DFT-Nuttall窗加权谐波分析算法.doc

第30卷 第9期 仪 器 仪 表 学 报 Vol.30 No. 9
2009年9月 Chinese Journal of Scientific Instrument Sep. 2009
Nuttall窗加权谐波分析算法及其在
电能计量中的应用*
温　和，滕召胜，李聪聪，贺静丹，魏双双
（湖南大学电气与信息工程学院　长沙　410082）
摘　要：采用FFT进行电网信号谐波参数分析时存在频谱泄漏，准确度较低。研究提出了一种基于Nuttall窗函数的频谱相位差校正算法，分析了Nuttall窗函数的时域、频域特性，建立了频谱相位差校正算法的流程，推导了信号谐波参数计算式，给出了算法在三相谐波电能计量中的实现方法。采用Nuttall窗对电压、电流信号进行加权，利用Nuttall窗旁瓣电平低、旁瓣衰减快的特点可有效减少频谱泄漏；运用频谱相位差校正方法进行信号频谱校正与分析，不必求解高次方程即可实现电网信号谐波参数分析。仿真与实际运行结果表明，非同步采样情况下，本文算法可以准确地实现电网信号谐波分析，实现电能的准确计量。
关键词：Nuttall窗；谐波分析；频谱泄漏；相位差；电能计量
中图分类号：TN911　TM714　　文献标识码：A　　国家标准学科分类代码：470.4037
Harmonic analysis algorithm based on Nuttall window and
its application in power measurement
Wen He, Teng Zhaosheng, Li Congcong, He Jingdan, Wei Shuangshuang
（College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China）
Abstract：The precision of harmonic analysis is affected by spectral leakage when using FFT in electrical signals. A new phase difference revision algorithm of discrete spectrum for Nuttall window weighted signal is proposed in this paper. The characteristics of Nuttall window are studied, and the workflow of the new algorithm is given. The application of the algorithm in power measurement is introduced. Nuttall window has optimal side lobe levels and the side lobes of the Nuttall window decay at a fast rate. Hence, spectral leakage can be reduced when the voltage and current signals are weighted by Nuttall window. The phase difference revision algorithm has the advantages of computational efficiency and easy implementation for Nuttall window weighted signal. Simulation results and power measurement application show the effectiveness and practicability of the algorithm
Key words：Nuttall window; harmonic analysis; spectral leakage; phase difference; power measurement

第9期 温　和 等：Nuttall窗加权谐波分析算法及其在电能计量中的应用 1825
1　引　　言
电力系统谐波的准确检测为电能计量与电能质量分析、故障诊断、电力谐波抑制与补偿等提供科学依据[1-3]。快速傅里叶变换（FFT）易于在DSP等嵌入式系统中实现，应用广泛。由于非同步采样和数据截短的影响，采用FFT进行谐波分析会产生频谱泄漏和栅栏效应，降低了电力系统谐波分析的准确度[4]。
收稿日期：2008-08　　Received Date：2008-08
*基金项目：国家自然科学基金（60872128）资助项目
电力系统基波频率往往存在波动，即使采用了频率跟踪技术，也难以做到严格的同步采样[5]。为减少频谱泄漏和栅栏效应的影响，国内外学者研究了加窗插值FFT信号分析方法[6-7]，分别采用矩形窗[5]、Hanning窗[6]、Blackman-Harris窗[7-8]、Rife-Vincent窗[9]和矩形卷积窗[10]等实现插值FFT信号谐波分析，提高了准确度。但采用插值FFT方法进行信号谐波参数分析时，一般需要求解高次方程（一元五次或七次方程），特别是采用高阶余弦组合窗时，计算量较大[11-12]。为避免复杂运算，丁康等提出了一种基于对称窗的离散频谱相位差校正法[13]，该方法不需求解高次方程。但是，由于经典窗函数的旁瓣特性不够理想，采用经典窗函数对电压、电流信号进行加权处理后仍存在较大的频谱泄漏[14-15]，频谱相位差校正法的准确度仍然受到窗函数特性的限制[16]。
为满足嵌入式系统实现和实际测量的要求，在分析了Nuttall窗旁瓣特性的基础上，本文提出一种采用Nuttall窗加权的信号频谱相位差校正算法，给出了其在电能计量中的应用，分析了Nuttall窗函数的时域、频域特性，推导了信号基波及各次谐波分量的参数计算公式。仿真结果表明本文算法能准确地实现基波与谐波参数测量。Nuttall窗加权频谱相位差校正算法在三相多功能谐波电能表中的应用验证了其有效性和准确性。
2　Nuttall窗函数
Nuttall窗是一种余弦组合窗[17]，其时域表达式为：
(1)
式中，窗函数的项数为M，且n=1，2，…，N–1。结合傅里叶变换，可得Nuttall窗的频谱函数的表达式为：
(2)
式中：WR(w)为矩形窗的频谱函数，令w=2πk/N，得到Nuttall窗的离散频谱函数为：
(3)
表1　Nuttall窗系数
Table 1 Parameters of Nuttall window
bm
三项最小旁瓣
四项一阶
四项三阶
四项最小旁瓣
b0
0.424 380
0.355 768
0.338 946
0.363 581 9
b1
0.497 340 6
0.487 396
0.481 973
0.489 177 5
b2
0.078 279 3
0.144 232
0.161 054
0.136 599 5
b3
—
0.012 604
0.018 027
0.010 641 1
表1给出了几种典型的Nuttall窗函数系数。图1分别给出了Nuttall窗三项一阶（最小旁瓣）窗、四项一阶窗、四项一阶最小旁瓣窗、四项三阶窗的归一化幅频响应曲线。从图1可见，Nuttall窗四项窗旁瓣电平较低，但其主瓣宽度比三项窗要宽。表2列出了Nuttall窗与经典余弦组合窗的旁瓣特性参数。

(a)

(b)

(c)

(d)
图1　Nuttall窗幅频响应曲线
Fig.1 Frequency response of Nuttall window
采用窗函数对信号进行加权时，窗函数的旁瓣电平大小和旁瓣衰减速率影响频谱泄漏量。选用旁瓣电平低且衰减速率大的窗函数能减少频谱泄漏，降低谐波间相互干扰，提高信号谐波参数分析的准确度。
参见表2四项三阶Nuttall窗具有较好的旁瓣特性，旁瓣衰减速率快（30 dB/oct），最大旁瓣电平为–83 dB，因此，采用四项三阶Nuttall窗应具有较好的频谱泄漏抑制效果。但是，Nuttall窗的主瓣随着项数的增加而变宽，项数增加的同时也在一定程度上降低了频率分辨率。
表2　典型窗函数的旁瓣特性
Table 2 Comparison of typical window characteristics
窗的类型
主瓣宽度
旁瓣电平
（dB）
旁瓣衰减速率（dB/oct）
Rectangle
4π/N
–13
6
Triangle
8π/N
–27
12
Hamming
8π/N
–43
6
Hanning窗
8π/N
–32
18
Blackman窗
12π/N
–58
18
Blackman-Harris窗
16π/N
–92
6
三项最小旁瓣Nuttall窗
16π/N
–71
6
四项一阶Nuttall窗
16π/N
–93
18
四项三阶Nuttall窗
16π/N
–83
30
四项最小旁瓣Nuttall窗
16π/N
–98
6
3　Nuttall窗加权频谱相位差校正方法
采用Nuttall窗对信号进行加权后，可以减少频谱泄漏的影响，对FFT运算后得到的信号频谱进行相位差校正，可准确地求解信号参数。Nuttall窗加权信号频谱相位差校正算法首先在长度为的序列中分别选取1~N的序列段1和1+L~N+L的序列段2，分别对两段信号进行Nuttall窗加权运算。一般选取N为2的整数次幂（如512或1024），L为信号时域平移长度（0为第h项谐波的幅值和初相角。信号x(t)经采样频率为fs的数据采集系统后，得到离散序列：
(5)
信号x(n)(n=0，1，…, N–1)被截短为N点长序列段1和序列段2，并采用Nuttall窗函数分别对序列段1和序列段2进行加权处理。FFT运算后，序列段1的离散频谱为：
(6)
式中：Dkh=k–hk0(k=fN/fs，k0=f0N/fs)为离散频谱中第h次谐波真实频率处与离散谱线之间的偏差。
第h次谐波的频率fh=hf0与第kh根谱线所指频率fh′=khfs/N之间存在偏差：
(7)
利用第kh根谱线及相邻谱线，结合Nuttall窗谱函数，可求解第h次谐波参数。第kh根谱线处相位为：
(8)
设序列段2的离散频谱为，同理，根据离散傅里叶变换性质得到其第根谱线处的相位为：
(9)
序列段1和序列段2在第根谱线处形成的相位差为
Dφh=φh′–φh，由于相位差Dφh一般在(–2π，2π)的区间，需要对相位差按文献[13]所示方法进行调整，使Dφh处于(–π，π)区间，结合式（8）和式（9），调整后的Dφh可写为：
(10)
参见式(10)，第h次谐波的频率偏差校正量为：
(11)
根据式(7)和式(11)，离散频谱中第h次谐波真实频率处与离散谱线之间的偏差为：
(12)
因此，第h次谐波的频率、初相角和幅值分别为：
(13)
(14)
(15)
设通过式(14)和式(15)计算后得到的第次谐波的电压、电流的幅值分别为Auh和Aih，电压、电流的初相角分别为和，则第h次谐波的瞬时有功功率、无功功率的计算式为：
(16)
(17)
则第h次谐波的平均有功电能、无功电能为：
(18)
(19)
第9期 温　和 等：Nuttall窗加权谐波分析算法及其在电能计量中的应用 1827
4　Nuttall窗加权频谱相位差校正方法
4.1　含基波和2~21次谐波的信号仿真实验
设包含基波和2~21次谐波的信号时域表达式为：
(20)

式中：基波频率f0为50.3 Hz；采样频率为2 500 Hz；h为谐波次数；Ah和分别为第次谐波的幅值和初相角，具体取值见表3。
表3　基波及谐波参数
Table 3 Parameters of the signal

1
2
3
4
5
6
7
(V)
20
7.2
5.5
4.6
3.5
2.3
1.6
(°)
75
60
42
26
32
66
58

8
9
10
11
12
13
14
(V)
1.1
1.3
0.9
0.6
0.4
0.5
0.7
(°)
27
84
65
46
62
15
72

15
16
17
18
19
20
21
(V)
0.85
0.64
0.51
0.39
0.4
0.2
0.1
(°)
43
23
18
67
35
19
48
表4给出了选取长度N=512的四项三阶Nuttall窗进行仿真的结果。采用本文算法对微弱幅值频率分量（如第21次谐波）进行检测时，幅值相对误差为0.0002%，相角相对误差为-0.012 1%；对基波和2~21次谐波检测的幅值相对误差均<0.001%，相角相对误差均<0.1%。仿真结果表明：非同步采样时，四项三阶Nuttall窗能有效克服频谱泄漏影响，实现对基波和2~21次谐波分量的幅值、初相角的准确检测。
表4　Nuttall窗进行谐波分析的仿真结果
Table 4 Simulation results with Nuttall window
谐波次数
1
2
3
4
5
6
7
幅值相对
误差(%)
0.000 2
0.000 6
-0.000 3
-0.000 9
-0.000 3
0.000 2
0.000 1
初相角相对
误差(%)
0.002 1
0.021 8
0.024 8
0.033 3
-0.004 9
0.002 1
0.013 9
谐波次数
8
9
10
11
12
13
14
幅值相对
误差(%)
-0.000 9
0.001 4
0.000 3
0.000 3
0.000 1
-0.001 1
0.001 3
初相角相对
误差(%)
0.054 0
-0.012 1
0.003 3
0.010 8
0.006 2
0.079 0
0.010 5
谐波次数
15
16
17
18
19
20
21
幅值相对
误差(%)
0.000 4
0.000 3
-0.000 1
0.001 8
0.000 1
0.000 3
0.000 2
初相角相对
误差(%)
0.010 0
0.036 2
0.028 7
-0.020 8
0.001 6
0.019 9
-0.012 1
4.2　采用不同窗函数时的仿真实验
利用式(20)所示信号，分别采用Hanning窗，Blackman窗、Blackman-Harris窗和四项三阶Nuttall窗对信号进行加权，并运用频谱相位差校正算法进行参数计算。图2给出了采用不同窗函数进行仿真得到的基波和2~21次谐波幅值绝对误差曲线。

图2　不同窗函数进行仿真的绝对误差
Fig.2 Simulation results for different windows
由图2可见，分别采用Hanning窗，Blackman窗、Blackman-Harris窗和四项三阶Nuttall窗进行信号谐波幅值检测时，采用四项三阶Nuttall窗的准确度最高，其次为Blackman-Harris窗和Blackman窗。如图2所示，采用四项三阶Nuttall窗得到的幅值仿真检测结果较稳定，幅值相对误差<0.001%，而采用Blackman-Harris窗时，某些频率分量（如第12~14、17~19次等）的幅值相对误差均>0.001%，存在较大波动。仿真结果表明：Nuttall窗具有良好的旁瓣性能，可有效抑制频谱泄漏，因此，与Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗等经典窗函数相比，基于Nuttall窗函数的频谱相位差校正算法能有效提高谐波参数检测的准确度。
4.3　白噪声影响时的仿真实验
对式(20)所示的信号添加高斯白噪声序列，高斯白噪声的信噪比为60 dB，其余参数不变，选择窗函数长度为512的Nuttall窗和Blackman-Harris窗进行仿真，得到的幅值、初相角相对误差曲线如图3所示。

图3　白噪声存在时不同窗函数进行仿真的相对误差
Fig.3 Simulation results with white noise for
different windows
参见图3，白噪声对弱幅值分量的影响较大，如采用Blackman-Harris窗时，第17~21次谐波分量的幅值检测相对误差在[0.1%，1%]区间内，相角检测的相对误差约为1%；而采用四项三阶Nuttall窗时，第17~21次谐波分量的幅值检测相对误差在[0.01%，0.1%]区间内，相角检测的相对误差约为0.1%。由图3可见，白噪声存在时，采用四项三阶Nuttall窗进行信号参数分析时，基波和各次谐波分量的幅值、相角检测的准确度均比采用Blackman-Harris窗高1~2个数量级。
5　应用与讨论
基于Nuttall窗的频谱相位差校正算法已在湖南大学与湖南海兴电器公司合作研制的三相多功能谐波电能表中得到应用。如图4所示，三相多功能谐波电能表采用ADC+DSP+MCU结构形式，ADC选用ADI公司的AD73360，DSP选用ADI公司的ADSP-BF533，MCU选用RENESAS公司的M30624FGPFP。

图4　三相多功能谐波电能表结构框图
Fig.4 Structure sketch of 3 phase power meter
AD73360L对三相电网电压、电流信号进行实时采样，ADSP-BF533采用本文算法实现电流、电压的基波和2～21次谐波参数检测、基波与谐波电能计量，M30624FGPFP实现显示、数据统计、存储、通信以及功能选择等管理功能。三相多功能谐波电能表中，ADC采样频率设置为4kHz，选择长度的四项三阶Nuttall窗，表5给出了第21次谐波参数测量结果。
表5　第21次谐波参数测量结果
Table 5 Measurement results of the 21st harmonic

UA(%)
UB(%)
UC(%)
IA(%)
IB(%)
IC(%)
标准表
7.02
7.08
7.11
6.75
7.07
6.96
实测值
6.87
6.69
6.83
6.57
6.41
6.35
误 差
–0.46
–0.72
–0.59
–3.12
–3.23
–3.15
由表5可知，第21次谐波电压幅值的测量误差≤1%，第21次谐波电流幅值的测量误差≤3.5%，谐波电压、电流初相角误差≤5°，达到GB/T-14549-93的A类谐波测量仪器标准（谐波电压幅值的测量误差≤2%，谐波电流幅值的测量误差≤5%）。仪器于2007年12月通过湖南省电力试验研究院的测试，挂网运行半年来稳定可靠。
6　结　　论
为提高信号谐波分析准确度，本文提出一种基于Nuttall窗函数的频谱相位差校正算法，并将其应用于电能计量系统中。采用Nuttall窗对信号进行加权处理，并对离散频谱进行相位差校正。在分析了典型Nuttall窗的系数、旁瓣特性的基础上，本文给出了信号基波及各次谐波的频率、幅值和初相角计算公式。本文采用包含基波和2~21次谐波的信号进行仿真实验，分别选用Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗和四项三阶Nuttall窗函数进行仿真分析，结果表明：与经典窗函数相比，非同步采样时，本文算法能有效抑制谐波间相互干扰和白噪声影响，准确度更高。三相多功能谐波电能表的研制与检验结果证明了Nuttall窗信号加权频谱相位差校正算法的有效性和准确性。
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作者简介
温和，于2004年在湖南大学获得学士学位，现为湖南大学博士研究生，主要研究方向为智能信息处理。
E-mail: he_wen82@
Wen He graduated with BSc from Hunan University in 2004, now he is a PhD student in control theory and control engineering in Hunan University. His main major is intelligent information processing．
滕召胜，分别于1995年和1998年在湖南大学获得硕士和博士学位，现为湖南大学电气与信息工程学院教授、博士生导师，主要研究方向为智能检测与控制。
E-mail: tengzs@
Teng Zhaosheng graduated with MSc from Hunan University in 1995, and received PhD in 1998 there; now he is a professor in Hunan University. His main major is intelligent detecting and intelligent control system．