工程力学课程第5章.doc

第5章 教学方案
——材料力学的基本概念

基
本
内
容

材料力学的任务
材料的基本假设
内力、截面法和应力
变形和应变
杆件变形的基本形式

教
学
目
的

1、 了解材料力学的任务。
2、 了解变形固体的基本假设。
3、 掌握内力、截面法和应力。
4、 掌握变形和位移的概念，正应变和切应变的概念。
5、 了解杆件变形的基本形式。

重
点
、
难
点

内力、和应力，正应变和切应变的概念。

第5章 材料力学的基本概念

物体在受力后其形状和尺寸都会或多或少发生变化。如果受力过大，物体还会产生破坏。材料力学将进一步研究物体受力变形和破坏的规律，为工程设计提供理论依据。

5.1 材料力学的任务

5.1.1 构件的承载能力要求
机械和工程结构都是由许多零件（如轴、销、杆、梁、柱等）组成，统称为构件。
构件由金属材料、工程塑料、复合材料、混凝土、木材等固体材料制成。当构件工作时，发生形状和尺寸的变化。作用在构件上的外部作用力称为外力，当外力大到一定限度时，构件会发生破坏。为保证机械或结构能够正常工作，要求构件具有一定的承载能力。它包括以下三个方面：
1.强度要求 构件工作时，不应该发生断裂或明显的永久变形。例如，水坝在水压力下不发生破坏；压力容器不发生破裂。因此，要求构件必须具有足够的抵抗破坏的能力，即具有足够的强度。
2.刚度要求 构件工作时，若变形超过允许的限度，也会导致机器设备不能正常工作。例如，若齿轮轴变形过大，将会使齿轮和轴承发生偏磨，影响正常工作。因此，要求构件必须具有足够抵抗变形的能力，即具有足够的刚度。
3.稳定性要求 对于细长的受压构件，如内燃机的挺杆、厂房结构中的立柱等，工作时也可能失去原有的直线平衡状态而被压弯。因此，要求构件必须具有足够的保持原有平衡形态的能力，即具有足够的稳定性。
5.1.2 材料力学的任务
在设计构件时，可以通过选择合适的材料、构件横截面形状和尺寸来保证构件的承载能力（安全性）要求，同时也应考虑合理地使用和节约材料，达到经济性要求。材料力学的任务就是研究构件在外力作用下的变形和破坏规律，为设计既经济又安全的构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的基本理论和计算方法。
构件的承载能力与所用材料在外力作用下表现出的变形和破坏规律即材料的力学性能密切相关，而力学性能必须通过实验来测定。某些较复杂的问题也须借助实验方法来解决。因此，实验研究和理论分析一样，都是解决材料力学问题的基本方法。

5.2 材料的基本假设

实际工程构件所用材料多种多样，其力学性能十分复杂。在材料力学中，为了研究构件在外力作用下的变形和破坏规律，通常略去材料的一些次要属性，将材料抽象为理想化的模型。对这种理想化的变形固体材料，通常作以下基本假设：
1.连续性假设——认为构件整个体积内无空隙地充满了材料。这样，构件的力学量就是坐标的连续函数，并可进行极限分析。
2.均匀性假设——认为构件是由同一均匀材料组成，各点的力学性能相同。这样，从构件中取出任一微小部分进行分析计算和试验，其结论适用于整个构件。
3.各向同性假设——认为构件材料沿各个方向具有相同的力学性能。
虽然从微观上材料很难满足上述基本假设，但在宏观上可以认为材料的性质是连续、均匀和各向同性的。实践证明，在工程计算的精度范围内，上述三个基本假设可以获得满意的结果。

5.3 内力、截面法和应力

5.3.1 内力的概念
作用于构件上的载荷和支反力统称为外力。构件不受外力时，内部各部分之间存在着相互作用力，使构件维持一定的形状。当构件受到外力作用时，构件会发生变形，同时内部各部分之间的相互作用力也发生了改变。这种因外力作用而引起的构件内部各部分之间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。构件的内力是由外力引起的、随外力的增大而增大的，当内力大到一定限度后就会引起材料的破坏。因此，内力与强度问题密切相关。
5.3.2 截面法
图 5.1

图5.1（a）所示构件在外力作用下处于平衡状态。为了显示并确定m-m截面上的内力，用平面假想地将构件沿m-m截面截为I、II两部分，如图5.1（b）和（c）所示。任取其中一部分研究，例如I，可将II看作是I的约束，II对I的约束力是分布在m-m截面上的分布力，将分布力向截面形心简化后的合力FR和合力偶M0称为该截面上的内力，如图5.1（d）所示。取I研究画出受力图后，列平衡方程就可解出m-m截面上的内力值。同样，若取II研究，也可用相同的步骤求出m-m截面上的内力，且两种求法求出的内力构成作用力和反作用力关系。

上述这种显示并确定截面内力的方法称为截面法。可归纳为三个步骤：
（1）截取——沿欲求内力的截面处将构件假想地截断，任取其中一部分研究。
（2）代替——用内力代替另一部分对研究对象的作用。
（3）平衡——列平衡方程，确定未知的内力
图 5.2
【例5-1】电力机车架空线立柱结构如图5.2（a）所示，已知力F和长度l，试求立柱m-m截面上的内力。
解：（1）取研究对象 沿m-m截面假想将立柱截为两段，取上半段研究。
（2）受力分析 根据外力F的特点，m-m截面上的内力应有向上的力FN和逆时针的力偶M，如图5.2（b）所示。
（3）列平衡方程求内力

求得内力
5.3.3 应力的概念
截面法只能确定截面上分布内力的合力，不能确定其分布情况。为了分析构件的强度，须进一步研究截面上内力的分布情况，因此引入应力的概念。
假设在n-n截面上围绕k点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为ΔF（图5.3a）。则称比值

为ΔA上的平均应力。一般情况下，平均应力的大小和方向随所取面积ΔA的大小而变化，当ΔA趋近于零时，pm的大小和方向都趋近于一个极限值

图 5.3
称为k点的应力。它是分布内力系在k点的分布集度，反映了内力系在k点的作用强弱。p是矢量，通常分解为垂直于截面的应力分量σ和切于截面的应力分量τ（图5.3b），分别称为正应力和切应力。

应力的单位是Pa（帕），称为帕斯卡，1Pa=1N/m2。由于这个单位太小，常用单位为MPa，1MPa=106Pa=1N/mm2。

5.4 变形和应变

5.4.1 变形和位移
在外力作用下，构件局部产生形状和尺寸的改变，使构件上各点的空间位置发生改变。将构件局部形状和尺寸的改变称为变形，将各点的空间位置的改变量称为位移。位移由变形产生，但该点存在位移并不能说明该点一定有变形。
5.4.2 正应变和切应变
构件的变形包括几何形状改变和尺寸改变两部分。为了定量研究构件上某一点附近的变形，设想围绕该点取微小的正六面体（称为单元体），如图5.4（a）所示。变形后六面体的棱边长度和棱边的夹角都将改变（图5.4b和c）。设变形后x方向的棱边AB由原长Δx变为Δx+Δu（图5.4b），则比值称为AB沿x方向的平均正应变。逐渐缩小AB的长度，使Δx趋于零，便得到A点沿x方向的正应变，即

可见，正应变就是该点在x方向长度的变化率。用同样的方法可以确定A点沿其他方向上的正应变。正应变是一个无量纲的代数量，当正应变大于零时，表示该棱边伸长；当正应变小于零时，则表示该棱边缩短。正应变也称为线应变或简称为应变。
图 5.4

单元体的变形除了有棱边长度的改变外，还有棱边所夹直角的改变（图5.4c）。直角的改变量γ称为A点在xy平面内的切应变。切应变的单位为弧度（rad）。
如果设想将构件分割成无数个单元体，每个单元体的变形的积累，就形成了整个构件的变形。实际上，构件的变形一般是极其微小的。因此，在静力学分析中，可以不考虑因变形引起的尺寸变化，这样在研究平衡问题时，仍按构件的原始尺寸进行计算，使问题大大简化。通常称上述结论为小变形假设。

5.5 杆件变形的基本形式

工程构件几何形状千差万别，材料力学主要研究杆件。杆件是指其长度方向的尺寸远大于横向尺寸的一类构件。杆件的轴线是杆件各横截面形心的连线。轴线垂直于横截面穿过截面形心。轴线为直线的杆为直杆；轴线为曲线的杆为曲杆。横截面不变的杆为等截面杆；横截面改变的杆为变截面杆。工程中的很多构件可以简化为杆件，如连杆、传动轴、立柱、屋架梁等。
杆件变形有以下四种基本形式：
● 轴向拉伸和压缩 如图5.5所示托架的拉杆和压杆受力后分别产生轴向拉伸和轴向压缩变形。这类变形是由大小相等、方向相反、作用线与轴线重合的一对力引起，变形表现为杆件长度的伸长或缩短。
● 剪切 如图5.6所示连接件中的螺栓受力后产生剪切变形。这类变形是由大小相等、方向相反、作用线相距很近的平行力引起，变形表现为受剪杆件的两部分在受剪面发生相对错动。
● 扭转 如图5.7所示机器的传动轴受力后产生扭转变形。这类变形是由大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的两个力偶引起，变形表现为杆件的各横截面绕轴线的相对转动。
● 弯曲 如图5.8所示吊车的横梁受力后产生弯曲变形。这类变形是由垂直于杆件轴线的横向力、或由作用于包含轴线的纵向平面内的力偶引起，变形表现为杆件轴线由直线变为曲线或轴线的曲率发生改变。
图5.8
图5.5
图5.6
图5.7

杆件受力后除了会发生上述某一种基本变形形式外，还可能同时发生几种基本变形，这种情况称为组合变形。以后各章中，先分别讨论基本变形的强度、刚度问题，然后再讨论组合变形。