现代设计方法自考要点.doc

绪论
1、工程设计的发展经历了在直觉设计、经验设计、中间实验辅助设计和现代设计四个阶段。
2、现代设计方法与传统设计方法相比实现了如下几方面的转变：
从定性分析向定量分析、从静态分析向动态分析、从零部件计算向整机计算、从手工设计计算向自动化设计计算及由安全设计向优化设计等。
3、动态性能包括：
①固有特性，即各阶固有频率、模态振型和阻尼特性等
②系统在外部激振力作用下的响应，即动态应力和动态位移等
③系统在工作状态下产生自激振动的可能性等。
4、对整台机器的分析计算工作由于两个原因迟迟未能进行：
①在整机结构复杂，需要完成巨大的计算工作量；
②对零件的连续部分（称为结合部）的特性缺乏研究。
5、按零件简结合部的连接方式来分，可分为固定连接和滑动连接。
6、现代化CAD工作站所完成的任务包括：利用计算中的专家系统协助确定技术参数和总体方案；绘制总图和零件图；使用有限元对其动、静态性能进行分析计算；通过优化设计不断地进行修改，以获得最优设计方案；在屏幕上显示设计结果，还可以图样和数据的形式输出。
7、常用建立数学模型的方法，除有限元外，还有键图法、边界元法和控制工程。
8、键图法是一种为系统建造数学模型的方法。
9、模型试验设计的过程包括：根据相似理论，设计制造出实物的相似模型；根据设计的要求对其加载进行测试，以判断其结构和尺寸的合理性；根据测试结果，对原设计进行修改，使其更加完善。
10、模型试验设计的主要优点是：可以在时间、材料和仪器等花费都相对不大的情况先，对多种模型进行分析比较以获得更好的设计方案，加速新产品的开发。由于模型在结构的相似性和测试条件上毕竟与实物有差异，所以模型试验结果就会有一定误差，这就是他的局限性。
11、技术经济分析，是技术科学与经济学综合发展的产物；它应用的一个重要方面是在新产品开发时进行技术的选择和技术经济的评价，以便从多个技术方案中选出经济效果最佳的方案。

第一章 计算机辅助设计
第一节 CAD系统概述
1、CAD（计算机辅助设计）指人们在计算机软、硬件的辅助下对产品或工程进行设计、绘图、分析计算、修改和编写技术文件及显示、输出的一种设计方法。
2、一般把应用于CAD作业的计算机（中、小 型或微型计算机等）、软件（计算机的操作系统、图形支撑软件和专业应用软件等）以及外围设备（打印机和绘图仪等），总称为CAD系统。
3、70年代，出现了将CAD硬件与软件配套交付用户的“交钥匙系统”
4、CAD技术在机械工业中主要应用有二维绘图、图形及符号库、参数化设计、三维造型、工程分析（常见的有有限元分析、优化设计、运动学及动力学分析等）设计文档和生成报表。
5、CAD技术的主要特点有以下几个方面：
1）制图速度快，减少手工绘图时间，提高了工作效率。
2）图样格式统一，质量高，促进设计工作规范化、系列化和标准化。
3）提高分析计算速度，能解决服装设计计算问题。
4）易于技术资料的保存及查找，修改设计快，缩短了产品设计周期。
5）设计时可预估产品性能。
6、CAD涉及到的基础技术：
（1）图形处理技术
（2）工程分析技术（如有限元分析、优化设计方法、物理特性计算、模拟仿真以及各行各业中的工程分析）
（3）数据管理与数据交换技术
（4）文档处理技术
（5）软件设计技术。
7、CAD系统可根据其用途来分类如机械CAD系统、电气CAD系统等，目前最常见的硬件分类：
（1）集中式主机系统
（2）分布式工程工作站系统
（3）微型计算机系统。

第二节 CAD系统的硬件和软件
1、典型的CAD系统基本硬件一般由主机、输入设备、输出设备和存储设备四部分组成。
2、计算机主要是指计算机的中央处理器CPU和内存储器两部分，它们是控制和指挥整个系统运行并执行实际运算、逻辑分析的装置，是系统的核心。
3、输入设备主要有键盘、光笔、鼠标器、数字化仪和图形扫描仪。
与主机的标准端口RS-232C串口连接的有鼠标器、数字化仪和图形扫描仪。
主要作用是将字符、平面上或空间中点的坐标输入计算机，其基本功能是“定位”和“拾取”。
①“定位”是确定和控制光标在屏幕图形上的位置，
②“拾取”是选取屏幕图形上的某一内容。
4、计算机的键盘分字符键、数字键和功能键三种。
5、光笔是一种检测装置，它能够将屏幕上的显示状态（明暗变化）转换为电信号，送给计算机。
6、鼠标器用来控制和移动光标在屏幕上的位置，有机械式和光电式之分。
数字化仪有电磁感应式、静电感应式、超声波式以及磁致伸缩式；其作用是输入图形、跟踪光标位置和选择菜单；数字化仪的典型指标是：分辨率、精度、重复精度、板的面积等。
7、图形扫描仪是直接把图形扫描输入计算机中，以像素信息进行存储表示的设备；按颜色可分为单色扫描仪和彩色扫描仪；按所采用的固态器件可分为电荷耦合器件（CCD）扫描仪、MOS电路扫描仪、紧贴型扫描仪等。
8、CCD扫描仪的工作原理是：用光源照射原稿，投射光线经过一组光镜头射到CCD器件上，再经过模/数转换器、图像数据暂存器等，最终输入到计算机或者图形/文字输出设备。
9、常用的图形输出设备可分为两大类：
（1）是与图形输入设备相结合，构成具有交互功能的可以快速生成和删改图形的显示设备；
（2）是在纸或其它介质上输出的可以永久保存图形的绘图设备。它包括显示设备和绘图设备。
10、显示设备包括图形适配器和图形显示器；从成像原理上有随机扫描式、存储管和光栅扫面式三种。
11、绘图设备包括：
1）滚筒式绘图仪 2）平板式绘图仪 3）静电式绘图仪
12、滚筒式绘图仪是按插补原理进行的，绘图笔沿X或Y方向移动一步的距离称为步距，也叫脉冲当量，滚筒式绘图仪结构简单，价格便宜，易于操作，占地面积小，绘图速度快，但精度低。
13、平板式绘图仪其特点体积小，重量轻，价格低，但绘图速度、精度低。
14、静电式绘图仪的主要技术指标有：绘图速度、步距、绘图精度、绘图仪功能等。
15、数据存储设备主要指外存储器，是用来存放大量的暂时不用而等待调用的程序和数据的装置。
系统对存储设备的要求：一是存储量大，二是存取效率高。
磁盘有软磁盘和硬磁盘两种。但由于磁带是顺序存取工作方式，不便于是随机访问的数据存储，故一般用于存储批量大、使用频繁的数据和用于备份保存数据。
16、CAD系统由硬件和软件两部分组成。软件是实现CAD各项功能技术的核心；计算机软件是指与计算机操作使用有关的程序、规程、规则以其相关文档资料的总和。
17、CAD以软件可分为三类和起作用：
（1）系统软件 系统软件是直接配合硬件工作并对其它软件起支撑作用的软件，主要指操作系统及各种计算机语言等；
（2）支撑软件 CAD支撑软件是指在CAD系统中，支撑用户进行CAD的通用性功能软件；
（3）专用软件 专用软件是专门为适应用户特定使用条件需要而开发的软件。
18、系统软件包括操作系统、计算机语言、网络通信及管理软件和数据库及数据库管理软件；
19、支撑软件包括基本图形资源软件、二维三维绘图软件、几何造型软件、工程分析及计算软件和文档制作软件。

第三节 CAD系统的图形处理
1、最基本图素类型可分为两类：一类以直线线段为最基本图素，二类以点为最基本的图素。
2、坐标系统分为世界坐标系（无界的）、设备坐标系（有界的）和规格化设备坐标系（有界的）。
3、常对二维或三维图形进行各种几何变换（平移、旋转、缩放等）和投影变换（多面正投影、轴测投影、透视投影等）。无论哪种变换，只要保持图形上各特征点之间的连接关系不变而按一定的规律改变图形上各点的几何坐标，就可以得到经变换后的新的图形。
4、基本变换包括比例变换、压缩变换、对称变换、旋转变换和错切变换。
5、比例变换 对图形以坐标原点为中心进行放大或缩小的变换，
变换矩阵为 a和b分别x和y方向的比例因子。若为恒等变换；若为等比放大变换，为等比缩小变换；若则变换后的图形产生畸变。
6、压缩变换 将二维图形压缩到某条坐标轴或者原点的变换；将图形压缩到x坐标轴上 变换矩阵为；将图形压缩到y轴上
变换矩阵为；将图形压缩到原点上 变换矩阵为。
7、对称变换 图形以坐标原点为中心对称于坐标原点或者某一条轴线的变换；
关于x轴对称变换矩阵为；关于y轴对称变换矩阵关于原点对称的转换矩阵；对称于+45线对称时；对称于-45线时
8、旋转变换 在二维平面内，点或平面图形绕坐标原点旋转θ角的变换，且规定逆时针方向旋转为正，顺时针为负。旋转的变换矩阵。
9、错切变换 二维图形在某一个坐标轴方向的坐标值不变，而平行于另一个坐标轴的线倾斜θ角，或平行于两条坐标轴的线都倾斜θ角的变换；
沿x方向错切的变换矩阵；沿y方向错切的变换矩阵
沿x、y两个方向错切的变换矩阵
10、二维图形的变换矩阵中可实现图形的比例、对称、旋转、错切四种基本变换。的功能是实现平移变换，分别为x、y方向的平移。的作用是全比例变换；时等比例缩小；是等比例放大当时则为恒等变换。的作用是产生透视变换。
11、三维图形的几何变换矩阵式中为产生比例、对称、、旋转、错切四种基本变换；为产生沿三个轴向的平移变换；为全比例变换，时等比例缩小；是等比例放大当时则为恒等变换；的作用是产生透视变换。
12、三维在比例变换中a,e,j分别为x,y,z三个方向的缩放系数。
13、对称变换 基本对称包括对坐标原点、坐标轴以及坐标平面的对称变换；原理：关不变，不关则变；例如对xoy坐标平面对称时除立体上各点的z坐标改变外，x,y坐标均不变故变换矩阵.
14、旋转变换 绕x轴旋转θ角。立体绕x轴旋转时x坐标不变，y，z坐标变换，变换矩阵为。
15、错切变换矩阵的特点是主对角线元素为1，第4行第4列的其余元素全为0，即；沿x含y错切（沿列含行）的变换矩阵；沿z含y错切。
16、压缩变换 压缩到xoy平面时z坐标变为0，其变换矩阵为。
17、投影变换包括多面正投影、轴测投影和透视投影；
正投影的变换矩阵；侧面投影变换矩阵
水平投影变换矩阵；。
18、轴测投影变换包括正轴测投影和斜轴测投影；正轴测投影变换的方法：先使立体绕z轴旋转θ角，再绕x轴旋转角最后向xoz坐标平面投影。其变换矩阵
斜轴测投影图是使立体先沿x含y错切在沿z含y错切，最后向xoz坐标面投影形成的；其变换矩阵为。
19、透视投影变换 透视图和轴测图都是单面投影图，所不同的轴测图是用于平行投影原理形成的，透视图是用于中心投影原理形成的。灭点即直线上无穷远的透视点。
20、窗口是在用户坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域，只有在这个区域的图形才能在设备坐标系下输出，而窗口外的部分则被裁掉。用矩形左下角点的坐标和右上角的坐标来确定窗口的大小和位置。
21、视区是在设备坐标系中定义的一个矩形区域，用于输出窗口中的图形；视区决定了窗口中的图形要显示屏幕上的位置和大小。
22、窗口和视区的匹配，就是将两个矩形区域的点按相对位置一一对应起来。则有
窗口与视区有以下作用：固定视区的参数，改变窗口参数，可以改变视区中显示的比例。
（1）如果同时增大窗口的高度和宽度，则视区显示内容范围增大，图形比例缩小；
（2）如果只改动窗口左下角坐标，则显示的比例不变，但显示的范围产生左右、上下移动。
如果要使窗口——视区变换后的图形在视区中输出时不产生失真现象，在定义窗口和视区时，必须保证是窗口和视区的高度和宽度的比例相同。
23、Cohen—Sutherland算法亦称为编码裁剪法考虑：每一线段或者整个位于窗口的内部，或者能够被窗口分割而使其中的一部分很快地被舍去。算法分为两步：（1）先确定一条线段是否整个位于窗口内，若不是，则确定该线段是否整个位于窗口外，若是则舍去；
（2）如果第一步的判断不成立，那么就通过窗口边界所在的直线将线段分成两部分，再对每一部分进行第一步测试。
第一位是端点在窗口的左侧，第二位是端点在窗口的右侧，第三位是在窗口的下侧，第四位是在窗口的上侧。如果两个端点的编码都为“0000”，则线段全部位于窗口内，如果两个端点的位逻辑乘不为0，则整条线段必位于窗口外。
24、消隐算法中的基本测试方法有面可见性测试、最小最大测试、包含性测试和深度测试。
25、面可见性测试基本思想是：平面外法矢指向观察者方向的面是可见的，否则是不可见；这种测试是通过计算法矢N和视线矢量S的夹角来实现的；当法线矢量N和视线矢量S的夹角大于时，为可见面；当法线矢量N和视线矢量S的夹角小于时，为不可见面。
26、最大最小测试有四个不等式设两个多边形分别为A和B,

43、包含性测试就是检查一个给定的点是否位于给定的多边形或多面体内。
27、深度测试是用来测定一个物体遮挡其它物体的基本方法。
28、参数化绘图是一种利用零件或产品在形状上的相似，以基本参数作为变量，编制好、相应的程序或通过系统提供的功能来定义图形的方法。
29、变量化设计是指设计对象的修改需要更大的自由度，通过求解一组约束方程来确定产品的尺寸和形状，约束方程可以是几何关系，也可以是工程计算条件。
30、参数化绘图方法包括作图规则匹配法、几何作图局部求解法和辅助线作图法。辅助线作图法的优点是作图过程符合设计人员的打样习惯，先勾划总体轮廓，再细化结构，增加过渡圆角和倒角等。
31、事物物性表是一种组合队列对象的事物和关系特性的表格。所谓对象组是指一定的同族对象的组合，事物物性表可用于概括地描述、限制和选择标准的、非标准的，物质和非物质的以及相互近似的事物对象。事物物性表在计算机内采用ASCII文件的存储式。
32、标准件图特性文件的七个特性和作用：
（1）产品标准特性 它是指事物物性表中A~J标识的所有参数；
（2）主导特性 它是事物物性分类中一个子集，用来区分标准件的具体规格。
（3）补充特性 （4）功能特性 （5）算法特性
（6）分类特性 它们是用来区分标准件类别的一组特性。
（7）属性特性 用来说明标准件某方面属性的信息。
33、标准件图形构成可以分为四个层次：A类构件、B类构件、K类构件、G类构件；A类构件是最基本的通用几何元素；B类构件是专用某一图形文件的通用元素；K类整件是由一个或若干个A类或B类构件组成；G类组件是由几个整件和必要的A、B构件组成。
34、形成装配图的方法：子图拼合法和集合运算法。
35、子图拼合法的基本原理是将装配图分解成一些子图形，绘制装配时调用已编制好的子图形程序，将子图形组合到合适的位置，最终完成整幅装配图的绘制；特点：对软件的要求较低，但要编制专用的装配图程序，且输入的参数较多，修改设计及应变能力较差。
36、集合运算法的基本思想是先编制一些对应于零件的基本图形，然后对基本图形进行并、交、差集合运算，以形成复杂的图形，最后分清零件的层次，再绘上剖面线，完成装配图的绘制；特点：对硬件的要求较低，通用性较强，使用方便灵活，有较大的实用价值。
37、几何模型按其描述和存储内容的特性可分为线框几何模型、表面几何模型以及实体几何模型。
38、线框几何模型是物体各外表面之间的交线组成物体外轮廓的框架；线性模型就是利用物体的棱边和顶点来表示其几何形状的一种模型。
特点：结构简单，易于处理，其输入可通过键盘输入线段两端点坐标值来实现，完全适合从任何方向输出三视图和透视图等。难以用来输出物体的剖面图、消隐处理以及画出两个面的交线或轮廓线。
39、表面几何模型是在线框模型的基础上发展起来的；它除了存储线框线段外，还存储各个表面的几何描述信息。如当两个平面相交时，可求出其交线以及隐藏线，也可求出形体的剖面线；不能自动进行体积、重量、重心等计算；在透视投影中也不能自动消去隐藏线等。
40、实体几何模型存储完整的三维几何信息；基本体素是由表面定义，并说明了表面的那一侧存在实体。它可以区分物体的外部和内部，可以提取各部分几何位置和相互关系的信息；这种模型支持绘图真是感强和消去隐藏线的透视图和渲染图，自动计算生成剖面图；自动进行物性计算；可以将有关零件组装在一起，动态显示其运动状态，并检查空间能否发生干涉；支持三维有限元网格自动剖分等。
41、CSG方法（体素构造法）基本思想是：各种各样形状的几何形体都可以由若干个基本单元，经过有限次形集合运算构建得到。
拼合运算主要有交、并和差三种运算；CSG方法所要存储的几何模型信息是：所用的基本形体的类型、参数和所采用的拼合运算过程。
42、B-rep方法（边界表面表示法）基本思想是：几何实体都是由若干个边界外表面包容，可以通过定义和全面储存这些边界外表面信息的方法建立实体几何模型。
B-rep方法将实体外表面几何形状信息数据分为两类：几何信息数据和拓扑信息数据。几何信息数据包括各外表面顶点坐标值和描述各外表面数学方程式的系数值。拓扑信息数据指各表面组成及其相互位置关系。体——面——边——顶点的联系关系，就是物体拓扑信息的基本内容。
43、光影投影法的基本原理是：模拟照相的逆过程，从观察点出发向显示器屏幕的每一像素投射光线。
44、欧拉炒作给用户提供了直接使用顶点、边、面等基本元素构造三维形体的手段。狗仔过程从最底层开始：先输入一个点，做为建立体的开始；然后输入第二点，与第一点相连形成一条边；若干条边构成一个面的世界；若干个面围城一个体等。式中，V、E、F、R、S、H分别表示物体的顶点数、边数、面数、内环数、不相连的物体个数以及物体上的通孔数。
45、在进行复杂形状的外形设计或对任意的几何形状进行描述和存储时，CAD技术采用的基本做法是：给出或记录一系列离散点的空间坐标，将上述离散点分段并选择某一个函数模式分段内离散点之间任意点的坐标。上述计算过程又称为拟合或插值。
46、特征指的是反映零件特点的、可按一定原则分类的、具有相对独特意义的典型结构形状。基于特征的造型称为特征造型。基于特征的造型把特征作为产品零件定义的基本单元，如利用孔、槽、凸台等来描述形体的形状。
47、产品特征分为形状特征、精度特征、工艺特征、材料特征和装配特征等。
48、特征的表达模式主要分为集成模式和分离模式。

第四节 工程数据的计算机处理
1、设计资料的处理方法有两种：程序化和数据库存储。
2、程序化 即在应用程序内部对这些数表及线图进行查表、处理或计算。具体处理方法有两种：第一种是将数表中的数据或线图经离散化存入一维、二维或三维数组，用查表、插值等方法检索所需要数据；第二种是将数表或线图拟合成公式，编入程序计算出所需数据。
3、数据库存储将数据表及线图中的数据按数据库的规定进行文件结构化，如确定文件名、字段名、字段类型、字段高度等，存放在数据库中，数据独立应用程序，但又能为所有应用程序提供服务。
4、插值的基本思想是在插值点附近选取几个适合的节点，过这些选取的点构造一个简单函数，在此小段上用代替原来函数，这些插值点的函数值就用的值来代替。
5、线性插值条件是给定x，求其函数值，步骤：1）选取两个相邻自变量与，满足条件。2）过及两点连线直线代替原来的函数，则y为
6、抛物线插值公式：

7、线框的程序化有三种处理方法：第一找到线框原来的公式将公式编入程序。第二将线框离散化为数表，再用前面所述方法加以处理。第三用曲线拟合方法求出线图经验公式。
8、最小二乘法的多项拟合：设拟合公式为求解方程组
系数有（n+1）个，方程也是（n+1）个
9、最小二乘法的多项式拟合时要注意一下问题：1）多项式的幂次不能太高，一般小于7，可先用较低的幂次，如误差较大则再提高。2）一组数据或一条线图有时不能用一个多项式表示其全部，此时应分段处理，分段大都发生在拐点或转折之处。
10、最小二乘法的其它函数1）幂函数，2）指数函数先去对数再用拟合。3）对数函数
11、数据库系统存在显著特征：
1）实现了数据共享，减小数据冗余。2）数据存储结构化。3）增强了数据的独立性。4）加强了对数据的保护。
12、最常见的数据模型有三种：层次型、网络型和关系型；
（1）层次型是指记录间是树型的组织结构。
（2）网络型是指事物之间为网络的组织结构。

（3）关系型是以集合论中的“关系”概念理论基础，指把信息集合定义为一张二维表的组织结构，每一张二维表称为一个关系，表中的每一行为一个级了，每一列为数据项。

第二章 优化设计
第一节 优化设计概论
1、 优化设计亦称最优设计，它是以数学规划理论为基础，以电子计算机为辅助基础的 一种设计方法。它首先将设计问题按规定格式建立数学模型。并选择合适的优化方法，选择或编制计算机程序，然后通过电子计算机计算自动获得最优设计方安。
2、 优化设计可分为：直接法和求导法。
3、 优化问题按照目标函数的性质和约束条件可分为无约束问题和有约束问题。
4 解无约束问题的主要方法：直接搜索法和梯度法。
5、 建立优化设计数学模型的基本步骤：
l 识别要确定的未知变量，并用代数符号表示它们。
l 识别目标或判别标准，并将其表示为最大化或最小化的函数。
l 识别问题的约束或限制，并将它们表示成未知变量的 线性或非线性的 等式或不等式组。
6、 优化设计的数学模型一般由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素组成。其含义为在一定条件下，追求目标函数的极小值（或极大值），而求得一组设计变量值。
7、 在设计过程中有些参数的数值要优选确定,这种参数称为设计变量.
8、 某个设计方案有n个设计变量X1、X2、…、Xn,可以按一定顺序排列成数组,表示一个n维矢量，它可以在n个设计变量为坐标轴组成的n维欧氏空间中用一个点来表示。这个n维欧氏空间Rn称为设计空间。
9、 在优化设计中，对设计变量取值时的限制条件称为约束条件。
10、条件约束可分为：边界约束（区域约束）和性能约束（性态约束）。
11、优化设计的目的是在一切可行方案中评选出一个最优的方案,这就需要有一个设计方案的标准.
12、 优化设计大设计变量与某种衡量标准的关系用函数式表达式,追求该函数值最小(或最大),以求得一组设计变量值,从而获得最优方案.此函数称为目标函数.
13、 当给定F(X)一系列数值,如1,…,9,…时,在平面内得到相应的一系列平面同心圆,每一个圆上任一点的目标函数值相等,这些同心圆是等值线.
14、 目标函数与设计变量的关系
a) 设计变量与一个目标函数之间的函数关系,是二维平面上的一条曲线.
b) 当有两个设计变量时,目标函数与他们的关系是三维空间的一个曲面.
c) 当有n个设计变量时,则目标函数与n个设计变量呈n+1维空间的超越曲面关系.
15、 等值曲线族越密,表示函数值越大；等值曲线越疏，就表示目标函数值变化平缓。
16、对于三维设计问题，其等值函数就是一个面，叫作等值面。
17、当目标函数F(X)和约束条件（X）、（X）都是设计变量的线性函数时，列出这种数学模型并求解的工程，通常较非线性规划。
18、如果目标函数F（X）和约束条件（X）、（X）中有一个或对个是设计变量的非线性函数，列出这样的数学表达式并求解的工程，称为非线性规划。

第二节 优化设计的基本概念
1．偏导数
（1） 一元函数中的导数是描述函数相对于自变量的变化率。如函数F(X)在处对的偏导数，记作
（2） 多元函数的偏导数是描述函数只相对于其中一个自变量的变化率，而其余自变量保持不变。
2.方向导数
（1）偏导数是函数F（X）沿平行于坐标轴的各个特殊方向的变化率。对于函数沿任意给定方向的变化率，则需采用方向导数的概念。
（2）方向导数描述函数在某点沿给定方向的变化率。
3.梯度
（1）梯度是函数F（X）对各个设计变量的偏导数所组成的列矢量，并以符号“”或grad(X)表示，即
=
（3）梯度是一个矢量，它是函数变化率最大的方向上的矢量。函数F（X）在某点的梯度，是以其偏导数为分量的矢量,即
grad(X)= =
梯度的模为
=
它是函数的最大变化率。
（4）函数的梯度方向是函数变化率最大的方向，正梯度的方向是函数值的最快上升的方向。负梯度的方向是函数值最快下降的方向。从几何讲，函数某点的梯度方向是过该点等值线的法线方向，它与过等值线该点的切线方向垂直。
（5）若函数在某点有极值，则该点的所有一阶偏导数必定为零，即为零矢量。
4、一元函数的极值
(1) 若一元函数F(X)连续可微，在给定区间内的一点有极值，其必要条件为
一阶导数为零的点为驻点。驻点不一定是极值点，单极值点一定是驻点，驻点是极值点存在的必要条件，并非充分条件，充分条件可以通过二阶导数判断：
l 若在驻点附近有，则该点为极大点。
l 若在驻点附近有，则该点为极大点。
5、二元函数的泰勒战开式

n元函数的泰勒展开式：

6、Hessian矩阵：函数F(X)在点的二阶偏导数矩阵，常用H(X)表示。这个矩阵是对称矩阵。
7n元函数的 Hessian矩阵：

因为函数有n个变量，所以它的Hessian矩阵是x阶的二阶偏导数对称矩阵。
8、一个函数的驻点是极大值还是极小值，可以通过判别一个特定二次型是正定还是负定。
9、二次型函数
（！）二次型矩阵： F(X)= 是对称矩阵。
（2）如果对于所有的非零矢量X，若,则称二次型F(X)= 是正定的；若成立，则称F(X)= 是负定的。
10、多元函数的极值
l 对于多元函数，其极值点的必要条件是梯度.
l 当正定，为极小值;
l 当负定，为极大值;
l 当不定，为鞍点;
11、正定与负定的判断
（1）实二次型正定的充分必要要条件为矩阵A的顺序主子式均大于零。
（2）若所有奇数阶顺序主子式均小于零，而所有偶数阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为负定。
12、设一元函数F（x），若函数曲线上任意两点的连线永远不在曲线的下方，则称为凸函数。相反，若两点连线永远不在曲线上方，则称为凹函数。
13、如果F(X)是凸集上的凸函数,则它在上最多只有一个局部极小点,因此在上的极小点一定是上的全局极小点.
14、约束极值点存在的条件可用库恩—塔克最优条件解决。
15、一个约束点存在的必要条件：目标函数梯度可表示成诸约束面梯度线性组合的负值，即：

16、库恩—塔克条件事约束优化问题极值的必要条件，而不事充分条件。只有当目标函数为凸函数，约束函数也是凸函数（或是凹函数）时，即凸规划问题时，其局部优点就事全局优点，则库恩—塔克条件应该是该极值的必要充分条件。
17、迭代法的基本思想是“步步逼近”，最后达到目标函数的最优点。每一步的迭代形式：
如果满足，则认为为局部最小点。否则继续搜索。
18、搜索方向S的选择，应首先保证沿此方向进行搜索时，目标函数值不断下降，同时应尽可能地使其指向最优点，以缩短搜索的路程合时间。显然，搜索方向S沿着目标函数值的最速下降方向，即负梯度的方向有利的。
19、迭代中止的准则：
（1）当设计变量在相邻两点之间的移动距离已充分小时，可用相邻两点的矢量差的模作为终止迭代的判据：
（2）当相邻两点目标函数值之差已经达到充分小时，可用两次迭代的目标函数值之差作为迭代终止的判据：
（3）当迭代逼近极值点时，目标函数在该店的 梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为终止判据：

第三节 一维搜索方法
1、0.618法又称黄金分割法，要求定义在区间上的函数为单峰函数，通过不断舍弃右端或左端的一部分，逐步把区间缩小，直至极小点所在区间缩小到给定误差范围内，从而得到近似的最优解。这种方法属于试探法。
l 在区内任两点、，计算函数值为F()和F()，比较两个函数值的大小
（1） 当F()F()时，搜索区间缩小为。
（2） 当F()F()时，搜索区间缩小为。
（3） 当F()F()时，搜索区间缩小为。
2、0.618法的基本思想是在选定的 单峰区间内，不断消去一部分区间，把区间越缩越小，而且每次缩短率都相等，且等于，直至极小点所在的区间小至满足精度要求，再取最后区间的中点作为近似最优点。
3、插值法
（1） 二次插值法的基本思想：在选定的单峰区间内取一点，连同两端点，利用这三点的函数值构称一个二次多项式，作为原函数的近似，求出近似二次多项式的极小点作为原函数的近似最优点。这种方法是利用多项式逼近的近似法。
（2） 符号置换是为了缩小后的区间符号与原来区间用的 符号一致，便于迭代运算。

第四节 无约束设计的最优化方法
1、 若目标函数F(X)是定义在n维欧氏空间上的函数，求n维设计矢量X=，使得F(X)极小，即

且求其解时对X取值不加任何限制。这种求解问题的方法称为无约束设计的最优化方法。
2、 无约束优化方法可分为两大类：
（1） 只利用目标函数构成的搜索方法，如坐标轮换法、Powell法、单纯刑法。
（2） 利用目标函数的一阶导数甚至二阶偏导数构造的搜索方法，如梯度法、共轭梯度法、变尺度法、牛顿法。
l Powell法是在下降迭代运算中只需计算和比较目标函数值的大小，不需计算偏导数的方法。
l Powell法是以共轭方向作为搜索方向的做法。
l 共轭方向的概念：
设A为阶实对称正定矩阵。若有两个n维矢量与满足

的关系时，则矢量与对于实对称正定矩阵A共轭。
l 选用共轭方向作为搜索方向能够取得良好的效果，主要由共轭方向的性质所决定。这个性质是：对于n维正定二次函数，从任意初始点出发，依次沿着与矩阵A为共轭的n个线性无关的方向、、、进行一维搜索，则能在第n步或n步以前达到极小点。
3、Powell法的共轭方向是在迭代过程中逐步产生。
4、Powell法的基本步骤;
l 给定初始点,收敛精度及各坐标方向的单位矢量（i=1，2，，n）。
l 进行第一轮搜索，构成第一个搜索方向。从出发，沿线性无关的方向进行一维搜索，相继取得一维极小点，并取得第一个共轭方向，再沿作一维搜索，求一维极小点。
l 进行第二轮搜索，构成第二个共轭方向。考虑新产生的共轭方向比原坐标方向好，故删除方向，以方向代之。然后从出发。沿方向，作为第二轮搜索，相继取得一维极小点，取其首末两点连线方向为第二个共轭方向。
l 以后每一轮搜索，均以新取得的共轭方向替代上轮搜索的头一个坐标方向。经过n轮搜索之后，构成n个相互共轭的方向。
5、Powell修正法
每次替换的原则是去掉矢量组中首位的坐标方向，在末尾加上新产生的共轭方向，而没有考虑这些矢量本身的状态，有时可能出现在以新方向组替换旧方向组时新方向组线性相关的情况，从而导致收敛不到真正的最优点，为了克服这个严重缺点，Powell修正算法，对搜索方向作了修改。主要改进是：每次迭代过程中沿方向搜索之前，先判别一下沿此方向寻优是否有效，如果有效则取它为搜索方向，否则便抛弃此方向，仍按坐标方向（i=1，2，，n）进行下一次迭代。
6、梯度法：又称最速下降法，它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，来求目标函数的最小值。梯度法是最早且最基本的一种迭代方法。
l 梯度法的迭代公式

l 梯度法的迭代步骤：
a、 给定迭代的初始点,允许误差，置k=0；
b、 计算迭代点的梯度和方向=；
c、 检验是否满足，满足则停止迭代，否则进行下一步；
d、 计算最优步长因子；
e、 迭代计算；
f、 令k=k+1转下一步计算。
l 梯度法的特点
梯度法是一种较老的方法，其迭代计算比较简单，只需要求一 阶偏导数，所占有的存储单元少，对初始点的要求不高。
7、 共轭梯度法
a) 共轭梯度法的基本原理
共轭梯度法简称FR法，利用目标函数的梯度确定共轭方向，使计算简便而效果又好。
l 共轭梯度法的迭代步骤
i. 任选一初始点，给定计算精度和输入维数n，计算函数F(X)在初始点处的梯度

令k=0，取第一次搜索方向为函数在初始点的负梯度方向，即
=
ii. 用一维搜索求的最优解，求出最新点

并计算在的梯度

iii. 判断精度，若满足

则停止计算，否则执行下一步。
iv. 判断k+1是否等于n，若k+1=n，则令，并转步骤a；若k+1n，则转下一步。
v. 计算共轭方向

vi. 令k=k+1，转步骤b；
8、 变尺度法：又称D.F.P法，是求解无约束极值问题最有效的算法之一。
9、变尺度法的基本思想：为了得到既有快速收敛的性质，又能避免计算二阶导数矩阵及其逆矩阵，减少计算工作量，而提出了这种算法。

第五节 有约束优化设计的方法

1、有约束优化方法根据对约束的处理方法不同，可以分为直接法和间接法
（1）直接法的基本思想是设法使每一次的迭代点都能在可行域内，并逐步降低目标函数值，直至最后得到一个在可行域内的约束最优解；
即在迭代过程中，搜索方向和迭代步长都要经过可行性和适合性条件的检查；
直接法的有：复合形法、简约梯度法。
（2）间接法的基本思想是把有约束问题通过一定形式的变换，转化成无约束优化问题，然后用无约束方法求解，属于罚函数法等。
2、复合形法的基本思想：在空间的开行业内选个设计点，作为初始复合形的顶点，构件一个多面体；然后对多面体各顶点的函数值逐个进行比较，目标函数最大的为坏点，按照一定规则去掉坏点而代以新点，构成一个新的多面体；依此步骤重复多次，使复合形的位置逐步调向邻近最优点，最后以顶点中目标函数值最小点，作为最优点而得解。
3、对于n维问题，复合形顶点数不能少于n+1个，通常取。
4、复合形法的具体迭代步骤：
（1）初始复合形的产生 对初始复合形个顶点的基本要求每个顶点都在可行域内且在个点中至少有n+1个点的矢量是线性无关的。
（2）寻找映射点 先计算个顶点的目标函数值，并从中找出函数值最大的和最小的；（为映射系数，常为1.3）。
（3）比较函数值，构成新复合形 计算映射点的目标函数值，并与比较，此时可能有两种情况：
1）如果，可用映射点替换坏点形成新复合形，完成一次迭代，转向（2），找新的映射点。
2）如果，这可能是映射点过远的原因，可将值减半，缩短步长，重新计算映射点。这时若且为可行点，可转向（2），否则再将值减半。如此反复进行，直至值已小到一个预先给定正数（例如），仍不能使映射点优于坏点，这说明方向可能不好，可改为次坏点代替并转入步骤（2），重新进行迭代计算，构成新复合形。
（4）终止迭代 新复合形构成之后，用精度要求条件判别。不满足则重复步骤（2），继续迭代。
5、罚函数是解约束优化问题的间接法，适用于求解具有不等式约束和等式约束条件的优化设计问题。
它的基本思想是把一个有约束的问题转化为一系列无约束问题求解，逐渐逼近于目标函数的函数的最优值
定义：罚函数法是在原目标函数中添加一些与约束函数有关的项，形成一个新的目标函数（即罚函数），以取代元目标函数，然后用无约束优化方法求新目标函数的最优解。
6、根据惩罚项的函数形式不同，罚函数法分为内点法、外点法和混合法三种。
7、内点法函数法：是把新目标函数定义于可行域，因此其初始点和后面产生的迭代点序列也是必然在可行域内的。这种方法是求解不等式约束最优问题的方法。不能处理等式约束。
为惩罚因子，是递减的正数数列。当惩罚因子r趋近于零时，内罚函数趋于F(X)。因此，内罚函数的最优解趋于可行域内F（X）的最优点。
9、 内点法有两个缺陷：
(1) 不能处理等式约束问题，因