6年级模拟卷1950.docx

2017 年思维 100 评测六年级模拟试卷

填空题（共 10 题，前 5 题每题 4 分，后 5 题每题 6 分）

1. 计算： 617582 - 973655 ´ 973653 + 10354122 - 2 ´ 1035412 ´ 61758 = ________.

【答案】1

【解答】容易发现

61758
2
- 973655
´ 973653
+ 1035412
2
- 2
´ 1035412 ´ 61758

= ( 617582 - 2 ´ 1035412 ´ 61758 + 10354122 )- 973655 ´ 973653

= (1035412 - 61758)2 - 973655 ´ 973653

= 9736542 - 973655 ´ 973653

= 9736542 - ( 973654 + 1)´ ( 973654 - 1) = 1

2.
20172018

1921



的结果末两位是________.

【答案】81

【解答】先看看


1921n


的末两位数码有没有规律，我们发现

1
2
3
4
5
6

1921
1921
1921
1921
1921
1921
末两位
21
41
61
81
01
21

也就是说，5 个数一个周期，考虑到


2017
2018
2018
1009

º 2
= 4



º ( -1)1009


=


-1 º


4 (mod 5)


，所以末两

位数码就是

19214

的末两位数码，答案为 81

3. 甜甜和蜜蜜都得到了一个糖果盒作为奖励，两人各自打开盒子数了数，甜甜说：我有 111 颗糖；

蜜蜜说：我也有 111 颗糖；

甜甜说：不对呀，你的糖明显比我的少啊；蜜蜜说：哈哈，我说的 111 是 7 进制；

甜甜说：哦，这样的话，我的糖比你整整多了 100（十进制）颗；蜜蜜说：嗯，原来你说的 111 也不是十进制啊，是______进制的【答案】12

4.


【解答】容易知道蜜蜜有 (111)
= 7
2
+ 7
+ 1
= 57
颗糖，从而推出甜甜有 157 颗糖。假设甜甜说的

7

是 n 进制，则 (111)
2
+ n + 1 = 157

2
+ n - 156 = 0 Þ n ( n + 1) = 156 = 12 ´13 ，从而推

= 157 Þ n
Þ n

n

出 n =12

如图， DBCD 为等腰直角三角形， ÐCBD = 90° ， ÐBAC = 45° ，若 SDACD = 4.5 ，则 AC = ________.

D

B

A C

【答案】3

【解答】如下图所示构造弦图，很容易令


ì AE = EB = DF
í
îb==BFCE


= a
，则

S DACD

= 1 AC × EF = 1 (a + b)2
22



=


4.5


，从而推出


a + b = 3

F
D

B

A E C

5. 快到新年了，羊村长有 1500 本书和 900 份青草需要懒羊羊和暖羊羊一起打包成礼包新年在集市上售卖。

懒羊羊打包一份新年超级大礼包耗时 5 分钟，内含 15 本书和 10 份青草，售价 21 个青青草原币。

暖羊羊打包一份新年精致礼包耗时 3 分钟，内含 5 本书和 3 份青草，售价 9 个青青草原币。

现在时间紧迫，两羊要在总耗时不超过 600 分钟的条件下打包礼包，所能产生最大价值（礼包的总售价最高）为______青青草原币

【答案】2160

【解答】

书
青草
耗时
售价

懒羊羊
15
10
5
21

暖羊羊
5
3
3
9

1500
900
600
Max = ？

无论两人怎么分配时间合作生产，青草总是会被用尽，她俩只要考虑如何分配青草就可以了

书
青草

懒羊羊
1350
900

暖羊羊
1500
900

1500
900

懒羊羊：

900

¸ 10 ´ 21 =1890

青青草原币

暖羊羊：


900 ¸ 3 ´ 9 = 2700


青青草原币

虽然暖羊羊的打包的精致礼包更赚钱，但是还有时间限制。

懒羊羊： 5 ´ 90 = 450 分钟

暖羊羊： 3 ¸ 3 ´ 900 = 900 分钟

俩羊青草量的分配比为 2 :1

懒羊羊 600 份，暖羊羊 300 份

最大总价值： 600 ¸ 10 ´ 21 + 300 ¸ 3 ´ 9 = 2160 青青草原币

6. 在一个数的两端各添加一个 11，则它的值会增加 11199595，请问原来这个数是________.

【答案】2016

【解答】假设这个数有 n 位，为 a1 a2
an ，根据题意，我们有

-

= 11199595

a 11 = 110 011 + 100
´ a a

11a a
a 11
a a
a
。考虑到11a a

1 2
n1 2
n

1 2
n
1 2

n个0



an


，所以

110 011 + 100 ´
a1 a2
an
-
a1 a2 an
= 11199595 Þ110 011 + 99 ´
a1a2 an
=11199595
n个0

n个0

7.

等式两边同时对 99 取余数，从而推出110 011 º 11199595 º 22 (mod 99) ，利用除以 99 的余数

n个0

规律，容易推出 n 为偶数。考虑到110 011 <11199595 ，所以 n £ 4 ，可能的情况有 n = 2 或 4

n个0

如果 n = 2 ，则110011 + 99 ´ a1 a2 an = 11199595 Þ a1 a2 an = 112016 ，而 n = 2 表示 a1 a2 an 是

一个两位数，矛盾

如果 n = 4 ，则11000011 + 99 ´ a1 a2 an = 11199595 Þ a1 a2 an = 2016 ，正好是四位数，满足要

求

所以这个数就是 2016

如图，两个完全相同的等腰直接三角形用不同方式内接了一个长宽比为 2 :1 的长方形，则这两个

S

= ________.

长方形的面积比值

1

S

2

A

A

E

H

E

H

S2

S1

B
F

G
C
B

F

G

C

【答案】
25

16

【解答 1】直接硬算，如下图所示，取 BC 中点 M，设 AM = a Þ BC = 2 AM = 2a

考虑到
EF +
EH

=1
，设 EF = x ，则
EH = 2x ，代入
EF
+
EH
=1得
x
+
2x
= 1 Þ x =
a
，所以

BC

AM
BC
a
2a

AM

2

S = x ×
2 x = 2x
=
a
2

2

1

2

A

E

H

S1

B
F

M

G
C

对于
S
，用相同的方法进行处理，设 EF = 2x ，则 EH = x ，代入

EF

+
EH

=1
得

2
AM

BC

a
2

2 x

+
x
= 1 Þ x =
2a

2

=
8

2

S

=

2

=
25

，所以
S

，从而得到答案

1

= 2x

a

8

a

2a

5
2
25

S

a
2

16

2

25

【解答 2】利用翻折，得到下图，设 AB = 2a

2
1
2

2

2

从下左图中很容易推出 2S
= ( 2a )
- 4 ´

Þ S

= a

a

= 2a

1
2
1

从下右图中，设
EH = x
，则 EF = FM = 2x
，而 AP = QJ =
1
EH =
x

，从而推出

AJ = 5x
。利用

2

2

2

1

1

x
2
17x
2

2

2

2

2

2

面积计算，我们有 2 S
= ( 2 a )
- 2 ´

- 2 ´

EM
= 4 a
-

- 8 x

-

。考虑到

EH

= 4a

2
4

4

2

2

2

2

2

2
2
2
2

2
8
2

AJ

= ( 2a )

+ ( 2a )

=

，所以

= AB
+ BJ
，从而推出 25x

= 8a

Þ x

25
a

-
17 x
2
=

-
17
´
8

=

-
68

=

32

Þ S

=

16

S
=
a
2
=
25

2

2
2

2

2

2

2

2 S

a
，从而推出

1

= 4 a

4 a

a
4a

a

a

2
2

2

25

25

25
2
25

S

16
a
2
16

2

25

A
A

E
P
H

E
H
S2

S1

B
F
G
C
B
F
G
C

M
N
Q

M
N

J
J

8. 下图中有 24 块小方格，对其中的 12 块小方格进行染色（用相同的颜色），要求每行有 2 块染色的小方格、每列有 3 块染色的小方格，不同的染色方法有______种

【答案】1860

【解答】首先，从第 1 行的 4 块中选出 2 块进行染色，有侧两块



C
2

4



=


6


种选法，不妨设选出的是最左

接下来从第 1 列中再选出 2 块进行染色有第 1 块以外）



C
2

5



= 10


种选法，不妨设选出的是最上侧两块（除了

至此，第 1 行、第 1 列已经分配完成，对第 2、3 行进行讨论：

（1）如果第 2、3 行如下左图所示，则剩下的只能如下右图进行染色，对应 1 种染色方法；

（2）如果第 2、3 行如下左图所示，其中 1 块在前 2 列中，另一块不在，这样的组合有 2 ´ 2 = 4 种。此时第 2 列的剩下 1 块染色小正方形有 3 种选法，不妨设如下中图所示。显然，最后 1 列的 3 块位置能直接定下来，如下右图所示，容易推出第 3 列的剩下 2 块染色小正方形只有 1 种选法。至此，我们推出这类情况有 4 ´ 3 =12 种染色方法；

（3）如果第 2、3 行如下图所示，此时新增的 2 个染色块都在第 3、4 列，并且两块交错，这样的组合有 2 种。接下来剩下的染色块都在蓝色区域内选择，蓝色区域的每列选 2 个、每行选 2 个，容易推出有 3 ´ 2 = 6 种选法，所以一共有 2 ´ 6 =12 种选法

（4）如果第 2、3 行如下左图所示，此时新增的 2 个染色块都在第 3、4 列，并且两块同列，这样的组合有 2 种。此时第 4 列马上就定下来了，如下右图所示。容易推出，剩下的 3 个染色块

有 3 种选法，所以一共有


2 ´ 3 =


6


种选法；

综上所述，本题答案为 6 ´ 10 ´ (1 + 12 + 12 + 6 ) =1860 种选法

9. 花瓣广场由 4 个直径为 d 的半圆组成，如图所示，甲、乙两人从 A 点分别逆时针和顺时针出发，丙从 B 点按顺时针出发。三人同时出发，经过 t 分钟后，甲和乙之间的距离（这里所说的距离是指两人沿着广场行走的较小距离，也就是劣弧的长度，而不是直线距离。后面甲和丙之间的距离也是这个意思）首次等于甲和丙之间的距离。已知甲的速度为 50 米/分，乙的速度为 70 米/分，丙

的速度为 130 米/分，则

丙



t

d


=


______（答案保留


p


）

B C

乙

A D

甲

【答案】 200p

【解答】由于三人的速度比为V甲 : V乙 : V丙 = 5 : 7 :13 ，设甲走了 5k 米的距离，则乙、丙分别走了 7k 米、13k 米的距离

刚开始的时候，甲、乙之间的距离为 0，甲、丙之间的距离为 p2d （注意是劣弧长度，只有一个

半圆的长度）。之后，甲、丙之间的距离在增大，甲、乙之间的距离也在增大。由于丙的速度比乙的速度快，所以甲、丙之间距离的增大速度超过甲、乙之间距离的增大速度，不可能相等

等甲、丙之间距离达到两个半圆后，甲、丙之间距离开始减小，而此时甲、乙之间距离还没有达到一个半圆（甲、丙之间距离达到两个半圆意味着甲、丙合起来走了一个半圆，而乙的速度比丙慢，所以甲、乙合起来连一个半圆都没有到）

接下来甲、丙之间距离从 2 ×
p d
减小为 0，甲、乙之间距离从某个值增加为 2
×
p d
，感觉上应该

2
2

会有相等的时候，接下来假设后检验

如下图所示，此时甲、丙之间距离等于甲、乙之间距离，所以 AE = 5k 、 AG = 7k 、

BC + CF =13k ，从而推出甲、乙之间距离为 5k + 7 k =12k （红色部分），而甲、丙之间距离为

3 × p2d 5k - 13k = 3p2d -18k （绿色部分），所以12k = 3p2d - 18k Þ k = p20d

显然甲、乙之间距离为12

3p d
- 18k =
3p d
- 18
×
p d

2

2
20



k =


= 12 ´
p d
=
3
p d < p d ，甲、丙之间距离为

20
5

3
p d < p d ，都符合劣弧的要求，从而满足题意

5

B
C
丙

乙

F

G

A D

E

甲

由于甲走了 5k = 5 × p20d


= p4d


米，所以花的时间为 t = p4d ¸ 50 Þ t = 200pd ，所以



t
=
p

d
200

10. 连续 n 个自然数之和为完全平方数，


n £


2017


，那么 n 一共有______种不同的可能

【答案】1681

【解答】假设这连续 n 个自然数为


N



、 N


+ 1


、


、 N



+


n


- 1


，它们的和为

N + ( N + 1) + + ( N + n - 1) = nN + n (n - 1) = n (2 N + n -1)

22

æ

n +1
ö

n +1

n (2N + n -1)

n ç
2 ×

+ n -1÷

2

如果 n 为奇数，此时可以取 N =

，所以
=

è

ø
= n2 ，为完全平方

2

2

2

数

如果 n

如果 n

如果 n

以 n =

如果 n

如果 n

如果 n

如果 n


为偶数，从 2 开始尝试，看看能不能找到一些规律，然后再证明

= 2
，显然可以，比如 24、25，加起来 49，就是完全平方数

= 4

(
)
+
(
N + 2
)
(
N + 3
)
= 4 N + 6 º 2
(
mod 4
)

，此时 N +
N + 1

+

，肯定不是完全平方数，所

4 不满足要求

= 6
，此时 N + ( N + 1) +

+ ( N + 5 ) = 6 N +15

2

，取 N = 35 ，则 6 N + 15 = 225 =15

= 8
，此时 N + ( N + 1) +

+ ( N + 7 ) = 8 N + 28
，取 N = 9

2

，则 8 N + 28 = 100 =10

=10
，此时 N + ( N + 1) +
+ ( N + 9 ) = 10 N + 45 ，取
N = 18 ，则10 N + 45 = 225 =
2

15

=12
，此时 N + ( N + 1) +
+ ( N + 11) = 12 N + 66 ，此时12 N + 66 º 2 (mod 4) ，肯定不是完

全平方数，所以


n

= 12

不满足要求

如果

如果


n n


= 14

= 16


，此时

，此时


N + ( N + 1) +

N + ( N + 1) +


+

+


( (



N N


+ 13 ) = 14 N

+ 15 ) = 16 N


+ +


91 ，取 N =

120 = 4 (4 N


25
2

，则14 N + 91 = 441 = 21

+ 30) ，考虑到

4 N + 30 º 2 (mod 4)，肯定不是完全平方数，所以 n =16 不满足要求

猜测当 n = 2
2 p
´
( 2 q +1) （2 的偶数次方乘以一个奇数）时，无法满足题意

证明如下：此时

é
2
2 p

ù é
2 N
+ 2
2 p
ù

n (2 N + n -1)
=
ë

û ë

û
= 2
2 p -1
× ( 2 q + 1)é 2 N
+

2

2

ë

é

ù

2

2 p

2 p -1

( 2
p -1
)

显然， (2q + 1)
2 N + 2
´ ( 2q + 1) -1
的乘积是一个奇数，而 2
=
×

ë

û



2

2


2 p
ù

´ ( 2 q + 1) -1

û

，考虑到


。

2 ´ 奇数 º

2 (mod 4)


，所以不可能是完全平方数

(
)

n (2 N + n -1)
(
)ë
(
)
û

如果是 n = 2 2 p +1 ´
2 q +1
，则
= 2 2 p ×
2 q + 1 é 2 N + 2 2 p +1
´
2 q + 1
-1ù ，只要使得

2

( 2q + 1)é 2 N + 22 p+1 ´ ( 2q + 1) -1ù 为完全平方数即可。我们总是可以找到一个足够大的奇数
ëû

(

)
2
2 p+1
。令 2 N - 1 =
é
( 2r - 1)
2
- 2
2 p+1
ù
´ ( 2q +1)，此时

2r -1，使得 2r - 1

> 2
ë

û

(2q + 1)
é
2 N + 2
2 p +1
´
( 2q + 1)
ù

ë

û

= ( 2q + 1) é ( 2r - 1)2 - 22 p +1 ù ´ ( 2q + 1) + 22 p+1 ´ ( 2q +1)}

ë û
= ( 2q + 1)2 (2r -1)2{

为一个完全平方数

所以，本题中不满足要求的 n 就是 4、16、64、256、1024 的奇数倍

é
由于 ê
ë

é
由于 ê
ë


2017 ù

4
ú

û

2017 ù
ú

16 û


=

=


504

126


，所以 4 的奇数倍有 252 个

，所以 4 的奇数倍有 63 个

由于


é 2017
ù

ê
64
ú

ë
û



=


31


，所以 4 的奇数倍有 16 个

由于


é 2017
ù

ê
256
ú

ë
û



=


7


，所以 4 的奇数倍有 4 个

由于


é 2017
ù
ê
ú
ë 1024
û



= 1


，所以 4 的奇数倍有 1 个

综上所述，本题的答案为

2017 - (1 + 4 + 16 + 63 + 252 ) =1681