1、 道县2017届高三冲刺限时训练(四)
文科数学
道县2017届高三命题研究中心 胡元紧
一、 选择题：（本大题共6个小题,每小题5分,共30分）
1、设集合，为整数集，则中元素的个数是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】 （D）
【解析】由题意，，故其中的元素个数为6，选 （D）
2、（教材改编）若，且，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、
【答案】（B）
【解析】
，所以．
3、已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】（A）
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选（A）
4、 设是函数 (为常数)的两个零点，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）与常数有关
【答案】（A）
开始
S=4
n=1
S≧6?
S=2S
S=S-6
n>3?
3、
输出S
结束
是
否
否
n=n+1
n>3?
输出S
结束
是
否
【解析】本题转化为求函数与的图象的交点的横坐标的和等于多少,画出图象,由对称性知,所以,选（A）
5、执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【答案】（B）
6、若某几何体的三视图如右，该几何体的体积为2，则俯视图中的 （ ）
（A） 1 （B）2 （C） （D）3
【答案
4、 （B）
【解析】由三视图，可得该几何体为四棱锥， ，高，则 ，解得2
二、 填空题：（共2小题，每题5分，满分10分）
7、（教材改编） 已知点是边长为1的正三角形的重心，则 .
【答案】
【解析】 由正三角形的性质可知，,
所以，
8、已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题设可得,即,由于函数在上单调递减,故,即
三、 解答题： （本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程）
9、 （本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且是与
5、的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.
【解析】（I）时，.
时，，又，
两式相减整理得：
为是以1为首项，2为公差的等 差数列，即.
（II），，
又
10、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，平面．
（Ⅰ）若为棱的中点，求证：；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离．
【解析】
（Ⅰ）由题，易知：
，及，所以，,
即，。
又，是的中点，∴．又，所以平面．
而平面，∴．
（Ⅱ）因为平面，所以，所以 ．
由（Ⅰ）的证明知，平面，所以．
因
6、为，为正三角形，所以，因为，所以．
设点到平面的距离为，则．
在中，，所以．
所以．
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为．
11、 （本小题满分6分）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点, 求动点的轨迹的方程。
【解析】
依题意，得
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
∴动点的轨迹的方程为
12、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程.
（Ⅰ）当时，判断直线与的关系；
（Ⅱ）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.
【解析】
分析：（Ⅰ）首先将直线与的方程化为直角坐标方程，然后由圆心到直线距离小于半径，可知圆与直线相交；（Ⅱ）首先由已知得圆心到直线的距离为，由此得到圆心与平行的直线方程，然后联立圆的方程，可得交点坐标．
解析：(Ⅰ)：，，
圆心到直线的距离为
所以直线与相交.
(Ⅱ) 上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为．
过圆心与平行的直线方程式为：与圆的方程联立可得点为和．
6
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