1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第二章 向量与线性方程组,1/18,2.1向量及其运算,2.2向量线性关系,2/18,本节主要内容,1.向量定义；,2.向量运算；,加法运算,数乘运算,运算律,3.,向量线性关系；,线性组合（线性表示）,线性相关,线性无关,3/18,两种主要同解变形：,（,1）用一个非零数乘以方程两端；,（2）一个方程若干倍加到另一个方程上。,相当于对数组 进行对应运算。,这
2、么有序数组称为向量。,由以前解线性方程组经验知道，对于方程组,4/18,向量(Vector)定义,定义：由n个数 组成有序数组 称为一个,n维行向量,，简称,向量,；n称为向量,维数,；称为向量,分量,（或,坐标,）。向量普通用小写希腊字母 表示,定义：一切n维行向量所组成集适用 表示，称为,n维向量空间,，即,分量都是零向量称为,零向量,，记为,0,，即,0,=(0,0,0,).,向量 称为 负向量，记为,5/18,向量运算,设有数,及n维向量,向量相等：,向量加法：,向量减法：,向量数乘：,向量加法及数乘两种运算统称为向量,线性运算,.,因为向量能够看成是行矩阵，所以向量加法与数乘运算与矩
3、阵是一致.,6/18,向量运算律,加法运算律：,数乘运算律,：,7/18,方程个数,与,未知数个数,大小关系决定方程组解个数：,当方程个数大于未知数个数：无解；,当方程个数等于未知数个数：有惟一解；,当方程个数小于未知数个数：有没有穷多解.,所以确定方程个数非常主要。要知道某个方程能不能由其它方程经过同解变换得到，只要知道这个方程对应向量能不能用其它方程对应向量线性表示出来就行了。,由以前解线性方程组经验知道，对于方程组,8/18,向量线性关系,定义：设 ，假如存在一组数,使得,则称向量 能够由向量组,线性表示,，或者称向量 是向量组,线性组合,.,由定义知：零向量是任意向量组线性组合.,定义
4、设 ，若存在不全为零数,使得,则称向量组,线性相关,；不然称它们,线性无关,.,思索,：若 能由 线性表示，那么 能否由 线性表示？,9/18,结论1：向量组 线性相关等价于以 为未知量方程,有非零解；,结论2,：向量组 线性相关,等价于,不止一组解（有零解，也有非零解）；,结论3,：向量组 线性无关,等价于,结论4：向量组 线性无关则 线性无关.,正是因为有结论2和结论3，在讨论向量组线性相关性时候，经常讨论方程,解情况：有惟一解时线性无关；解不惟一时线性相关,.,小结,10/18,例题1 讨论n维向量组,线性相关性.,解：设有一组数 ，使得,即,所以,由此可知 线性无关.,因为任何一个n
5、维向量都能够用 线性表示出来，所以称向量组,为,n维单位坐标向量组,.,小结,11/18,例题2（练习）：讨论以下向量组线性相关性.,解 设有一组数 使得,即,因为该方程组系数行列式,从而方程组有惟一一组解，即只有零解.所以向量组线性无关.,12/18,证实：设有一组数 满足,例题3 若向量组 线性无关，证实向量组,线性无关.,则,因为 线性无关，所以,所以该向量组线性无关.,13/18,定理,若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 能够由 线性表示.,定理,向量组 线性相关,充要条件,是该向量组中最少有一个是其余向量线性组合.,推论 向量组线性无关,充要条件,是向量组中任何一个向量都
6、不能由其余向量线性表示.,小结,定理,线性,相关,向量组,添加,向量后依然线性相关；,线性,无关,向量组,去掉,向量后依然线性无关；,线性无关向量组中每个向量,扩大,相同维数依然线性无关；,线性相关向量组中每个向量,缩小,相同维数依然线性相关。,14/18,向量线性相关性与线性方程组关系,小结,对于线性方程组：,未知量个数等于方程个数,方程组有惟一解；,未知量个数多于方程个数,方程组有没有穷组解；,未知量个数少于方程个数,方程组无解.,考虑n个未知量n个方程（可能有多出方程）线性方程组，每个方程都对应一个n1维向量：,（1）线性方程组系数行列式不等于零,方程组有惟一解,方程组没有多出方程,任何
7、一个方程都不能由其余方程经过同解变换得到,任何一个向量都不能由其余向量线性表示,这个方程组对应n个向量线性无关；,（2）线性方程组系数行列式等于零,=,方程组,有一组以上解,方程组有多出方程 某个方程能够由其余方程经过同解变换得到 某个向量能够由其余向量线性表示这个方程组对应n个向量线性相关.,15/18,练习,1、设 ，当 时,线性相关.,2、当 时，向量 能由以下向量组线性表示：,3、设向量组 线性无关，则以下向量组线性相关是（）,4、设向量组 线性无关，向量组 线性相关，则以下结论错误是（）,线性无关.,能够表示为,线性组合.,线性无关.,线性相关.,C,D,16/18,小结,本节要求掌握内容：,1.,线性相关性定义与结论,；,2.,讨论向量组线性相关性惯用方法,；,3.,线性相关性两个充要条件,；,4.,向量线性相关性与线性方程组关系,.,17/18,作业,书本P63 习题二,2.1,2.6,2.8,18/18,
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