线性代数习题3.doc

《线性代数》习题3
一、单项选择题
1、当adbc时， =（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
2.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ）。
（A）小于m
（B）等于m
（C）小于n
（D）等于n
3.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ）。
（A）AT
（B）A2
（C）A-1
（D）A*
4、行列式（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
（A）若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2
（B）若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2
（C）若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0
（D）若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是（ ）。
（A）只含有一个零向量的向量组线性相关
（B）由3个2维向量组成的向量组线性相关
（C）由一个非零向量组成的向量组线性相关
（D）两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7、下列命题正确的是（ ）。
（A）如果有全为零的数 使，则，， 线性无关
（B）向量组，， 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则，，线性相关
（C）向量组，， 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关
（D）向量组，，线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示
8.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ）。
（A）ACB
（B）CAB
（C）CBA
（D）BCA
9.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ）。
（A）-8
（B）-2
（C）2
（D）8
10、，，和，，，为两个n维向量组，且
=+++
=+++

=+++
则下列结论正确的是（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）无法判定

二、填空题
1.已知矩阵，满足，则与分别是______、______阶矩阵。
2.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 。
3.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。
4.矩阵的行向量组线性______。（填“相关”或“不相关”）
5.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= 。

三、计算题
1.设二次型为正定二次型。求的取值范围。
2.求向量组的一个最大无
关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
3.计算行列式的值。
4.求向量组，，，
的一个最大线性无关组及向量组的秩。
5.已知A=B，且，，求a、b。

四、解答题
求矩阵的特征值和特征向量。
《线性代数》习题3答案

一、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
C
C
C
D
A
C

二、填空题
1、
2、-2
3、
4、相关
5、-10

三、计算题
1. 解：

得：

得
由、、得：

2.

是向量组的一个最大无关组。
且，
3. 解：

4. 解：

则为向量组的一个最大无关组
（注：或或或亦为向量组的一个最大无关组）
5. 由于A=B

比较同次幂系数有
解之， 得

四、解答题
解：=
解得特征值为：。
对应于根据，有
，即
取，则易求得。
即关于的一个特征向量
故关于的全部特征向量为：

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