1、目录 上页 下页 返回 结束,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,4.3 线性非齐次常系数方程,线性非齐次常系数方程待定系数法本节我们将研究线性非齐次常系数方程，在第2节给出常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单解法.,1/25,考虑常系数非齐次线性方程,(4.3.1),当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦,函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。,2/25,一、非齐次项是多项式,（,4.3.2,）,可取特解形式为,（,4.3,.3,）,其中 是待定常数.,把 代入方程,（4.3.2）,左端
2、为,考虑方程,3/25,比较方程,（,4.3,.4）,当 时,待定常数,能够从,（3.4.4）,得出.,两边t 同次幂系数得到方程组,4/25,当 时,零,为方程特征根，令,代入,（3.4.2）,比较,(4.3.6),5/25,当 时,对上面方程直接积分可得出方程特解:,(4.3.6)中待定常数能够从上,面方程组得出惟一解,从而得出方程特解.,当 时,(4.3.2)变为,6/25,综上,我们得到(4.3.2)有下面形式特解:,其中是 待定常数,能够经过上面介绍比较系数法惟一来确定.,7/25,例1,求方程 一个特解.,解:,对应齐次方程特征根为,所以,该方程特解形式为,将 代入方程得,比较上式
3、两端系数,可得,8/25,所以,原方程一个特解为,例2,求方程 通解.,所以,齐次方程通解为,解:,对应齐次方程特征根为,再求非齐次方程一个特解,这里,因为 是特征方程单根,故特解形式为,9/25,将 代入方程得,所以,原方程特解为,所以,原方程通解为,10/25,二、非齐次项是多项式与指数函数之积,（,4.3,.7,）,做变换,则方程,（,4.3,.7,）变为,由方程,（4.3.2）结果,我们有(4.3.8)有以下,考虑方程,特解.,11/25,又因为方程(4.3.7)对应齐次方程特征方程为,所以方程(4.3.7)相关特解结论以下:,(4.3.9),12/25,(1)当 不是(4.3.9)根
4、时,方程(4.3.7)特解形式为,(2)当 是(4.3.9)单根时,方程(4.3.7)特解形式为,(3)当 是(4.3.9)重根时,方程(4.3.7)特解形式为,13/25,例3,求方程 一个特解.,解:,对应齐次方程特征根为二重根,所以,该方程特解形式为,将 代入方程,可得,所以,原方程一个特解为,14/25,例4,求 特解.,解:,对上面方程积分得到一个特解,所以,原方程特解为,做变换,则原方程变为,15/25,三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数,之积,考虑：,由欧拉公式,（4.3.10）,16/25,则,（,4.3,.10）,变为,由解叠加原理知,解之和必为方程（,4.3,.10
5、解.,17/25,又,从而若 是解，那么 也是解,所以方程特解 形式为,其中 为t m次多项式,18/25,当 不是方程（,4.3,.10）对应齐次方程,特征根时,取 .,当 是方程（,4.3,.10）对应齐次方程,特征根时,取 .,19/25,例5,求 通解.,解：,先求对应齐次方程 通解,特征方程,根为,所以齐次方程通解为,20/25,不是特征根，故,代入原方程得到,得,A=2，B=1,，故原方程特解为,于是通解为,再求非齐次方程一个通解，因为,21/25,例7,求方程,通解.,解:先求对应齐次方程,通解.,这里特征方程,有两个解,对应齐次方程通解为:,再求非齐次方程一个特解.因为方程右端由,两项组成,依据解叠加原理,可先分别求下述,22/25,两个方程,与,特解,这两个特解之和为原方程一个特解.,对于第一个方程,有形如,特解,代入第一个方程得:,对第二个方程,有形如,特解,代入第二个方程得:,23/25,因而原方程特解为,原方程通解为,24/25,作业：习题4.2：2(6,7,8,9,14,15,18,20),25/25,
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