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第二讲 映射、函数、函数的图象与性质
一、映射、函数
[知识要点]
1． 映射有关概念
2． 函数定义，定义域、值域
[能力训练]
1． 合的并集，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题）
（A） 8 （B） 9 （C）26 （D）27
[解法一]：若，则满足题意的有：即这时的配对个数有：；仿此，若（或），满足题意的的个数，即配对个数有：；于是，全部配对个数有：。
[解法二]：且的情形只有1个配对：，而的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D）。
[评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。
2． 设={}，
（1） 写出一个：，使得为单射，并求所有到的单射的个数。
（2） 写出一个：，使得不是单射，并求所有这些映射的个数。
（3） 到的映射能否是满射？
解：（1）作映射：，使得
则此映射即为到的一个单射，这种单射的个数为。
（2）作映射：，可以先求到的映射的个数：分四步确定的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为个，因此满足条件的映射的个数为－=505。
（3） 不能。由于中的每一个元素恰与中的一个元素对应，||=4，||=5，
所以中至少有一个元素在中找不到与它对应的元素，因此到的满射不存在。
说明：一般地，若到有一个单射，则||≤||，若到有一个满射，
则||≥||,若到有一个一一映射,则||=||
思考：在上述问题中,如何求从到的子集上的一一映射的个数?
中的4个元素的子集共有个，从到的每4个元素的子集上的一一映射各有个，所求的映射的个数是=120个。
3． 若函数的值域为，则实数的取值范围是________________。（94年第5届“希望杯”全国数学邀请赛）
[解法一]：根据函数值域定义，对于任意实数，关于的方程即恒有解，因此——（*） 恒成立，（*）式成立的充要条件是，解得或。
[解法二]：根据对数函数和二次函数的性质，的最小值不在于0，即解得或。
[评注]：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。
4． 对实数，求函数的最大值。（96年美国中学数学竞赛题）
[解法一]：的定义域为[6，8]，，当时，；，当时，，从而当时有最大值。
[解法二]：定义域为[6，8]，令，，。， ……（1）。，代入（1）得：，易知，……（1），，当时（1）、（2）同时取等号。故有最大值。
[解法三]：的定义域为[6，8]，，，在[6，8]上是减函数，从而当时有最大值。
评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若，同时在处取得最大值，则在处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若在闭区间[a,b]上为单调函数，则在端点处取得最值”。
5． 设集合≤≤9, ∈N},.定义到的映射：（。若都是中的元素，且满足：（ ）39，（66。求的值。
解：由题意得
（1）
（2）
（1）+（2），（2）－（1）得
（3）
（4）
由于0＜＜9，≤18，0＜＜9，≤18，所以由（3）、4）可得
=7，=15，=3，=9
解得
6． 已知函数的定义域为[－1，1]，求的定义域，其中＞0。
解：的定义域应是下列两个集合的交集：
≤≤1}=[－,]
≤≤1}=[－,]
当≥1时，≥，－≤－, 所以
当0＜＜1时, ＞，－＜－，所以
因此，的定义域为[－,]（0＜＜1）；[－,]（当≥1时）
二、 函数的图象与性质
[知识要点]：
1. 函数的图象：坐标为的点的集合称为函数的图象，其中是函数的定义域。
2. 图象变换：平移变换、对称变换
3. 函数性质：奇偶性、单调性、周期性
周期性：对于函数，如果存在一个不为零的正数，使得当取定义域中的每一个数时，总成立，那么称函数为周期函数，正数称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值，称为该函数的最小正周期。
[能力训练]
3． 作出下列函数的图象：
（1）
解：（1）先作出的图象，然后将此图象在轴下方的部分对称地翻折到轴的上方即可。
（2）因是偶函数，其图象关于轴对称，于是我们先作出在≥0时的图象，然后作出它关于轴对称图形即可。

4． 为何实数时,方程有四个互不相等的实数根。
解：将原方程变形为，设，作出其图象，而是一条平行于轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，，即

5． 已知（a、b；实数）且，则的值是 （ ）
（1993年全国高中数学联赛试题）
（A） （B） （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值
解：是奇函数的和，为奇函数，从而即，，选（C）。
6． 设函数对任一实数满足：且。求证：的根在区间上至少有13个，且是以10为周期的周期函数。
证明：由题设知，函数图象关于直线和对称，所以
，于是在上至少有两个根。 另一方面，有,所以是以10为周期的周期函数，因此的根在区间上至少有个要。
评述：设函数的定义域为，若对任意的，都有（为常数），则函数图象关于直线对称。
7． 函数定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后
不变。
（1） 证明：方程恰有一个解，
（2） 试举一个具有上述性质的函数的例子。
解：（1）设，则（0，）是函数的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角为，得到的点（0，－），仍在的图象上，所以，=－于是=0，即0。也就是说=0是方程的一个解。
另一方面,设=是方程=的一个解,即=，因此点 （，）在函数的图象上，它绕原点旋转三个后得到
（，－）,且此点也在的图象上,所以==－,=0.
从上面的讨论可知,方程恰有一个解=0。
（2） 构造函数如下：

针对性训练：
1、（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D.
2、（2006天津）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是 （ ）
（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）
3、（2006陕西赛区预赛）若函数满足，则的解析式是（ ）
A. B. C. D
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．（2006安徽初赛）已知实数x、y满足，则 ．
2、（200 6天津）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有 500 种．
3、（2006年南昌市）设＝{1,2,…,100},是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是____________.
三、解答题（每小题20分，共60分）
（2006年江苏）设集合，．若，求实数的取值范围．

答案：一、C,D,B 二、1．15； 2.500； 3.
三、1.解：，．当时，，由得；当时，，由得；当时，，与不符．综上所说，．

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