直线方程
试题解析：（Ⅰ）设直线： 且
所以离心率.
（Ⅱ）椭圆方程为，设
①当直线斜率为0时，其方程为，
此时， ，不满足，不符合题意，舍去
②当直线斜率不为0时设直线方程为，
由题： 消得，
所以
因为，所以，
因为点在椭圆上，
所以

所以

化简得，得直线为
综上，直线为
考点：椭圆离心率，直线与椭圆位置关系问题
【方法点睛】
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数。对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解。解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
21．（1）；（2）；（3．
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义求解；（2）借助题设运用二次函数的知识建立不等式求解；（3）依据题设构造函数,运用导数的知识探求．
试题解析：
（1）∵，∴．
∵与直线垂直，∴，∴．………………2分
（2）∵，∴，
由题知在上有解，
∵，设，则，所以只需
．
故的取值范围是．………………6分
（3）∵．
令，得．
由题，，

，
，则
．………………8分
∵，所以令，
又，所以，所以，
整理有，解得．
∴．………………10分
，所以在单调递减，
．
故的最小值是．………………12分
考点：二次函数二次方程及导数在研究函数的最值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问非常简单,借助题设很容易求得；第二问求解时借助求导运算得到在上有解,再借助二次方程的判别式求得的取值范围是；第三问中先将问题进行转化,构造函数借助导数,运用导数的有关知识求得最小值是,从而使得问题简捷巧妙获解．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将曲线化为普通方程，代入，得；（Ⅱ）的直角坐标方程为，由垂径定理及勾股定理可得弦长．
试题解析：⑴∵曲线的参数方程为（为参数）
∴曲线的普通方程为，
将代入并化简得：，
即曲线的极坐标方程为
（2）∵的直角坐标方程为，
∴圆心到直线的距离为，∴弦长为．
考点：极坐标系与参数方程．
23．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义得，再根据解集之间相等得（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：由绝对值三角不等式得函数最小值实数的取值范围，从而可得
试题解析：(1)∵∴
∵的解集为∴
(2)∵
又恒成立
∴
考点：绝对值定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
答案第13页，总13页