1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性方程组求解,中国青年政治学院 郑艳霞,第1页,使用提议：提议教师具备简单MATHMATICA使用知识。,课件使用课时：4课时,面向对象：文科经济类本科生,目标：掌握线性方程组知识点学习。,第2页,0.8,0.4,0.7,为民主党投票,为共和党投票,为自由党投票,0.3,0.1,0.1,0.3,0.1,0.2,假设在美国某一固定选区国会选举投票结果用三维向量表示为,假设一次选举中结果为,确定下一次和再下一次可能结果。,每次选举得票情况改变为,我们用上述类型向量每两年统计一次国会选举结果，同时每次选举结果仅
2、依赖前一次选举结果。,第3页,对于给出选举改变情况，我们能够用一个矩阵进行表示,普通地，总能够由这次选举结果和下一次选举转移情况,得到下一次选举结果：,于是下一次和再下一次可能结果为：,表示第,j,个党向第,i,个党转移百分比,0.8,0.4,0.7,为民主党投票,为共和党投票,为自由党投票,0.3,0.1,0.1,0.3,0.1,0.2,第4页,假设选举得票情况改变是恒定,P,问从现在开始经过多年,若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票百分比是多少？,若,P,是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于,1,，则相对于,P,稳定向量必满足：,Pq=q,。能够证实每一个满足上述条件矩
3、阵，必存在一个稳定向量；而且，若存在整整数,k,，使得,P,k,0,则,P,存在唯一向量,q,满足条件。,易见,P,2,0,满足上述条件。于是上述问题转化为,:,怎样求出满足,非,0,向量,x,。,x=Px,即方程组,(P-I)x=0,解，就是我们需要结果。,第5页,齐次线性方程组,1.,齐次线性方程组（,2,）有解条件,定理,1,：,齐次线性方程组 有非零解,定理,2,：,齐次线性方程组 只有零解,推论：,齐次线性方程组 只有零解,即,即系数矩阵,A,可逆。,有解条件,解性质,基础解系,解结构,第6页,2.,解性质,（可推广至有限多个解）,解向量：,每一组解都组成一个向量,性质：,若 是齐次
4、线性方程组,Ax=0,解，,则 依然是,齐次线性方程组,Ax=b,解。,解空间,:,全部解向量集合，对加法和数乘,都封闭，所以组成一个向量空间，称为这个齐次,线性方程组解空间。,第7页,3.,基础解系,设,是,解，满足,线性无关；,任一解都能够由,线性表示。,则称,是,一个,基础解系。,定理：,设,是,矩阵，假如,则齐次线性方程组,基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,第8页,证实分三步,:,1.,以某种方法找 个解。,2.,证实这,个解线性无关。,3.,证实任一解都可由这,个解线性表示。,注：,基础解系实际上就是解空间一个基。,(1),(2),证实过程提供了一个求解空间基（基础
5、解系）方法。,(3),基（基础解系）不是唯一。,(4),当,时，解空间是,当,时，求得基础解系是,则,是,解，,称为,通解。,4.,解结构,通解是,第9页,最终大约有选票被共和党人得到,.,r(P-I)=20,。再将求出解进行归一，,就得到了满足条件解，此时解是唯一。,第10页,一栋大公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼建筑设计由,3,种设计中选择。,A,设计每层有,18,个公寓，包含,3,个三室单元，,7,个两室单元和,8,个一室单元；,B,设计每层有,4,个三室单元，,4,个两室单元和,8,个一室单元；,C,设计每层有,5,个三室单元，,3,个两室单元和,9,个一室单元。设该建筑有,x,层采取
6、A,设计，,y,层采取,B,设计，,z,层采取,C,设计。,（,2,）写出向量线性组合表示该建筑包含三室、两室和一室单元总数。,（,3,）是否可能设计出该建筑，使恰有,66,个三室、,74,个两室和,136,一室单元？如可能话，是否有各种方法？说明你答案。,第11页,解答,（,1,）表示当建筑,x,层采取,A,设计时，包含三室,单元，两室单元和一室公寓数目。,（,3,）问题转化为：求非负整数,x,y,z,满足：,也就是非求齐次线性方程组,解问题。,第12页,非齐次性线性方程组,1.,有解条件,定理,3,：,非齐次线性方程组,有解,而且，当,时，有唯一解；,当,时，有没有穷多解。,第13页,分
7、析,:,3.,解结构,若,有解，则其通解为,其中,是（,1,）一个特解，,是（,1,）对应齐次线性方程组 通解。,1.,证实,是解；,2.,任一解都能够写成,形式。,2.,解性质,性质,1,：,是 解，则,是,对应齐次线性方程组,解。,性质,2,：,第14页,由此可得 ，所以该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。,进行计算,：,利用软件求解,房屋设计问题解答,第15页,由问题实际意义可知，方程组通解中,k,能够取值为,0,、,1,。,房屋设计问题（,3,）,解答,即房屋设计方案有两个：,1.,利用,A,设计,2,层和,B,设计,15,层,2.,A,设计,6,层、,B,设计,2,层和,C,设计,8,层。,第16页,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
